19-EFT.WP.Methods.SynthData v1.0 | 第8章 时序与事件合成（Markov/Hawkes/SDE）

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第8章 时序与事件合成（Markov/Hawkes/SDE）

I. 范围与对象

1. 目标
   • 给出时序与事件流的统一合成口径，覆盖 Markov、Hawkes 与 SDE 三类模型，产出路径 X(t)、事件集合 {T_i} 或二者耦合的多模态轨迹。
   • 以 tau_mono 为内部时基，对外以 ts 发布；强制记录 T_arr 两口径与 delta_form，并发布 offset/skew/J。
   • 将自相关、谱密度、到达过程与物理边界约束纳入契约与清单：manifest.synth.time.*、manifest.synth.events.*。
2. 输入
   • 参考数据或目标统计量 ref，时间范围 [0, T_h]，离散步长 Delta_t 或目标事件数 N_evt。
   • 模型设定：P 或 Q（Markov/CTMC），mu, phi(·)（Hawkes），a(x,t), b(x,t)（SDE），初分布 pi0 或初值 X_0。
   • 规则与边界 Rules = { g_j(x,t) ≤ 0 }，时基映射与发布策略，SLO 与阈值。
3. 输出
   合成路径 X_syn(t) 与/或事件集 {T_i}，统计保真与稳定性报告，manifest.synth.time/events。

II. 名词与变量

• 时基与到达时：tau_mono, ts, T_arr, gamma(ell), delta_form, offset/skew/J。
• Markov/CTMC：X_t ∈ S，离散转移 P，生成元 Q，驻分布 pi*。
• Hawkes：强度 lambda(t) = mu + ( ∑_{T_j < t} phi(t - T_j) )，核 phi(s)，分枝比 eta = ( ∫_0^∞ phi(s) ds )。
• SDE：dX_t = a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t，离散化 Delta_t，xi_n ~ N(0, I)。
• 度量：ACF(lag), PSD(f), F_ΔT（inter-event CDF），W1, KL。

III. 公设 P408-*

• P408-1（时基一体化）：统计评估在 tau_mono 上计算，对外以 ts 发布，并记录 offset/skew/J。
• P408-2（到达时两口径）：涉及传播或到达度量时，必须并行计算 T_arr 两口径并记录 delta_form。
• P408-3（稳定性）：eta < 1（Hawkes 站稳），Q 生灭平衡或链正再生（CTMC），Delta_t 满足数值稳定与均方收敛（SDE）。
• P408-4（单位与量纲）：unit/time="[T]"，所有物理量通过 check_dim(expr)。
• P408-5（因果与单调）：事件时间严格单调：T_{i+1} > T_i；状态更新遵循因果顺序。
• P408-6（边界与安全）：硬边界以投影或反射实现，不得发布越界样本。
• P408-7（复现与追溯）：seed/rng/model_spec 必入清单并签名。
• P408-8（保真可度量）：必须发布 ACF/PSD/W1(F_ΔT) 等对齐指标及其不确定度。
• P408-9（多模态一致）：当路径与事件耦合时，跨模态时间戳共用一套 tau_mono/ts 记录。
• P408-10（缺失与插补声明）：若插补或对齐使用外部修正，需以 corr_env(x; RefCond) 记录参考条件。

IV. 最小方程 S408-*

1. S408-1（离散 Markov）
   • P 为行随机矩阵，X_{k+1} ~ P(X_k, ·)；k 对应 t_k = k * Delta_t。
   • k 步转移：P^{(k)} = P^k；若遍历，存在 pi* 使得 pi* P = pi*。
2. S408-2（连续时间 Markov/CTMC）
   • Q 满足 q_{ii} = - ∑_{j≠i} q_{ij}，P(t) = exp( t * Q )。
   • 驻分布（若存在）：pi* Q = 0 且 ∑_i pi*_i = 1。
3. S408-3（Hawkes 强度与分枝比）
   • lambda(t) = mu + ( ∑_{T_j < t} phi(t - T_j) )；指数核示例：phi(s) = alpha * beta * exp( - beta * s ) * 1_{s>0}。
   • eta = ( ∫_0^∞ phi(s) ds )；平稳强度期望 E[ lambda ] = mu / ( 1 - eta )（当 eta < 1）。
4. S408-4（Ogata thinning 仿真）
   给定上界 Lambda* ≥ lambda(t)，采样候选到达间隔 U ~ Exp(Lambda*)，以概率 lambda(t+U) / Lambda* 接受，递推直到 T_h。
5. S408-5（SDE Euler–Maruyama）
   • X_{n+1} = X_n + a(X_n,t_n) * Delta_t + b(X_n,t_n) * sqrt(Delta_t) * xi_n。
   • Milstein 可选：X_{n+1} = X_n + a * Delta_t + b * sqrt(Delta_t) * xi_n + 0.5 * b * (∂b/∂x) * ( (xi_n)^2 - 1 ) * Delta_t。
6. S408-6（统计保真目标）
   min_theta [ w_acf * || ACF_syn - ACF_ref ||_2 + w_psd * || PSD_syn - PSD_ref ||_2 + w_w1 * W1( F_ΔT_syn, F_ΔT_ref ) ]。
7. S408-7（时基映射与到达时）
   • ts = a * tau_mono + b，发布 offset=a-1, skew=b/T_h 与抖动 J。
   • T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )，T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )，delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |。

V. 合成流程 M40-8（时序与事件闭环）

1. 就绪
   设定 [0, T_h]、Delta_t 或 N_evt、pi0|X_0、模型参数与 Rules；声明度量与阈值：tol_acf, tol_psd, tol_w1, tol_Tarr, J_max。
2. 时基对齐
   确立 tau_mono，准备 ts 映射策略与发布字段 offset/skew/J。
3. 生成
   • Markov/CTMC：按 P 或 Q 采样状态与滞留时间；
   • Hawkes：Ogata thinning 得 {T_i}；
   • SDE：Euler–Maruyama（或 Milstein）积分得 X(t)。
4. 规则与边界
   对 g_j(x,t) 采用拒绝或投影 x ← Pi_C(x)；记录 res_cons 与接受率。
5. 保真评估
   计算 ACF/PSD/F_ΔT 与 W1; 对 Markov/CTMC 比较驻分布与转移矩；对 Hawkes 估计 eta_hat 与强度残差。
6. 到达时与发布
   写入 T_arr 两口径与 delta_form，并计算 J；执行 check_dim。
7. 再加权与对齐（可选）
   通过 balance_distribution 进行再加权或映射，更新 n_eff 与映射签名。
8. 落盘与冻结
   输出 manifest.synth.time/events 与审计日志；若任一契约不通过则回退或降级发布。

VI. 契约与断言 C40-8xx

• C40-801（单调时序）：non_decreasing(tau_mono) 且事件严格递增。
• C40-802（Hawkes 稳定）：eta_hat ≤ eta_max < 1 且 |E[lambda]-lambda_ref| ≤ tol_rate。
• C40-803（Markov/CTMC 合法）：P 行和为 1，Q 行和为 0、非对角元非负。
• C40-804（SDE 稳定）：步长满足 Delta_t ≤ Delta_t_max；越界用反射或吸收并记录 res_cons ≤ tol_cons。
• C40-805（统计保真）：||ACF_gap||_2 ≤ tol_acf，||PSD_gap||_2 ≤ tol_psd，W1(F_ΔT_syn,F_ΔT_ref) ≤ tol_w1。
• C40-806（到达时一致）：delta_form ≤ tol_Tarr，J ≤ J_max。
• C40-807（单位量纲）：check_dim(expr)=true。
• C40-808（复现性）：seed/rng/model_spec 重放哈希一致。
• C40-809（发布 SLO）：latency_ms_p99 ≤ SLO_time，oom_rate ≤ oom_max。

VII. 实现绑定 I40-8*（接口原型与不变量）

• simulate_markov(P_or_Q, T_h|N_evt, init, seed) -> path
• simulate_hawkes(mu, phi_spec, T_h, seed) -> {T_i}
• simulate_sde(a_fn, b_fn, X0, Delta_t, T_h, seed) -> X(t)
• enforce_time_rules(path_or_events, Rules) -> {obj', m_acc, res_cons}
• measure_time_fidelity(obj', ref, metrics) -> {ACF_gap, PSD_gap, W1_ΔT, eta_hat}
• align_timepath(obj', sync_ref) -> obj''（写入 offset/skew/J 与 T_arr 两口径）
• balance_event_distribution(ref, obj'', method) -> map|w
• emit_time_manifest(artifacts) -> manifest.synth.time/events
• 不变量：eta_hat < 1；non_decreasing(tau_mono)；delta_form ≤ tol_Tarr；unit/dim 校核通过；复现哈希一致。

VIII. 交叉引用

• 见本卷第6章（物理/仿真边界与投影）、第7章（条件化与可控生成）、第12章（保真与效用评估）、第13章（发布与清单）。
• 见《Methods.Cleaning v1.0》 第5/6/10章（时间轴与到达时、路径契约、发布冻结）。
• 见《Methods.CrossStats v1.0》 第7/11/14章（漂移检测、时序评估与统计 SLO）。
• 见《Methods.Imaging v1.0》 第13章（时间/路径门控与到达时一致化）。

IX. 质量度量与风控

1. 核心 SLI
   rate_err = |E[lambda]-lambda_ref|，eta_hat，ACF_gap, PSD_gap, W1_ΔT，latency_ms_p99，oom_rate，delta_form，J，res_cons，n_eff。
2. 常见风险与处置
   • 分枝比接近 1 → 降低 alpha 或提高 mu 的比值稳定上界，或截断核尾。
   • SDE 数值爆炸 → 减小 Delta_t、切换 Milstein、施加反射边界或抑制漂移项。
   • ACF/PSD 偏差大 → 采用校准回路（再权重/参数拟合），或引入状态空间纠偏。
   • 时间抖动与到达差超阈 → 重做 align_timepath，校正 offset/skew，审计 gamma(ell) 与 n_eff。
   • 资源/延迟异常 → 启用限流与背压（见本卷第14章），降级模型阶次或分辨率。

小结