22-EFT.WP.Metrology.Instrument v1.0 | 附录E 误差与不确定度传播（GUM/Monte Carlo）

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附录E 误差与不确定度传播（GUM/Monte Carlo）

一句话目标：以 GUM 与 Monte Carlo 补充为基线，给出仪器测量模型的 Type A/B 分解、相关与非线性传播、覆盖与合规判定的统一口径，并与清单、契约、面板字段对齐。

I. 范围与对象

• 覆盖对象：本卷各章的噪声、线性度、带宽、时基关联量及环境修正量的不确定度评估与传播。
• 输入：测量模型 y = f(x_1, ..., x_n)，输入量估计 hat{x}, 标准不确定度 u(x_i), 协方差 cov(x_i,x_j), 分布指派 D_i，自由度 nu_i。
• 输出：u_c(y), U = k * u_c(y), 覆盖区间 [y_L, y_U] 或后验分位 {q_2.5%, q_97.5%}，以及 manifest.instrument.uncert.* 字段。
• 交叉引用：时基与到达时不确定度见《Metrology.TimeBase v1.0》；统计覆盖与功效见《Methods.CrossStats v1.0》。

II. 名词与变量

• 测量模型与灵敏度：y = f(x), c_i = ( ∂f / ∂x_i ) |_{hat{x}}, J = ∂f/∂x（Jacobian）。
• Type A/B：u_A(x)（基于样本方差），u_B(x)（基于证书/分布指派），u(x) = sqrt( u_A^2 + u_B^2 )。
• 协方差与相关：V_x = [ cov(x_i,x_j) ], R = [ rho_ij ]，cov(x_i,x_j) = rho_ij * u(x_i) * u(x_j)。
• 合成与覆盖：u_c^2(y) = J V_x J^T，U = k * u_c，k 由 nu_eff 与置信水平确定。
• Monte Carlo：M（试验次数），y^{(m)} = f( x^{(m)} )，q_p（分位数），SE(q_p)（分位标准误）。

III. 公设 P70E-*

• P70E-1（模型显式）：所有不确定度评估基于显式测量模型 y = f(x)；输入量单位与量纲需通过 check_dim(expr)。
• P70E-2（相关显式）：声明 V_x 或 R，禁止隐含“独立”假设；证书提供的相关系数必须回填。
• P70E-3（时基一致）：统计窗口在 tau_mono 上评估，发布于 ts；涉及到达时 T_arr 两口径与 delta_form 的不确定度需并行给出。
• P70E-4（覆盖口径一体）：线性近似用 GUM-LPU；显著非线性/有界/离散量用 Monte Carlo；两者差异超阈时以 Monte Carlo 为准。
• P70E-5（发布伴随）：任何关键指标发布同时给出 {u_c, U, k, nu_eff} 或 {q_2.5%, q_97.5%} 与方法标识 method ∈ {GUM, MC}。

IV. 最小方程 S70E-*

1. S70E-1（合成标准不确定度·标量）：u_c^2(y) = ∑_{i=1}^n ∑_{j=1}^n c_i * c_j * cov(x_i, x_j)。
2. S70E-2（合成标准不确定度·向量）：V_y = J * V_x * J^T。
3. S70E-3（Welch–Satterthwaite）：nu_eff = ( u_c^4 ) / ( ∑ ( c_i^4 * u^4(x_i) / nu_i ) )（近似，无相关时）。
4. S70E-4（覆盖因子）：U = k(nu_eff, CL) * u_c，其中 CL 为覆盖概率（如 95%）。
5. S70E-5（分布指派·典型）：
   • 矩形：u = a / sqrt(3)（半宽 a）；三角：u = a / sqrt(6)；正态：证书 u 直接使用。
   • 量化分辨率：u_res = q / sqrt(12)（步进 q）。
6. S70E-6（环境修正传播）：y_corr = y_raw + corr_env(x; RefCond)，u_c^2(y_corr) = u_c^2(y_raw) + u_c^2( corr_env ) + 2 * cov( y_raw, corr_env )。
7. S70E-7（时基贡献）：u_T(y) ≈ | ∂f/∂t | * u(t)；u(t) 由 offset/skew/J 合成。
8. S70E-8（到达时两口径差）：delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |，其不确定度 u(delta_form) 作为发布 gate 的附加项。
9. S70E-9（Monte Carlo覆盖区间）：y^{(m)} = f( x^{(m)} )，发布 [ q_{(1-CL)/2}, q_{(1+CL)/2} ] 与 SE(q_p) ≈ sqrt( p(1-p) / ( M * f_Y(q_p)^2 ) )（用核密度近似 f_Y）。

V. 流程 M70E-*：就绪 → 评估 → 传播 → 覆盖 → 落盘

1. 模型与输入就绪
   • 明确 y = f(x) 与单位/量纲；登记 RefCond 与时基字段 offset/skew/J、T_arr.form1/2、delta_form。
   • 汇总 Type A：u_A(x) 来自样本方差；Type B：u_B(x) 来自证书/分布指派。
2. 相关与协方差
   • 构造 V_x；如仅有 rho_ij 与 u(x)，则 V_x[i,j] = rho_ij * u(x_i) * u(x_j)。
   • 对来自同一标准器的多输入项，按证书相关系数填充。
3. GUM-LPU（线性域）
   • 计算 c_i 或 J；给出 u_c, nu_eff, U = k * u_c。
   • 做 check_dim( y - f(x) ) = "pass"。
4. 非线性/有界/离散（Monte Carlo）
   • 指派 D_i（如 Normal/Rectangular/Triangular/Lognormal）；抽样 M 次，生成 y^{(m)}。
   • 输出 q_2.5%, q_50%, q_97.5%、u_c = std( y^{(m)} )、方法标识 method="MC"。
   • 设自适应停止：当 SE(q_97.5%)/u_c ≤ tol_q 与 |u_c^{(M)} - u_c^{(M/2)}| / u_c^{(M)} ≤ tol_uc 则停止。
5. 合并时基/到达时贡献
   • 将 u_T(y) 与 u(delta_form) 叠加到 u_c(y) 或通过 MC 联合抽样。
   • 记录两口径差的覆盖区间与是否跨越阈值 tol_Tarr。
6. 覆盖与合规
   • 选择 CL（如 95%）；GUM 用 k(nu_eff,CL)，MC 用分位。
   • 结合 guardband 策略作合规判定（判据与 TUR 见第11章）。
7. 落盘与签名
   写入 manifest.instrument.uncert：{model, inputs, V_x_hash, method, u_c, U, k|CL, nu_eff|M, RefCond, timing, Tarr, delta_form, signature}。

VI. 契约与断言（映射至 C70-*）

• assert C70-UE-1: check_dim(expr) = "pass"；unit(x) 一致。
• assert C70-UE-2: 若 method="GUM"，则 nu_eff ≥ nu_min 且 k 按 CL 正确取值。
• assert C70-UE-3: 若 method="MC"，则 M ≥ M_min 且 SE(q_97.5%) ≤ se_q_max。
• assert C70-UE-4: delta_form + z * u(delta_form) ≤ tol_Tarr（z 对应覆盖概率）。
• assert C70-UE-5: 当 |U_GUM - U_MC| / U_MC > tol_diff 时，强制采用 MC 结果。

VII. 实现绑定 I70E-*（原型）

• build_measurement_model(spec) -> f, inputs
• assign_distributions(cert, policy) -> {D_i, u(x_i), nu_i, R}
• propagate_gum(f, x_hat, V_x) -> {u_c, nu_eff, U, k}
• propagate_mc(f, D, R, M, stop_rule) -> {q_low, q_med, q_up, u_c, M_eff}
• merge_timebase_uncert(tb_manifest, f) -> u_T, details
• evaluate_uncert_contracts(results, rules) -> report
• emit_uncert_manifest(results) -> manifest.instrument.uncert

不变量：reproducible(seed)；V_x 半正定；nu_eff > 0；Delta_t 与 RefCond 落盘；delta_form ≤ tol_Tarr。

VIII. 交叉引用

• 时基不确定度、到达时两口径与 delta_form：见《Metrology.TimeBase v1.0》附录E。
• 统计覆盖度、功效与漂移：见《Methods.CrossStats v1.0》附录E、附录D。
• 合规与 guardband 判定：见本卷第11章与附录B（C70 全集）。

IX. 质量度量与风控

• SLI：uncert_eval.latency_ms_p99, uncert_eval.error_rate, M_eff, nu_eff_dist。
• SLO：SE(q_97.5%) ≤ se_q_max，tol_diff 违约率 ≤ p_max。
• 回退：当 MC 未达收敛或资源受限，回退 GUM 并标注 risk="elevated"；或延长窗口/降维模型重评估。

小结