23-EFT.WP.Metrology.PathCorrection v1.0 | 第10章 路径积分与两口径比对（数值实现）

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第10章 路径积分与两口径比对（数值实现）

一句话目标：给出在离散路径 gamma(ell) 与栅格/解析 n_eff(f,x) 上稳定计算 T_arr 的数值口径，确保两口径并行、误差可估与 delta_form 受控并落盘。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 路径：gamma(ell)（来自几何或第9章射线解），弧长域 [0, L_gamma]。
   • 介质：n_eff(f,x) 或其分段/栅格表示与插值器 Interp(x)。
   • 常量与参考：c_ref，RefCond，发布时基 tau_mono/ts。
   • 事件：界面/折射/反射/材料切换点集合 E = {ell_j}。
2. 输出
   • T_form1 = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_{gamma} n_eff d ell )，
     T_form2 = ( ∫_{gamma} ( n_eff / c_ref ) d ell )，
     delta_form 与误差估计 u_q、u_interp、u_geom。
   • 分项与辅助：∫ 1 d ell、分段积分日志、采样点集与加权。
3. 适用范围与边界
   光纤/电缆（n_g(f,T)）、自由空间/大气（n_eff(f,x)）与混合路径；高阶色散与吸收项可按第5–8章插入被积函数。

II. 名词与变量

• gamma: [0, L_gamma] → R^3，unit(ell) = "m"。
• n_eff(f,x)，unit = "1"；如为群指标则用 n_g。
• w_i，求积权重；x_i = gamma(ell_i) 采样点。
• Q[p]，p 点数的求积算子（如 Simpson、Gauss–Legendre）。
• eps_abs/eps_rel，绝对/相对误差容限；Δell_max 步长上界。
• 误差项：u_q（求积截断/舍入），u_interp（插值场误差），u_geom（路径几何误差），u_c（合成）。

III. 公设 P810-*

• P810-1（两口径并行） 任一 T_arr 计算必须同时给出 T_form1 与 T_form2，使用同一采样点与权重以最小化数值差。
• P810-2（测度显式） 任一积分均以弧长测度 d ell 表达，对非弧长参数化需显式乘以弧长因子 | d gamma / d ξ | d ξ。
• P810-3（事件分段） 介质不连续或导数不连续处必须作为事件点分段，分段内被积函数连续可导。
• P810-4（自适应与守恒） 求积器采用自适应细分与嵌入式误差估计；L_gamma = ( ∫_gamma 1 d ell ) 需并行求值以校核路径长度守恒。
• P810-5（单位与时基） 进入求积的量需通过 check_dim 校核，且全部结果发布在 tau_mono。
• P810-6（可追溯） 采样、权重、误差估计、事件点与参数必须落盘为可重复的清单。

IV. 最小方程 S810-*

• S810-1（两口径定义）
  T_form1 = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_{0}^{L_gamma} n_eff( f, gamma(ell) ) d ell )，
  T_form2 = ( ∫_{0}^{L_gamma} ( n_eff( f, gamma(ell) ) / c_ref ) d ell )。
  delta_form = | T_form1 - T_form2 |，check_dim( T_form* ) = "[T]"。
• S810-2（参数化变换）
  若路径以 ξ 参数化，ell(ξ)，则
  ( ∫_{gamma} g(ell) d ell ) = ( ∫_{ξ0}^{ξ1} g( ell(ξ) ) * | d gamma / d ξ | d ξ )。
• S810-3（分段求积）
  给定事件点 E = {0 = ell_0 < ell_1 < … < ell_M = L_gamma}，
  T = ∑_{m=0}^{M-1} ( ∫_{ell_m}^{ell_{m+1}} F(ell) d ell )，F(ell) = n_eff( f, gamma(ell) ) / c_ref 或 n_eff( f, gamma(ell) )。
• S810-4（误差估计与合成）
  设每段的局部误差估计 e_m（由嵌入式求积对给出），则
  u_q = sqrt( ∑ e_m^2 )；
  u_interp 由 n_eff 场的空间插值误差上界或多解析度差分估计；
  u_geom 由 gamma 的数值误差与离散化误差传播（见第9章灵敏度式）得到；
  u_c = sqrt( u_q^2 + u_interp^2 + u_geom^2 )。
• S810-5（数值稳定）
  对长链路或大样本累加，采用补偿求和（Kahan 或 Neumaier）以控制舍入：
  S = compensate_sum( w_i * f_i )，误差阶 O(ε_machine)。
• S810-6（采样准则）
  步长选择遵循介质变化与几何曲率两尺度：
  Δell ≤ min( Δell_n , Δell_k , Δell_max )，其中
  Δell_n ≈ η_n * ( | n_eff | / | d n_eff / d ell | )，
  Δell_k ≈ η_k * R_curv（R_curv 为曲率半径），η_n, η_k ∈ (0,1)。
• S810-7（栅格插值）
  对三维栅格 n_eff[x]：Interp(x) 可取三线性/三次样条；插值误差上界由网格间距 h 与二/三阶导数界给出：
  | n - n_I | ≤ C * h^p * max | ∂^p n |（p=1,3）。
• S810-8（路径长度校核）
  L_gamma_est = ∑ || gamma(ell_{i+1}) - gamma(ell_i) || 与解析 L_gamma 的差作为几何一致性指标 res_L。

V. 计量流程 M80-10

1. 就绪：接收 gamma、n_eff/Interp、RefCond；构建事件点集 E（介质/界面/折返）。
2. 分段建模：为每段生成局部被积函数 F(ell) 与误差策略 {eps_abs, eps_rel, Δell_max, η_n, η_k}。
3. 自适应求积：
   • 首选 Gauss–Kronrod (G7–K15) 或 Simpson 自适应细分；
   • 采用嵌入式对估计 e_m，不满足容限则细分区间。
4. 两口径并行：同一细分网格上同步累计 T_form1 与 T_form2；使用补偿求和与统一权重。
5. 插值与采样：对每个采样点 x_i 调用 Interp(x_i)；对边界附近点采用侧限值并与事件点对齐。
6. 误差合成：汇总 u_q, u_interp, u_geom 得 u_c；并生成 delta_form、res_L。
7. 校核：
   • check_dim( T_form* ) = "[T]"；
   • delta_form ≤ tol_Tarr；
   • res_L ≤ tol_L 且 L_gamma > 0。
8. 落盘：输出 manifest.path.integral = { T_form1, T_form2, delta_form, parts:{L_gamma}, qc:{u_q,u_interp,u_geom,u_c,res_L}, policy:{quad,eps_abs,eps_rel,Δell_max,η_n,η_k}, RefCond, samples:{N_total,E} }。
9. 监测：滚动统计 delta_form_p99、失败率与细分深度分布；异常触发策略卡与回退。

VI. 契约与断言（C80-101x）

• C80-1011 两口径差：delta_form ≤ tol_Tarr（建议默认 ≤ 0.02 ns）。
• C80-1012 误差容限：满足 u_q ≤ eps_abs + eps_rel * |T_arr|；若不满足必须细分或提升阶次。
• C80-1013 事件对齐：被积函数不连续处必须为事件点，禁止跨越采样。
• C80-1014 采样密度：Δell 不得超过 min(Δell_n, Δell_k, Δell_max)；超限标注 undersampled。
• C80-1015 几何守恒：res_L ≤ tol_L（建议 ≤ 1e-6 * L_gamma + 1e-4 m）。
• C80-1016 插值边界：若 x_i 超出栅格域，禁止外推；需回退或扩展场并打 out_of_domain。
• C80-1017 量纲一致：check_dim( n_eff ) = "1"，check_dim( c_ref ) = "[L][T]^-1"。
• C80-1018 可追溯：policy、采样统计与事件清单必须落盘；否则标注 trace_missing 并拒绝发布。

VII. 实现绑定 I80-*

• I80-101 integrate_path(n_eff, gamma, c_ref) -> { T_form1, T_form2, delta_form, qc, parts }
  不变量：non_decreasing(ell)、L_gamma > 0、delta_form ≤ tol_Tarr。
• I80-102 build_quadrature(policy) -> Q（policy ∈ {GK15, Simpson, GL-8, GL-16}）。
• I80-103 sample_along(gamma, Δell_rule, events) -> { x_i, w_i }。
• I80-104 interpolate_n(Interp, x_i) -> n_i, u_interp_i。
• I80-105 combine_errors(e_m, u_interp, u_geom) -> u_c。
• I80-106 assert_integral_contracts(payload, rules) -> report。
• I80-107 emit_path_manifest_integral(payload, policy) -> manifest.path.integral。

VIII. 交叉引用

• 射线与路径几何来源：见第9章。
• 介质场构建与频散：见第4–6章与第8章。
• 两口径准则与清洗策略：见《EFT.WP.Methods.Cleaning v1.0》。
• 时基与发布语义：见《EFT.WP.Metrology.TimeBase v1.0》《EFT.WP.Metrology.Sync v1.0》。
• 仪器/处理栈分项：见《EFT.WP.Metrology.Instrument v1.0》。

IX. 质量与风控

1. SLO：p95( delta_form ) ≤ 0.02 ns，p99 ≤ 0.05 ns；integrator_fail_rate ≤ 1e-5。
2. 稳定性：细分深度与采样数上限防护；启用补偿求和与 64-bit 累加，必要时 80/128-bit 扩展。
3. 回退策略：
   • 升阶（GL-8 → GL-16 或 Simpson 加密）；
   • 事件细分增强；
   • 直线/分层近似求解并上调 u_c；
   • 拒绝发布并标注原因（undersampled/out_of_domain/trace_missing）。

小结

• 本章给出路径积分的自适应数值实现、两口径并行与误差合成框架，核心产出：
  manifest.path.integral = { T_form1, T_form2, delta_form, parts:{L_gamma}, qc:{u_q,u_interp,u_geom,u_c,res_L}, policy:{quad,eps_abs,eps_rel,Δell_max,η_n,η_k}, RefCond, samples:{N_total,E} }。
• 与第4–9章及 Cleaning/TimeBase/Instrument 卷联动后，可实现跨介质路径到达时的稳定计算与可审计发布。