23-EFT.WP.Metrology.PathCorrection v1.0 | 第9章 射线追迹与折射（Eikonal/Fermat）

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第9章 射线追迹与折射（Eikonal/Fermat）

一句话目标：在非均匀介质 n_eff(f,x) 中，以费马原理与 Eikonal 方程为基础，稳定求解传播路径 gamma(ell) 与到达时积分，并形成可审计的边界条件与数值收敛口径。

I. 范围与对象

1. 输入
   • n_field = n_eff(f,x)（连续或分段连续）、f 或带宽占位、几何锚点 {r_tx, r_rx}、近场边界与地形/建筑多面体；
   • 初猜路径 gamma0 或发射出射方向锥；边界条件 bc ∈ {two_point, shooting, refract, reflect}；
   • 参考条件 RefCond（数据源、分辨率、时间戳 ts）。
2. 输出
   • 可行路径 gamma(ell) : [0,L_gamma] → R^3 与切向 t_hat(ell)；
   • 到达时两口径积分 {T_form1, T_form2, delta_form} 与分项 T_geom, T_med；
   • 折射/反射事件列表（界面点、法向、入/出射角、标签）；质量与不确定度字段。
3. 适用范围与边界
   • 自由空间（对流层/电离层）折射、分层介质（地表/水面）折射/反射，以及光纤中缓变 n_g(f,T,x) 的几何求解。
   • 强散射/绕射、波导模态与全向随机多径不在本章主方程内（见第7章、附《Instrument》对端口 S 参数）。

II. 名词与变量

• gamma(ell)：路径参数化；ell 为弧长，unit(ell) = "m"。
• t_hat = d gamma / d ell / | d gamma / d ell |：单位切向量。
• n_eff(f,x)：有效折射率或等效群指标，unit = "1"。
• s(x) = n_eff(f,x) / c_ref：慢度场，unit = "s/m"。
• tau(x)：到达时场（travel-time field），unit = "s"。
• H(r,p)：哈密顿量；p = ∇tau 或对偶动量。
• L_gamma = ( ∫_gamma 1 d ell )：路径长度，unit = "m"。
• T_arr：到达时；delta_form、tol_Tarr 见总设定。
• 界面参数：n_1, n_2, n_hat、入射角 theta_i、折射角 theta_t、反射角 theta_r。

III. 公设 P809-*

• P809-1（费马原理） 实际路径令泛函 J[gamma] = ( ∫_{gamma} n_eff d ell ) 极小（或驻值）；其欧拉–拉格朗日方程定义可行射线。
• P809-2（Eikonal 公设） 到达时场满足 | ∇ tau(x) | = s(x)，并与费马原理等价。
• P809-3（哈密顿正则） 存在哈密顿形式，使射线满足
  dr/dσ = ∂H/∂p, dp/dσ = - ∂H/∂r，其中 H(r,p) = 0.5*( |p|^2 - s(r)^2 ) 为常用选择。
• P809-4（界面公设） 在分段常/缓变介质界面，切向相位连续，满足 Snell 关系与镜面反射定律。
• P809-5（两口径一致） T_arr 必须并行以 T_form1 = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) 与 T_form2 = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 计算并记录 delta_form。
• P809-6（单调与可行） 可行解满足 non_decreasing(ell)、L_gamma > 0、n_eff > 0，并尊重几何边界与能量可达性。
• P809-7（数值可审计） 射线求解需要明确步长控制、收敛判据与失败回退；全部参数进入可追溯元数据。

IV. 最小方程 S809-*

• S809-1（Eikonal 方程与边界）
  | ∇ tau(x) | = s(x) = n_eff(f,x) / c_ref，
  tau(r_tx) = 0；若多源，则在源集取下确界作为初始边界。
• S809-2（射线常微分方程，等价式）
  以弧长为参量：
  d r / d ell = t_hat，
  d / d ell ( n_eff * t_hat ) = ∇ n_eff。
  或以参数 σ：
  d r / d σ = p，d p / d σ = - 0.5 * ∇ ( s^2 )，H(r,p) = 0。
• S809-3（界面条件）
  折射：n_1 * sin(theta_i) = n_2 * sin(theta_t)；
  反射：theta_r = theta_i；
  全反射条件：sin(theta_i) ≥ n_2 / n_1（若 n_1 > n_2）。
  切向分量守恒：( n * t_tangential ) 连续。
• S809-4（球对称分层折射的守恒量）
  若 n = n(r)，则保守量（布格参量）
  a = n(r) * r * sin(theta)；
  弯折角积分
  beta = - ∫ ( d ln( n(r) * r ) / dr ) * dr / sqrt( ( n(r)*r / a )^2 - 1 )（遇到分层时分段积分）。
• S809-5（到达时与两口径差）
  T_arr = ( ∫_{gamma} ( n_eff / c_ref ) d ell )；
  delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫_{gamma} n_eff d ell ) - ( ∫_{gamma} ( n_eff / c_ref ) d ell ) |。
• S809-6（可行性与终止条件）
  终止准则：|| r(ell_end) - r_rx || ≤ tol_bc；
  发散或穿越禁区时终止并回退。
• S809-7（线性化与灵敏度）
  对 n_eff 的一阶灵敏度
  d T_arr / d n_eff(x) = ( 1 / c_ref ) * δ_{x ∈ gamma}（测度在路径上）；
  对端点射线偏导由变分方程
  d / d ell ( n_eff * d t_hat / d θ0 ) = (∇∇ n_eff) * d r / d θ0 给出（用于雅可比与不确定度传播）。

V. 计量流程 M80-9

1. 就绪：装配 n_field（见第4章），检查连续性与梯度界；建立几何边界与接口（地表/水面/分层高度）。
2. 初猜：
   • 两点边值 two_point：以测地直线或分段折射直线为 gamma0；
   • 发射锥 shooting：在出射角扇区均匀采样构建多条候选。
3. 数值求解：
   • 射线追迹：RK45/RK78 自适应步长积分 S809-2；对 t_hat 施加重正交化；
   • 边值匹配：弧度—位置残差 F(theta0) = r(theta0, ell_end) - r_rx，牛顿/割线更新 theta0；必要时多段多点匹配（collocation）。
4. 界面处理：命中界面时按 S809-3 更新方向；全反射分支记录标签。
5. 到达时：沿 gamma 计算 T_form1, T_form2，并分解 T_geom = ( ∫ 1 d ell ) / c_ref 与介质项 T_med = T_arr - T_geom（仅用于诊断）。
6. 校核：
   • 可行性：ell 单调、未穿越禁区；
   • 收敛：||F|| ≤ tol_bc、曲率半径与步长比在界内；
   • 两口径：delta_form ≤ tol_Tarr。
7. 不确定度：对 n_field 的统计场或分段区间做线性化传播 u_c；低仰角可并行 MC 样本以覆盖非线性。
8. 落盘：输出 manifest.path.ray = { gamma.hash, L_gamma, events:{refract,reflect}[], T_parts:{T_arr,T_geom,T_med}, qc:{delta_form,res_bc,steps}, policy:{solver,step_ctrl}, RefCond, u/U, tags }。
9. 监测与回退：失败时回退到直线或分层近似；打 ray_fail 与原因标签。

VI. 契约与断言（C80-91x）

• C80-911 几何单调：non_decreasing(ell)，L_gamma > 0。
• C80-912 慢度正性：s(x) > 0；若模型出现 s ≤ 0 直接拒收。
• C80-913 收敛门限：|| r_end - r_rx || ≤ tol_bc（建议 ≤ 1e-3 m 级或链路分辨率的 1/10）。
• C80-914 步长控制：Δell ≤ min( η_curv * R_curv , Δell_max )，η_curv ≤ 0.1。
• C80-915 界面守恒：入/出射角与 n * sin(theta) 连续的相对误差 ≤ 1e-6。
• C80-916 两口径差：delta_form ≤ tol_Tarr（建议 ≤ 0.02 ns）。
• C80-917 可达性：若 ray 被地形/禁区阻断或进入全反射闭域，标注 unreachable；不得发布伪解。
• C80-918 量纲一致：check_dim( T_arr ) = "[T]"，check_dim( L_gamma ) = "[L]"。
• C80-919 元数据完整：RefCond、solver、step_ctrl、tol_*、events[] 必须落盘。

VII. 实现绑定 I80-*

• I80-91 solve_ray(n_field, gamma0, bc) -> { gamma, L_gamma, events, qc:{res_bc, steps}, tags }
  不变量：non_decreasing(ell)、L_gamma > 0。
• I80-92 integrate_path(n_eff, gamma, c_ref) -> { T_form1, T_form2, delta_form, T_parts }（与第10章实现共享）。
• I80-93 refract_reflect_update(ray_state, interface) -> ray_state'（实现 S809-3）。
• I80-94 build_initial_guess(r_tx, r_rx, geom, stratified?) -> gamma0
• I80-95 assert_ray_contracts(payload, rules) -> report
• I80-96 emit_path_manifest_ray(payload, policy) -> manifest.path.ray

VIII. 交叉引用

• n_field 的构建与频散口径：见本卷第4章。
• 对流层/电离层参数与映射：见第5、6章。
• 多径与镜面边界（反射面识别）：见第7章。
• 数值积分与两口径实现细节：见第10章与《EFT.WP.Methods.Cleaning v1.0》。
• 时基、同步与到达时发布语义：见《EFT.WP.Metrology.TimeBase v1.0》《EFT.WP.Metrology.Sync v1.0》。
• 仪器/接口延迟：见《EFT.WP.Metrology.Instrument v1.0》。

IX. 质量与风控

1. SLO：p95( res_bc ) ≤ 1e-3 m，p99 ≤ 5e-3 m；p95( delta_form ) ≤ 0.02 ns。
2. 稳定性：曲率自适应步长触达率 ≥ 99.9%；失败回退覆盖率 = 100%（总有可发布的近似解且带标签）。
3. 漂移与审计：长期比较 L_gamma 与直线距离的差分分布；事件比率（折射/反射/回退）入库；版本变更遵循附录F。
4. 回退策略：
   • 直线近似 n_eff = const；
   • 分层解析折射（S809-4）；
   • 仅介质标量修正（由第5/6章映射）并上调 u。

小结

• 本章给出以费马原理与 Eikonal 方程为核心的射线求解框架，覆盖边界条件、界面事件与两口径一致性监控。
• 产出物与键：
  manifest.path.ray = { gamma.hash, L_gamma, events[], T_parts:{T_arr,T_geom,T_med}, qc:{delta_form,res_bc,steps}, policy:{solver,step_ctrl}, RefCond, u, U, tags }。
• 与第4–7、10章及 TimeBase/Sync/Instrument 卷联动后，可在低仰角与强梯度环境中稳定获得可审计的到达时与路径几何。