04-EFT.WP.Core.Metrology v1.0 | 第5章 不确定度评定与预算

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第5章 不确定度评定与预算

I. 目的与范围

• 建立从输入量 X = { x_i } 与参数 theta = { theta_j } 到计量对象 Y = f(X; theta) 的不确定度评定与预算方法，覆盖类型 A/B、协方差建模、线性与蒙特卡洛传播、覆盖因子与报告规则。
• 与第4章“测量模型与溯源链”对接：register_measurement 的 model、inputs、trace 必须提供 u(·) 与 Cov[·] 的来源与评定。

II. 术语与符号

• 标准不确定度：u(x)；合成标准不确定度：u_c(Y)；覆盖因子：k；扩展不确定度：U = k * u_c(Y)。
• 协方差与相关：Cov[X]、Corr[X]；敏感度系数：c_i = ∂f/∂x_i；雅可比：J = ∂f/∂X。
• 量纲守恒（复述第2章）：dim( u(y) ) = dim(y)；check_dim( Y - f(X; theta) ) = "[1]" 恒等。

III. 类型 A 评定（数据驱动）

1. 样本统计：
   • x_bar = (1/n) * ∑_{k=1}^n x_k
   • s^2(x) = (1/(n-1)) * ∑_{k=1}^n ( x_k - x_bar )^2
2. 若 measurand 为均值：u_A(x_bar) = s(x) / sqrt(n)；自由度 nu(x_bar) = n - 1。
3. 若输入为单次测量值且仅有重复性：u_A(x) = s(x)；自由度 nu(x) = n - 1。

IV. 类型 B 评定（知识驱动）

1. 由证书/规格/物理常数等给出区间或分布并换算为标准不确定度：
   • 矩形分布半宽 a：u_B = a / sqrt(3)
   • 三角分布半宽 a：u_B = a / sqrt(6)
   • 正态分布方差 σ^2：u_B = σ
   • U 形分布半宽 a：u_B = a / sqrt(2)
2. 类型 B 默认自由度 nu = +∞；若制造商给出置信区间 CI_{1-α}，需按分布反推相应 u_B。

V. 线性传播与合成（S95-1）

1. 一阶线性化：在名义点 (X0, theta0)，dY approx J_X dX + J_theta d theta，J_X = ∂f/∂X，J_theta = ∂f/∂theta。
2. 独立情形：u_c(Y)^2 = ∑_i ( c_i * u(x_i) )^2 + ∑_j ( c_j^theta * u(theta_j) )^2。
3. 相关情形：
   • u_c(Y)^2 = J_X Cov[X] J_X^T + J_theta Cov[theta] J_theta^T + 2 * J_X Cov[X,theta] J_theta^T。
   • 二元展开：u_c(Y)^2 = ∑_i c_i^2 u(x_i)^2 + 2 ∑_{i<j} c_i c_j Cov(x_i, x_j)。
4. 接口对应（I40 5）：combine_uncertainty(J, u_inputs, Cov) 返回 u_c(Y)。

VI. 非线性与蒙特卡洛（S95-2）

1. 当 f 强非线性、分布显著非正态或边界/比值/对数模型时，采用 MC：
   • 为每个输入定义分布 x_i ~ D_i 与相关结构 Cov[X]。
   • 采样 N 组输入，计算 y^(m) = f( x^(m); theta^(m) )。
   • u_c(Y) = std( { y^(m) } )；CI_{1-α} 取经验分位数 [α/2, 1-α/2]。
2. 变换策略：对有界或比值型量优先在变换域传播再还原：
   • 比值 r = a / b：传播 phi = ln r，再取 U_r approx r * U_phi；
   • 概率/透射系数 T_trans ∈ (0,1)：传播 phi = logit(T_trans)，再经 inverse_transform 还原。

VII. 覆盖因子与有效自由度

1. 正态近似且 nu_eff -> +∞：k approx 2 对应约 95% 置信。
2. Welch–Satterthwaite（独立近似）：
   • nu_eff = ( u_c^4 ) / ∑_i ( ( c_i^2 * u(x_i)^2 )^2 / nu_i )
   • 取 k = t_{nu_eff, 1-α/2}（双侧）。
3. 如采用 MC，k 可由目标覆盖概率的分位数比值替代：U = quantile( |Y - median(Y)|, 1-α )。

VIII. 报告与舍入（I40 6 对接）

1. 报告最小字段 { value, u_c, k, U, unit, RefCond, model, trace }；dim( u(y) ) = dim(y)。
2. 舍入规则：
   • 先计算 U，再用 round_by_unc(value, U) 同位舍入；
   • U 通常保留 1–2 个有效数字，value 保留至与 U 相同的小数位。

IX. 判定与防护带（guard band）

1. 对上限公差 tol：设防护带 g = k_dec * u_c，k_dec 由风险策略给定：
   “shared-risk” 策略：k_dec = 1；判定规则：
   • pass 若 result + g ≤ tol；
   • fail 若 result - g > tol；
   • inconclusive 其余情况（建议复测或增大样本）。
2. 接口（I40 6）：guard_band(result, U, tol, rule="shared-risk")。

X. 到达时 T_arr 预算示例（与第4章一致）

1. 模型（一般口径）：T_arr = ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )。
2. 定义聚合量：L_gamma = ( ∫_gamma 1 d ell )，n_eff_avg = ( 1 / L_gamma ) * ( ∫_gamma n_eff d ell )，则
   T_arr = ( n_eff_avg * L_gamma ) / c_ref。
3. 敏感度系数：
   • ∂T_arr/∂n_eff_avg = L_gamma / c_ref
   • ∂T_arr/∂L_gamma = n_eff_avg / c_ref
   • ∂T_arr/∂c_ref = - ( n_eff_avg * L_gamma ) / c_ref^2 = - T_arr / c_ref
4. 合成不确定度（含相关项）：
   u_c(T_arr)^2 = ( L_gamma / c_ref )^2 u(n_eff_avg)^2 + ( n_eff_avg / c_ref )^2 u(L_gamma)^2 + ( T_arr / c_ref )^2 u(c_ref)^2 + 2 * ( L_gamma / c_ref ) * ( n_eff_avg / c_ref ) * Cov( n_eff_avg, L_gamma )。
5. 备注：若 c_ref 作为固定常数（证值固定），取 u(c_ref) = 0。

XI. 张力与透射示例

1. 张力（第4章模板 B）：T_fil = k_cell * ( V_out - V0 ) * corr_env(1; RefCond)
   • 敏感度：∂T_fil/∂k_cell = ( V_out - V0 )，∂T_fil/∂V_out = k_cell，∂T_fil/∂V0 = -k_cell。
   • u_c(T_fil)^2 = ( V_out - V0 )^2 u(k_cell)^2 + k_cell^2 [ u(V_out)^2 + u(V0)^2 - 2 Cov(V_out, V0) ] + ...（环境修正的贡献按所选 corr_env 线性化加入）。
2. 透射系数（第4章模板 C）：T_trans = ( I_out / I_in ) * ( 1 / R_det ) * corr_env(1; RefCond)
   • 建议在对数域传播：phi = ln T_trans = ln I_out - ln I_in - ln R_det + ln corr_env(·)；
   • u_c(phi)^2 = u( ln I_out )^2 + u( ln I_in )^2 + u( ln R_det )^2 - 2 Cov( ln I_out, ln I_in ) + ...；
   • 还原：u_c(T_trans) approx T_trans * u_c(phi)，CI 由对数正态近似或 MC 给出。

XII. 不确定度预算流程（Mx-3）

• 明确 measurand Y、测量模型 Y = f(X; theta) 与单位/量纲（调用 check_dim）。
• 为每个输入/参数标注来源、分布与 u(·) 类型（A 或 B）、自由度 nu，构建 Cov[X] 与必要的 Cov[theta]。
• 在名义点计算 J_X, J_theta；线性传播得 u_c(Y)，并核对非线性指标（如相对二阶项）。
• 如线性近似不充分或存在边界/比值/对数特征，执行 MC 并对比线性结果。
• 计算 nu_eff 与 k；得到 U = k * u_c(Y)。
• 生成报告：{ value, u_c, k, U, unit, RefCond, model, trace }，执行 round_by_unc 与 guard_band。
• 归档预算表与溯源证据，纳入回归对照（I40 8）。

XIII. 实现要点与接口映射

• 类型 A：unc_typeA(samples)；类型 B：unc_typeB(spec)；组合：combine_uncertainty(J, u_inputs, Cov)；扩展：expanded_uncertainty(u_c, k)。
• 变换与还原：nondim / re_dim；inverse_transform 用于 log、logit 等。
• 判定：round_by_unc、guard_band；跨卷一致性：必要时调用 bind_to_equation(·) 与 enforce_arrival_time_convention()。