24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0 | 第15章 用例与参考实现

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第15章 用例与参考实现

一句话目标：以可复现实验链路展示从数据到拓扑图谱的端到端实现，覆盖“相位奇点→二维”“斯格明→二维/三维”“世界线重联→时空”的代表用例，并绑定接口、契约与面板字段，形成工程落地范式。

I. 范围与对象

1. 覆盖用例
   • Case-A 相位奇点（涡旋）：干涉/相位场 θ(x,y) 的二维缺陷提取与图谱发布。
   • Case-B 磁斯格明（Skyrmion）：自旋取向场 n(x,y) ∈ S^2 的拓扑密度与晶格图谱。
   • Case-C 世界线重联：三维或时空体 n(x,y,t) 的缺陷世界线 Γ、编织与重联事件检测。
2. 输入：已清洗或原始数据（见第12章）f, θ, n, Γ0；复形与滤过策略 τ_policy；Atlas 基座 {U_a, φ_a, ψ_a, T_ab}；运行策略与资源预算。
3. 输出：
   • 每用例的 Atlas_case、D_case、关键不变量与证据；
   • 两口径差 delta_form_case 与合规报告；
   • manifest.topo.case.*（可复现清单与签名）。
4. 边界与约束：non_decreasing(τ)；Σ_a ψ_a ≡ 1；所有度量 check_dim 必通过；随机性固定 seed；跨域比较需声明归一化 norm。

II. 名词与变量

• 场/取向：θ(x,y)、n(x,y) ∈ S^2、n(x,y,z,t)；世界线 Γ = {γ_i(s)}。
• 拓扑密度与电荷：q_vortex、q_sky、Q = ∫ q dA 或 ∫ q dV；链接/自扭：Lk, Tw, Wr。
• 复形/滤过：K(τ)、持久图 D、景观 λ_D；阈值与窗口 τ, τ_pers。
• 两口径：formA = clean→build→measure 与 formB = build→simplify→measure。
• 合规：delta_form_case、tol_case、u(·)、U = k * u_c。

III. 公设 P915-*

• P915-1（物理→拓扑守恒）：Case-A/B 的电荷 Q 与期望密度守恒在 ±u(Q) 内；Case-C 的拓扑类型在非重联区段保持不变。
• P915-2（两口径并行）：所有用例同步计算 formA/B，记录 delta_form_case 与证据。
• P915-3（Atlas 一致）：图块重叠处经 T_ab 对齐；Σ_a ψ_a ≡ 1 严格保持。
• P915-4（单位与量纲）：unit(Q) = "[1]"；unit(d_B) = unit(τ)；unit(Lk) = "[1]"；所有 check_dim 必通过。
• P915-5（可复现）》：数据哈希、版本、seed` 与超参全部落盘并签名。

IV. 最小方程 S915-*

1. Case-A 相位奇点（二维）
   • S915-1（环绕数）》：q_vortex(x0) = ( 1 / (2*pi) ) * ( ∮_C ∇θ · dl )，C` 环绕像素环。
   • S915-2（离散绕数）》：q_vortex = round( (1/(2*pi)) * Σ_{edges} wrap(Δθ) )，wrap将相位差映射到(-pi, pi]`。
   • S915-3（电荷）》：Q = Σ_i q_vortex(i)；unit(Q)="[1]"，dim(Q)=[1]`。
2. Case-B 斯格明（二维/三维切片）
   • S915-4（密度）》：q_sky(x,y) = ( 1 / (4*pi) ) * n · ( ∂_x n × ∂_y n )`。
   • S915-5（总电荷）》：Q = ( ∫ q_sky dA )`（或体积分片求和）；离散用雅可比/面积权重近似。
3. Case-C 世界线与重联（时空）
   • S915-6（Gauss 链接）》：Lk(Γ_i, Γ_j) = ( 1 / (4*pi) ) * ∬ ( ( dℓ_i × dℓ_j ) · ( r_i - r_j ) / || r_i - r_j ||^3 )`。
   • S915-7（重联事件）》：在 t0±Δt内Lk或成分数阶跃且保能量守恒证据，定义事件E_reconn`。
4. 图谱级整合
   • S915-8（局部→全局）》：Inv_global = Σ_a ( ∫_{U_a} ψ_a * inv_a dV )`。
   • S915-9（两口径差）》：delta_form_case = d_B( D_{formA}, D_{formB} )或| Q_{formA} - Q_{formB} |`。

V. 计量流程 M90-15（三用例通用）

• 就绪：加载数据与 RefCond；估计噪声 σ 与稳定窗口（见第12章、第8章）。
• 清洗与取向守恒：标量用 TV/Aniso；相位用圆值均值；S^2 场用投影均值（见 S912-6/7）。
• 复形与滤过：构建 K(τ)（Rips/Alpha/图拉普拉斯），计算 D 与景观；保证 non_decreasing(τ)。
• 拓扑测度：按 S915-1/5/6 计算 q、Q、Lk 与 E_reconn；生成局部证据切片与配对。
• Atlas 合成：将 inv_a 以权重 ψ_a 汇总；修正过渡 T_ab 与循环误差 Δ_cyc。
• 两口径并行：同步运行 formA/B，计算 delta_form_case 与不确定度 u(Inv)；若越界则回退并重算。
• 发布与签名：输出 Atlas_case、D_case、Inv、证据与 manifest.topo.case.*，完成签名与审计落盘。

VI. 契约与断言 C90-151x（建议阈值）

• C90-15101（电荷守恒）》：Case-A/B 的 |Q_out - Q_in| ≤ tol_Q（建议 tol_Q = 0.5` 单位电荷）。
• C90-15102（两口径一致）》：delta_form_case_p95 ≤ tol_case（建议 0.02 * scale_τ`）。
• C90-15103（Atlas 一致）》：sup_x |Σ_a ψ_a - 1| ≤ 1e-6，Δ_cyc_p95 ≤ tol_cyc`。
• `C90-15104（证据充分）》：每个拓扑对象至少具备三类证据：局部切片、持久配对、几何轮廓/方向场。
• C90-15105（量纲门）》：check_dim(Q) = "[1]"，check_dim(d_B)=unit(τ)，check_dim(Lk)="[1]"`。
• C90-15106（稳定性）》：在 ε扰动下d_B(D, D+δ) ≤ ε + 0.05*scale_τ`（承接第8章）。

VII. 实现绑定 I90-15*（参考接口）

• I90-151 detect_vortices_phase(theta, policy) -> {points, q_vortex, Q, evidence}
• I90-152 measure_skyrmion_charge(n_field, scheme) -> {q_map, Q, lattice, evidence}
• I90-153 trace_worldlines(n_field_t, seed_policy) -> {Γ, tags}
• I90-154 detect_reconnection(Γ, window) -> {E_reconn, Lk_series, evidence}
• I90-155 build_case_complex(data, τ_policy) -> {K(τ), D, λ_D}
• I90-156 compose_case_atlas(tiles, ψ, T_ab) -> Atlas_case, Δ_cyc
• I90-157 compare_case_forms(resultsA, resultsB, metrics) -> delta_form_case
• I90-158 assert_case_contracts(results, rules) -> report
• I90-159 emit_case_manifest(results, policy) -> manifest.topo.case
  不变量：non_decreasing(τ)；Σ ψ ≡ 1；delta_form_case ≤ tol_case；check_dim 全通过；可复现（seed 固定）。

VIII. 交叉引用

• 数学基线与拓扑对象：见第2–3章。
• 场→拓扑密度构建：见第4章（q_vortex/q_sky 的离散实现与雅可比）。
• 世界线与编织：见第5–6章（Lk/Tw/Wr 与事件图）。
• 数据→复形与滤过：见第7章；持续同调与稳定性：见第8章。
• 图谱与过渡：见第9–11章；清洗与稳健：见第12章。
• 检索与比对：见第13章；运行时与面板：见第14章。
• 误差传播与不确定度：见附录E（用于 u(Q), u(Lk) 的合成）。

IX. 质量与风控

• SLO/SLI：delta_form_case_p95、Q_bias、R@K（若含检索）、panel.runtime.*、重联检出延迟 lat_reconn。
• 回退策略：高阶差分 → 低阶差分 → 加粗网格 → 仅 H0/H1；或限制域内 τ_window 扩大持久门。
• 审计：保存输入哈希、离散雅可比/网格、证据切片、配对列表、世界线片段与 Index 版本；对外发布脱敏摘要与签名。

小结

• 本章以 Case-A/B/C 三条链路交付了从数据→复形→不变量→Atlas 的端到端参考实现，明确 P915/S915/M90-15/C90-151x/I90-15* 的工程闭环。
• 通过两口径并行、契约门与证据化发布，保障拓扑图谱在多场景中的可复现、可审计与可集成；产出以 manifest.topo.case.* 统一落盘并服务于第13–14章的检索与运行面板。