25-EFT.WP.STG.Dynamics v1.0 | 附录E 误差与不确定度传播（动力学版）

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附录E 误差与不确定度传播（动力学版）

一句话目标：给出 STG 动力学从图结构与算子到推进/同化的误差来源分解、线性化传播（LPU）与蒙特卡洛（MC）对照口径，并形成 guardband 与合规落盘。

I. 范围与对象

• 对象：graph(V,E), L/A/H, 核 K=g(L), 连续/离散动力学 f(x,θ,Δt), 数值积分与近似、同化（KF/UKF/PF），不确定度合成与 guardband。
• 输入：RefCond, units.*, baseline.metrics, graph/L/H/K.hash, solver/meta, 噪声先验 Q/R, 参数先验 θ ~ N(θ0, Σ_θ)。
• 输出：uncertainty.*（u_num, u_model, u_c, g, nu_eff, α）、两口径差 delta_form_unc、校核报告与签名。
• 边界：H 可时变；L 为对称半正定（无向）或一般矩阵（有向）；随机过程平稳与否按 RefCond 声明。

II. 名词与变量

• 动力学：x_{k+1} = f(x_k, θ, Δt) + w_k，y_k = h(x_k) + v_k；线性化 F_k = ( ∂f / ∂x )|_{x̂_k}, H_k = ( ∂h / ∂x )|_{x̂_k}。
• 图算子与核：L, A, H（观测矩阵）, K = g(L)，谱分解 L = U Λ U^T。
• 误差分量：u_num（数值积分/近似）、u_model（模型结构/参数）、u_obs（观测噪声）、u_proc（过程噪声）、u_init（初值）。
• 协方差与传播：P_k, Q_k, R_k, Σ_θ，J_*（雅可比），⊕（协方差合成）。
• 覆盖与卫界：u_c（合成标准不确定度），g = k * u_c，α（置信尾概率），nu_eff（有效自由度）。
• 两口径差：delta_form_unc = | u_c^{LPU} - u_c^{MC} |。

III. 公设 P70E-*

• P70E-1：误差分解遵循可加近似：u_total^2 ≈ u_proc^2 ⊕ u_obs^2 ⊕ u_model^2 ⊕ u_num^2 ⊕ u_init^2，其来源与估计方法须落盘。
• P70E-2：线性化传播（LPU）与 MC 并行执行，记录 delta_form_unc 并置契约阈值。
• P70E-3：所有矩阵型量声明 unit(field) 与 dim(field) 并通过 check_dim。
• P70E-4：若 L 可正交对角化，则优先采用谱域界给出核近似与传播上界。
• P70E-5：数值积分误差以局部截断误差（LTE）与步长控制器给出可审计上界。

IV. 最小方程 S70E-*

• 连续→离散线性近似：ẋ = A x + B u + w_c，F = exp( Δt A )，Q_d = ∫_0^{Δt} exp(τ A) Q_c exp(τ A)^T dτ。
• 非线性线性化传播：P_{k+1|k} = F_k P_{k|k} F_k^T + Q_k + U_num,k + U_model,k。
• 观测更新（KF/UKF）：S_k = H_k P_{k+1|k} H_k^T + R_k，K_k = P_{k+1|k} H_k^T S_k^{-1}，P_{k+1|k+1} = (I - K_k H_k) P_{k+1|k}。
• 核近似误差（谱域，L 对称）：K = U g(Λ) U^T，K_approx = U g_m(Λ) U^T，
  ε_approx = ( || g(Λ) - g_m(Λ) ||_2 / || g(Λ) ||_2 )，
  U_kern ≈ ε_approx^2 * K P_k K^T（一阶界）。
• 数值积分误差（阶 p，步长 Δt）：||e_{LTE}||_2 = O( Δt^{p+1} )，
  U_num ≈ J_f Σ_num J_f^T，Σ_num = σ_num^2 I，σ_num ∝ Δt^{p+1}（由步长控制回填常数）。
• 参数不确定度传播：U_model ≈ J_θ Σ_θ J_θ^T，J_θ = ( ∂f / ∂θ )|_{x̂,θ}。
• 合成标准不确定度：u_c = sqrt( tr(W P_out W^T) )（W 为关注量线性映射）；g = k * u_c（k 由 α, nu_eff 给出）。
• Welch–Satterthwaite：nu_eff ≈ ( ∑ w_i u_i^2 )^2 / ∑ ( w_i^2 u_i^4 / ν_i )（分量近似自由度合成）。
• 两口径差：delta_form_unc = | u_c^{LPU} - u_c^{MC} |。

V. 计量流程 M70-5（就绪→分解→传播→校核→落盘）

1. 就绪：载入 RefCond/units.*、graph/L/H/K.hash、solver/meta、Q/R/Σ_θ/x0/P0，确定关注量映射 W。
2. 分解：标注误差源 proc/obs/model/num/init，设定 MC 采样规模 N_mc 与步长策略。
3. 传播（并行）：
   • LPU：构造 F_k,H_k,J_f,J_θ，依 S70E-* 推进 P，累加 U_num,U_model；
   • MC：采样 {w_k,v_k,θ} 与步进器，得到输出样本方差 u_c^{MC}。
4. 校核：计算 delta_form_unc、coverage、nu_eff，执行契约 C70E-*；失败生成审计包。
5. 落盘：写入 uncertainty.*、分量占比、检验统计与 signature，同步面板。

VI. 契约与断言 C70E-*（阈值建议）

• C70E-01：coverage ≥ 1 - α - ε_cov（由回放或 MC 估计）；
• C70E-02：delta_form_unc ≤ tol_unc（建议 ≤ 0.15 * u_c）；
• C70E-03：ε_approx ≤ ε_cap（核近似），σ_num ≤ σ_cap(Δt,p)（积分器）；
• C70E-04：P 正定且 cond(P) ≤ κ_cap；
• C70E-05：谱稳定：ρ(F) < 1（离散）或 max Re(eig(A)) < 0（连续）；
• C70E-06：单位/量纲校核 check_dim(P) = "[x]^2"、check_dim(g) = unit(W x) 通过。

VII. 实现绑定 I70-*（接口原型与不变量）

• linearize_dynamics(f, x_hat, θ, Δt) -> {F, J_f}
• propagate_cov(P, F, Q, U_num, U_model) -> P_next
• estimate_num_uncertainty(stepper_state, order_p, Δt) -> U_num
• estimate_kernel_uncertainty(L, g, g_m, P) -> U_kern, ε_approx
• propagate_param_uncertainty(J_θ, Σ_θ) -> U_model
• uncertainty_to_guardband(P, W, k, α) -> {u_c, g, nu_eff}
• mc_propagate(stepper, priors, N) -> {u_c_MC, samples_digest}
• assert_uncertainty_contracts(stats, rules) -> report
  不变量：non_decreasing(wm)；输入哈希与 RefCond 可追溯；P ≻ 0；数值失败时返回带标签的 NaN 并阻断发布。

VIII. 交叉引用

• 数值积分与稳定界：见第9章。
• 同化一致性与残差统计：见第12章。
• 不确定度指标与 guardband 面板：见第13章、附录D。
• 清单嵌入与签名：见附录C。

IX. 质量与风控

• SLO：uncertainty.pipeline.latency_p95 ≤ B_mod；MC 预算 N_mc 自适应至 se(u_c^MC) ≤ r_mc * u_c。
• 回退策略：ε_approx 超界→提高近似阶或切换精确谱；σ_num 超界→减小 Δt 或切换刚性积分器；delta_form_unc 超界→提升 MC 样本或重估线性化点。
• 审计与可复现：落盘 jacobians.hash, samples.digest, lte.trace, spectral.bounds 与 rules.version。

小结

• 本附录建立了 STG 动力学误差分解与传播的统一口径：LPU 与 MC 并行、核与积分器误差显式化、参数不确定度矩阵化，并以 guardband g = k * u_c 发布；
• 产出物写入 uncertainty.* 与 contracts.report，服务于运行时监控、对比与合规模块。