26-EFT.WP.STG.Lensing v1.0 | 第13章 不确定度与 guardband（GUM/MC）

目录 ／ 文档-技术白皮书 ／ 26-EFT.WP.STG.Lensing v1.0

第13章 不确定度与 guardband（GUM/MC）

一句话目标：为透镜算子 K = g(L_*) 建立可计量的不确定度传播与guardband 设计体系，覆盖谱/变分两口径、近似误差与运行时漂移，确保合规发布与稳健边界。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 图与算子：G=(V,E,w)，L_* ∈ {L, L^vis, L_ani}，测度 M，边界 B。
   • 透镜核：g(·; θ)（切比雪夫/有理/分段），阶次 order，λ_max 估计与误差。
   • 数据与噪声：x，观测噪声 n_x（u(n_x)），权重噪声 n_w（导致 ΔL_*），时间窗口 W/H 带来的漂移。
   • 参考/指标：y（若有），质量与物理指标 Q_*, T_trans, ρ(K), delta_form。
2. 输出
   • 量化不确定度：u(Kx), u(Q_*), u(T_trans), u(ρ), u(delta_form)；合成不确定度 u_c 与覆盖区间 U = k * u_c。
   • guardband：tol_form', tol_rt', passivity_margin, latency_margin 等运行阈值。
3. 适用边界
   • 线性/分段线性核直接用 GUM 线性化；强非线性、有理近似与迟到重算场景建议 MC。
   • 单位：unit(Kx)=unit(x)；unit(T_trans)=1；check_dim 必须通过。

II. 名词与变量

• 不确定度：u(z)（标准不确定度），u_c（合成），U=k*u_c（覆盖区间），k 覆盖因子，nu_eff 有效自由度。
• 源项分解：ξ = {x, w, λ_max, θ, approx, runtime} 对应协方差 V_ξ。
• 灵敏度/雅可比：J = ∂h/∂ξ，h(ξ) 为输出（如 Kx, T_trans, delta_form）。
• 近似误差：ε_poly（切比雪夫截断），ε_rational（有理残差），ε_spec（特征对齐误差）。
• 运行时：drift(t)（参数漂移），late_ratio（迟到重算占比），stale_ratio（缓存陈旧率）。

III. 公设 P713-*

• P713-1（源项闭合）：任何发布的不确定度必须覆盖 x 噪声、L_* 估计误差、g 参数近似与运行时漂移四类最小源。
• P713-2（两口径对齐）：u(delta_form) 必算，并与阈值 tol_form 共同发布；delta_form ≤ tol_form - guardband 是上线条件。
• P713-3（能量与被动约束）：u(T_trans) 与 u(ρ) 必算；当上界越界风险超阈值即触发降阶或阻尼回退（见第11、12章）。
• P713-4（单位/量纲守恒）：先行 check_dim( y - f(x) )，再传播不确定度。
• P713-5（记录可复现）：RefCond/seed/method 落盘；MC 样本量与收敛准则记录于清单。

IV. 最小方程 S713-*

1. S713-1（GUM 线性化）
   • 设输出 z = h(ξ)，一阶：u_c^2(z) = J V_ξ J^T，J = ( ∂h / ∂ξ )|_{ξ=ξ̂}。
   • Welch–Satterthwaite：nu_eff = ( u_c^4 ) / ( ∑_i ( c_i^2 * u^4(ξ_i) / nu_i ) )，c_i 为灵敏度系数。
2. S713-2（谱滤波输出的雅可比）
   对切比雪夫：Kx ≈ ∑_{m=0}^M a_m T_m(tilde(L_*)) x，tilde(L_*) = (2 L_* / λ_max - I)；
   • 对 a_m：∂(Kx)/∂a_m = T_m(tilde(L_*)) x；
   • 对 λ_max：∂(Kx)/∂λ_max = ∑_{m} a_m T'_m(tilde(L_*)) * ( -2 L_* / λ_max^2 ) x；
   • 对 L_*：∂(Kx)/∂L_* = ( ∑_{m} a_m T'_m(tilde(L_*)) * (2/λ_max) ) ⊙ x（算子方向导数，按 ΔL_* 的 Fréchet 线性化）。
3. S713-3（有理近似情形）
   • g(λ) ≈ ∑_{i=1}^r α_i / (1 + β_i λ)，解 y_i = (I + β_i L_*)^{-1} x；
   • ∂y_i/∂β_i = - (I + β_i L_*)^{-1} (L_* y_i)；∂y_i/∂L_* = - (I + β_i L_*)^{-1} (β_i y_i)；
   • 合成：∂(Kx)/∂α_i = y_i，其余按链式法则累加。
4. S713-4（指标的不确定度）
   • 透过率：T_trans = E(Kx;M)/E(x;M)，E(x;M)=(1/2) x^T M x，
     u^2(T_trans) ≈ (∇_{Kx} T_trans)^T V_{Kx} (∇_{Kx} T_trans)（V_{Kx} 来自上式传播）。
   • 谱半径上界：ρ(K) ≤ sup_λ |g(λ)|，可通过 u(g) 传播上界：U_ρ ≈ sup_λ ( |g(λ)| + k*u(g(λ)) )。
   • 两口径差：delta_form = || x_spec - x_var ||_2；
     线性化：u(delta_form) ≈ ( (x_spec - x_var) / ||·||_2 )^T ( V_spec + V_var ) ( (x_spec - x_var) / ||·||_2 )。
5. S713-5（近似误差并入）
   以不相关型并入：u_c^2 ← u_c^2 + u^2(ε_poly) + u^2(ε_rational) + u^2(ε_spec)；若有相关，加入交叉项 2 cov(·)。
6. S713-6（MC 传播）
   • 采样 ξ^(j) ~ N(ξ̂, V_ξ) 或按经验/自举；计算 z^(j)=h(ξ^(j))；
   • 估计：u_c = std(z^(j))，覆盖：U = q_{1-α/2}(z) - q_{α/2}(z)；
   • 收敛：stderr ≤ η * u_c（η 建议 0.05），或 KS 距离小于阈值。

V. 计量流程 M71-13（就绪→建模→传播→校核→落盘）

1. 就绪：冻结 L_* / M / B / RefCond；评估 V_ξ（含 u(λ_max), u(w), u(θ), u(x)）；选择 GUM/MC 路径与 k, α。
2. 建模：构建 h(ξ)：Kx、T_trans、ρ(K)、delta_form、关键 Q_*；生成雅可比算子或 MC 采样器。
3. 传播：执行 GUM 或 MC；对非线性段落（有理近似/门控残差）优先 MC；合成近似误差与运行时漂移项。
4. 校核：
   • 断言 check_dim；U_ρ 与 U_{T_trans} 不越界；delta_form + k*u(delta_form) ≤ tol_form；
   • 若失败，进入 guardband 设计与核降阶。
5. 落盘：manifest.lens.u = {u(Kx), u(Q_*), u(T_trans), u(ρ), u(delta_form), U, k, nu_eff, method, samples, RefCond, signature}。

VI. 契约与断言 C71-13x（建议阈值）

• C71-1301（覆盖一致）：报告 U 的置信度 ≥ 95%（k≈2 或 MC 分位）。
• C71-1302（两口径）：delta_form + k*u(delta_form) ≤ tol_form（默认 tol_form = 1e-3 ||x||_2，非平滑近端 3e-3）。
• C71-1303（被动上界）：sup_λ |g(λ)| + k*u(g(λ)) ≤ 1+ε（ε=0.02）。
• C71-1304（能量透过率）：T_trans_p95 + k*u(T_trans) ≤ 1+ε（ε=0.01）。
• C71-1305（谱界稳健）：λ_max 估计误差经传播后不导致 U_ρ > 1+ε。
• C71-1306（近似控制）：u(ε_poly) ≤ 0.5 * u_c 且 u(ε_rational) ≤ 0.5 * u_c；否则降阶或改核。
• C71-1307（运行时）：当 drift 导致 ΔU/U ≥ 20% 时，强制重估 V_ξ 与 guardband。

VII. 实现绑定 I71-13*（接口原型、输入输出、不变量）

• build_sensitivity(L_*, g, x, λ_max, method) -> J_handles
• propagate_uncertainty_gum(J_handles, V_ξ) -> {u_c, nu_eff, parts}
• propagate_uncertainty_mc(sampler, N, α, η) -> {stats, U, N_eff}
• compose_u_with_approx(u_core, u_eps) -> u_total
• design_guardband(metrics_u, risk_policy) -> {tol_form', passivity_margin, latency_margin, actions}
• assert_u_contracts(u_report, rules) -> report
• emit_u_manifest(results, policy) -> manifest.lens.u
  不变量：V_ξ ⪰ 0；λ_max>0；MC 抽样固定 seed；RefCond 与 B 一致；两口径并行。

VIII. 交叉引用

• 数学近似与谱核实现：见本卷第5章；多层与门控：第8章；学习型核的不确定度先验：第9章。
• 物理守恒与被动：第10章；运行时回退与面板：第11章；契约阈值治理：第12章。
• 动力学运行时稳定与积分误差：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第9、14章。

IX. 质量与风控

• SLO/SLI：u(T_trans)_p95, U_ρ, u(delta_form)_p95, ΔU/U, mc.stderr/u_c, nu_eff。
• 回退序列：lower_order → damping → scale_g → boundary_adjust → passthrough → rollback_version。
• 审计：源项协方差来源、近似误差证据、MC 收敛日志、阈值变更与审批链。

小结

• 提供 GUM/MC 两路径，将源项（数据、图、核、近似、运行时）全量纳入 u 传播；
• 基于上界合成与分位 guardband，约束 ρ(K) 与 T_trans，守护两口径一致；
• 通过 I71-13* 与 manifest.lens.u，实现可计量、可回退、可审计的不确定度治理闭环。