05-EFT.WP.Core.Errors v1.0 | 第3章 误差传播与预算

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第3章 误差传播与预算

I. 目标、域与输入输出

• 目标：给定测量/模型输出 y = g(x; theta)，已知输入均值 mu_x、协方差 Cov_x 与（可选）参数后验 Cov_theta，评估输出均值 mu_y 与不确定度 u_c(y)，并形成可追溯的误差预算 EB。
• 输入：x ∈ R^n，theta ∈ R^p，J_x = ∂g/∂x，J_theta = ∂g/∂theta；必要时声明 approx independence 或给出联合协方差。
• 输出：mu_y approx g(mu_x; theta_hat)，Cov_y approx J_x * Cov_x * J_x^T + J_theta * Cov_theta * J_theta^T；标量情形记 u_c(y) = sqrt( Cov_y )。
• 量纲守恒：check_dim( g(x; theta) ) 必过；若含到达时 T_arr，必须显式路径 gamma(ell) 与测度 d ell 并采用括号完整形式。

II. Delta 方法（线性化传播）

• 一阶近似（向量输出）：
  Cov_y approx J_x * Cov_x * J_x^T，其中 J_x = [ ∂g_i/∂x_j ] |_{x = mu_x}。
• 含参数不确定度：
  Cov_y approx J_x * Cov_x * J_x^T + J_theta * Cov_theta * J_theta^T + Cross，Cross 在 approx independence 下忽略。
• 偏导数—线性组合特例：若 y = a^T x，则 u_c^2(y) = a^T * Cov_x * a；若 Cov_x 对角且 a_i = ∂g/∂x_i，则
  u_c^2(y) = ∑_i ( ∂g/∂x_i )^2 * u_i^2 + 2 ∑_{i<j} ρ_ij * ( ∂g/∂x_i ) * ( ∂g/∂x_j ) * u_i * u_j。
• 二阶修正（偏差校正，approx）：
  E[g(x)] approx g(mu_x) + 0.5 * Tr( H_x * Cov_x )，H_x = ∂^2 g/∂x^2。二阶项用于强非线性或大相对不确定度场景。

III. Monte Carlo（MC）传播

• 程序：从 x ~ N(mu_x, Cov_x)（或指定分布）抽样 n 次，计算 y_k = g(x_k; theta_k)（可同时抽 theta_k）。
• 估计：mu_y = mean(y_k)，u_c(y) = std(y_k)；必要时报告分位数区间 CI_{1-α}。
• 适用：非线性、非高斯、界约束、重尾输入。采样数 n 需满足收敛准则（如 SE[u_c] / u_c < tol）。

IV. 系统偏差与环境修正的合成

• 模型：y_corr = corr_env( y_raw; RefCond ) + b_sys，其中 b_sys 为系统偏差估计。
• 传播：u_c^2(y_corr) = u_c^2( corr_env ) + u_c^2( b_sys ) + 2 * Cov( corr_env, b_sys )；在 approx independence 下去交叉项。
• 单位与量纲：corr_env 必保持 dim(y_corr) = dim(y_raw)；任何仿射转换 v_to = a * v_from + b 的不确定度为 u_to = |a| * u_from。

V. 到达时 T_arr 的专用传播（跨卷锚点）

1. 两口径：
   • 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_gamma n_eff d ell )。
   • 一般口径：T_arr = ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )。
2. 线性化（沿路径离散为段 ell_k）：
   T_arr approx ∑_k ( n_eff,k / c_ref ) * Δell_k。
   若 x = [ n_eff, c_ref, Δell ]，则
   ∂T/∂n_eff,k = Δell_k / c_ref，∂T/∂c_ref = - ( 1 / c_ref^2 ) * ∑_k n_eff,k * Δell_k，∂T/∂Δell_k = n_eff,k / c_ref。
3. 合成（approx independence 示范）：
   u_c^2(T_arr) approx (∑_k Δell_k / c_ref)^2 * u^2(n_eff) + ( ∑_k n_eff,k * Δell_k / c_ref^2 )^2 * u^2(c_ref) + ∑_k ( n_eff,k / c_ref )^2 * u^2(Δell_k)。
   若存在相关性（同一路径相邻段），应在 Cov_x 中编码带状相关并用矩阵式传播。
4. 无量纲化一致性（参见《Core.Metrology》第3章）：
   在规范 t0 = L0 / c_ref 下，将 ( n_eff / c_ref ) * d ell 写作 bar_n_eff * d bar_ell，传播在无量纲域进行，再还原。

VI. 误差预算结构 EB 与贡献度

• 定义：EB = { ( name_i, u_i, k_i, contrib_i, note_i ) }，其中 u_i 为标准不确定度，k_i 为覆盖因子（如报告扩展不确定度）。
• 贡献度（线性近似、相关忽略）：
  contrib_i = ( ( ∂g/∂x_i )^2 * u_i^2 ) / u_c^2(y )；排序后给出 Top-K 支配项。
• 扩展不确定度：U = k * u_c(y)；报告时遵循“先合成，后舍入”。
• 预算闭合：∑_i contrib_i approx 1；若显著不闭合，检查相关项与二阶项。

VII. 数值误差的并入

• 截断误差：若离散步长 h，收敛阶 p，则 u_trunc approx C * h^p；由 discretization_order(h_list, y_list) 估计 p 并用 richardson_extrapolate 得极限 y0 与剩余 u_trunc。
• 舍入误差：u_round 由机器精度与路径长度/操作次数上界给出；与输入误差合成时按独立近似并入 u_c^2。
• 合成：u_c^2(total) = u_c^2(model/input) + u_trunc^2 + u_round^2（若无显著相关）。

VIII. 误差传播流程 Mx-1（可执行）

• 明确测量/模型方程 y = g(x; theta) 并通过 check_dim。
• 收集 mu_x, Cov_x 与（可选）Cov_theta；声明 RefCond 与任何 corr_env。
• 选择传播口径：delta 或 MC；当最大相对不确定度或非线性度超过阈值 t_nl 时优先 MC。
• 计算雅可比：J_x（与 J_theta 若适用）；二阶场景评估 H_x 以偏差修正。
• 生成 Cov_y 与 u_c(y)；若报告扩展不确定度，选择覆盖因子 k 并计算 U。
• 组装误差预算 EB，给出 contrib_i 与 Top-K；校验预算闭合。
• 并入数值误差 u_trunc, u_round；再次合成 u_c(total)。
• 形成报告：mu_y, u_c, U, EB, method, n_MC / tol, RefCond, traceability_chain。

IX. 非线性变换常见模式（速查）

• 比例：y = a * x → u_y = |a| * u_x。
• 求和：y = x1 + x2 → u_y^2 = u_1^2 + u_2^2 + 2 ρ_12 u_1 u_2。
• 乘积：y = x1 * x2 → ( u_y / y )^2 = ( u_1 / x1 )^2 + ( u_2 / x2 )^2 + 2 ρ_12 ( u_1 / x1 ) ( u_2 / x2 )。
• 商：y = x1 / x2 → 同乘积式但 x2 项符号同号进入。
• 幂：y = x^a → ( u_y / y ) = |a| * ( u_x / x )。
• 对数：z = log(y) → u_z approx u_y / y（相对不确定度）。
• 指数：y = exp(z) → u_y approx |y| * u_z。
• 角度仿射：K = degC + 273.15 → u_K = u_degC（偏移不影响标准不确定度）。

X. 实现绑定与接口映射（I50 4）

1. propagate_error_delta(f, mu_x, Cov_x, J=None) -> (mu_y, Cov_y)
   若 J is None，内部使用自动或数值差分评估 J；支持 J_theta 并合成参数项。
2. propagate_error_mc(f, sampler, n) -> array
   sampler() 返回 (x, theta)；输出序列用于统计 mu_y, u_c, CI_{1-α}。
3. error_budget(components:dict) -> dict
   输入键 name_i -> {u_i, dgi, rho_to_others}；返回贡献度与排序。
4. 典型调用：
   • 由第2章得到 Cov_theta；
   • 调用 propagate_error_delta 得到 u_c(y) 与初步 EB；
   • 若非线性或界约束触发，改用 propagate_error_mc 并以分位数报告；
   • 通过《Core.Metrology》expanded_uncertainty 生出 U 并按规则舍入。

XI. 报告与追溯最小集

• 必填：model g、RefCond、method ∈ {delta, MC}、J_source、n_MC 或 tol、mu_y、u_c、U、k、EB。
• 合规模块：声明 approx independence（若用）；gamma(ell) 与 d ell（若涉 T_arr）；unit_policy 与 check_dim 结果。
• 追溯：附 traceability_chain，记录 Cov_x 与 Cov_theta 来源（数据、校准、文献或仿真）。

XII. 本章输出与衔接

• 输出：误差传播口径（Delta/MC）、二阶偏差修正、T_arr 专用传播、误差预算结构与贡献度定义、流程 Mx-1、接口映射到 I50 4。
• 衔接：下一章进入离群检测与数据质量，利用本章的 u_c、EB 与标准化残差 e 构建稳健筛除与再拟合闭环。