29-EFT.WP.TBN.Measurement v1.0 | 第4章 相位与频偏估计（PLL/IQ/FFT/Hilbert）

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第4章 相位与频偏估计（PLL/IQ/FFT/Hilbert）

一句话目标：规范PLL 跟踪、IQ/希尔伯特瞬时相位、FFT 频率估计三大类方法在 TBN 中的偏差/方差、测度与单位，给出与 S_phi/S_y/sigma_y、T_arr 两口径配套的可计算最小方程与流程，使相位/频偏估计可审计、可回放、可落盘。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 采集与时标：raw={samples, meta}（见第3章），名义频率/参考 f_ref，窗口 W=[ts-Δt, ts] 与窗函数 w(t)，RBW/ENBW。
   • 方法选择：method ∈ {PLL, IQ, FFT, Hilbert}，以及配置 cfg（带宽/阶次/窗型等）。
   • 环境与路径：RefCond（源/哈希/有效期）、到达时两口径所需的时标一致性（第2/3章）。
2. 输出
   • 估计序列：phi(t)、f_inst(t)、y(t)=(f(t)-f_ref)/f_ref、频偏 Δf̂、不确定度 u(·)；
   • 频谱/统计接口：可直接换算 S_phi/S_y/sigma_y（第2章）；
   • 清单：manifest.tbn.estimator.*（方法/参数/窗/带宽/单位/证据 URI）。
3. 边界
   默认 AWGN、窄带、线性时不变假设；非高斯/非平稳由扩展字段标注。

II. 名词与变量

• 信号模型：x(t)=A(t) cos(2π f_c t + φ(t)) + n(t) 或复基带 z(t)=A(t) e^{jφ(t)} + n(t)；f_c≈f_ref。
• PLL：环路噪声带宽 B_L（unit="[1/T]"），鉴相器常数 K_d，NCO 常数 K_0，闭环传函 H(s)。
• FFT/CFO：观测时长 T_obs=Δt，分辨率 Δf≈1/T_obs，窗泄露 L_sidelobe。
• 希尔伯特：解析信号 z(t)=x(t)+jH\{x(t)\}，瞬时相位 φ(t)=arg z(t)，瞬时频率 f_inst=(1/2π)dφ/dt。
• 量纲：unit(φ)="rad", unit(f_inst)="[1/T]", unit(y)=1, unit(B_L)="[1/T]"。

III. 公设 P504-*

• P504-1（测度显式）：任何估计明确 ( ∫_{t∈W} · dt ) 与 ( ∫_{f∈B} · df )，窗/带宽 RBW/ENBW 落盘。
• P504-2（单位一致）：所有输出通过 check_dim( y - f(x) )；dB↔线性、rad↔cycle 换算写入 scale.note。
• P504-3（CRLB 护栏）：估计器应满足解析下界（CRLB/方差界），不足降级/拒发并触发策略卡。
• P504-4（两口径配套）：估计结果需可与第2章两口径 T_arr^{form1/form2} 同窗对齐，并记录对 delta_form 的方法依赖误差分量（若有）。
• P504-5（方法标注）：method、窗型/阶次/带宽、抗泄露/去偏置步骤必落盘，未标注拒发。

IV. 最小方程 S504-*

1. 共通时域关系与统计

• S504-1：f_inst(t) = (1/2π) dφ(t)/dt，y(t) = ( f_inst(t) - f_ref ) / f_ref。
• S504-2：S_y(f) = ( f / 2π f_ref )^2 S_phi(f)；sigma_y^2(τ) = 2 ∫_0^∞ S_y(f) |H_τ(f)|^2 df（见第2章）。

2. PLL 估计（相口径，跟踪）

• S504-3（相位输出）：闭环 Φ_out(s) = H(s) Φ_in(s) + N(s)，等效相位噪声谱（工程近似）
  S_phi,PLL(f) ≈ |H(j2π f)|^2 S_phi,in(f) + S_add(f)，S_add 包含鉴相器/量化/抖动等。
• S504-4（频率方差，AWGN）：
  var( f̂ ) ≳ (N_L / 8π^2) B_L（等效带宽近似；在清单注明模型与常数口径）。
• S504-5（环参数）二阶型：H(s)=ω_n^2/(s^2+2ζω_n s+ω_n^2)，B_L≈ω_n/2π·g(ζ)；发布时给 ω_n, ζ 与 B_L。

3. IQ/希尔伯特（相口径，瞬时）

• S504-6（解析信号）：z(t)=x(t)+jH\{x(t)\}，φ(t)=unwrap(arg z(t))，f_inst=(1/2π)dφ/dt。
• S504-7（偏差修正）：
  • 振幅/直流泄露去除：x'(t)=x(t)-mean(x(t))；
  • 相位解缠：unwrap；
  • 频率平滑：f_inst = LPF( (1/2π)diff(φ) , B_smooth)。
• S504-8（方差界）（AWGN，解析近似）：
  var(f̂_inst) ≥ 6 / ( (2π)^2 · SNR · T_obs^3 )（与 CRLB 一致，窗/带宽注明）。

4. FFT/CFO（谱口径，批量）

• S504-9（周期图峰位）：
  f̂ = argmax_f | ∫_W x(t) e^{-j2π f t} dt |^2；分辨率 Δf≈1/T_obs。
• S504-10（高分辨率修正）（Kay/Quinn-Macleod/Jacobsen）：
  令峰值索引 k̂ 与邻 bin X[k̂±1]，
  δ ≈ (|X[k̂+1]| - |X[k̂-1]|) / (2|X[k̂]| - |X[k̂+1]| - |X[k̂-1]|)；
  f̂ ≈ (k̂ + δ) Fs/N_fft（窗相关修正常数落盘）。
• S504-11（窗/泄露校正）：Ŝ(f) = P(f)/ENBW，旁瓣泄露 L_sidelobe 进入 u(f̂)。

5. 偏置与漂移（去偏/去趋势）

• S504-12：去偏 φ'(t)=φ(t)-⟨φ⟩_W；去漂 φ''(t)=φ'(t)-polyfit_1(t)；线性化误差映射至 y(t)。

6. 估计→统计/谱接口

• S504-13：由 f_inst(t)/y(t) 生成 S_phi/S_y/sigma_y 的流程：
  S_y(f) ← PSD{y(t), RBW, ENBW, w(t)}；S_phi(f) ← (2π f_ref/f)^2 S_y(f)；sigma_y(τ) ← Allan{y(t)}。

V. 计量流程 M50-4（就绪→估计→校核→落盘）

1. 就绪：绑定 RefCond，选择 method 与参数 {B_L | window_fn, N_fft | B_smooth}；设置 W, RBW/ENBW。
2. 估计：
   • PLL：锁定→输出 φ_PLL(t), f̂_PLL(t)；
   • IQ/希尔伯特：φ_H(t), f̂_H(t)；
   • FFT/CFO：Δf̂_FFT（批量）或滑动窗频偏序列；
   • 统一换算 y(t) 并输出 S_phi/S_y/sigma_y。
3. 校核：
   • check_dim(*)；CRLB 与经验方差比对；窗/泄露/带宽一致；
   • 与第2章两口径 T_arr^{form1/2} 同窗对齐，记录方法相关误差分量（若影响 delta_form）。
4. 落盘：
   manifest.tbn.estimator = {method, cfg, window:{Δt,w,RBW,ENBW}, outputs:{phi,f_inst,y}, spectra:{S_phi,S_y}, stats:{sigma_y}, crlb:{var_min}, residuals:{var_emp}, twoform_ref:{ts_sync, link}, RefCond, contracts.*, signature}。

VI. 契约与断言 C50-4x（建议阈值）

• C50-401（CRLB/SNR/窗长）：var_emp(f̂) ≤ α · CRLB(f̂)（如 α≤3）；SNR ≥ SNR_min，T_obs ≥ T_min。
• C50-402（窗/带宽一致）：RBW/ENBW 与 w(t) 落盘一致，L_sidelobe 不超阈。
• C50-403（单位/量纲）：check_dim(φ)="rad", check_dim(f_inst)="[1/T]", check_dim(y)=1。
• C50-404（两口径配套）：估计序列已与两口径 T_arr 对齐并记录方法相关误差分量。
• C50-405（方法标注）：method/cfg/窗/泄露修正/高分辨率插值方法必填。

VII. 实现绑定 I50-4*（接口原型、输入输出、不变量）

• I50-41 pll_estimate(iq, f_ref, cfg:{ω_n,ζ,B_L}) -> {phi, f_inst, y, crlb, meta}
• I50-42 hilbert_instantaneous(x, w, B_smooth) -> {phi, f_inst, y, crlb, meta}
• I50-43 fft_cfo_estimate(x, window_fn, N_fft) -> {Δf̂, var, meta}（含 Kay/Quinn-Macleod/Jacobsen 可选后处理）
• I50-44 spectra_from_y(y, w, RBW, ENBW) -> {S_phi, S_y, sigma_y, meta}
• I50-45 assert_estimator_contracts(outputs, rules) -> {report, pass}
• I50-46 emit_estimator_manifest(results, policy) -> {uri, status}
  不变量：two_forms_present=true；check_dim(*) 通过；窗/带宽/参数与参考 f_ref、RefCond 可追溯。

VIII. 交叉引用

IX. 质量与风控

• SLI/SLO：var_emp/CRLB 比、S_phi/S_y 门限合规、sigma_y(τ) 分位、ΔT_obs_p95 同窗对齐率、panel_freshness。
• 回退策略：SNR 低或泄露大→延长窗/换窗/增加平均；PLL 不稳→降带宽或切换 Hilbert；FFT 粗估不稳→引入高分辨率插值或转 PLL；两口径对齐差↑→统一 form2 并加 guardband。
• 审计：方法/参数/窗/带宽/CRLB 与经验方差、泄露与修正记录、清单签名链与回放脚本。

小结

• 本章将PLL/IQ/FFT/Hilbert 统一到测度—单位—下界—落盘的可执行框架，规范了相位/频偏估计到 S_phi/S_y/sigma_y 与 T_arr 两口径配套的映射；
• 通过 M50-4/C50-4x/I50-4* 与 manifest.tbn.estimator，保证估计环节可度量、可审计、可回退，为后续噪声统计（第5章）与链路计量（第6–7章）提供稳定输入。