29-EFT.WP.TBN.Measurement v1.0 | 第5章 相位噪声与 Allan 家族

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第5章 相位噪声与 Allan 家族

一句话目标：给出 S_phi(f)↔S_y(f)↔sigma_y(τ) 及 ADEV/MDEV/HDEV/TDEV 的可计算口径、单位与测度，覆盖功率律噪声识别、偏置修正与置信区间，确保与 T_arr 两口径及清单发布一致、可审计。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 谱与序列：S_phi(f), S_y(f)（第2章），频率偏差序列 y(t_k) 或时间误差序列 x(t_k)（x 为相位时间）。
   • 窗口与采样：W=[ts-Δt,ts]，采样间隔 τ_0，门限与带宽 RBW/ENBW，窗函数 w(t)。
   • 参考条件：RefCond（f_ref/Fs/RBW/ENBW/window_fn、时标 tau_mono/ts、源 hash/有效期/coverage）。
2. 输出
   • Allan 家族：ADEV sigma_y(τ)、Modified ADEV mod_sigma_y(τ)、Hadamard HDEV、Time Deviation TDEV，及功率律噪声参数 h_α。
   • 统计与不确定度：有效自由度 ν_eff(τ)、置信区间 U=k·u_c、偏置/死区修正。
   • 清单：manifest.tbn.allan.*（方法/测度/单位/置信与证据 URI）。
3. 边界
   默认 AWGN/平稳 且无死区（overlapped）工程口径；非平稳/死区采样需显式标注与修正。

II. 名词与变量

• 频域与时域：S_phi(f)（unit="rad^2/Hz"），S_y(f)（unit="1/Hz"），频率偏差 y(t) = (f(t)-f_ref)/f_ref（无量纲）。
• Allan 家族：ADEV sigma_y(τ), Modified ADEV mod_sigma_y(τ), Hadamard HDEV(τ), Time Deviation TDEV(τ)。
• 功率律噪声：S_y(f) = ∑_{α=-2}^{+2} h_α f^{α}（白 PM 对应 S_φ∝f^0，在 S_y 中指数不同，见下）。
• 量纲：unit(sigma_y)=1, unit(TDEV)=[T]，unit(h_α) 随 α 变化（在清单标注）。

III. 公设 P505-*

• P505-1（测度显式）：ADEV/MDEV/HDEV/TDEV 的计算必须给出 τ 网格、重叠/非重叠、死区/无死区、权重窗口与 ( ∫_{t∈W} · dt ) 或离散和的口径。
• P505-2（单位一致）：S_phi/S_y/sigma_y/HDEV/TDEV 的单位/量纲通过 check_dim( y - f(x) )；对数↔线性换算与窗/ENBW校正写入 scale.note。
• P505-3（两口径配套）：发布 Allan 家族时应标注与 T_arr^{form1/form2} 使用的同一时标/窗 W，必要时记录其对 delta_form 的方法依赖分量。
• P505-4（功率律识别）：sigma_y(τ) 的斜率-噪声型映射须落盘（用于守门与溯源），并输出 h_α 拟合结果。
• P505-5（置信与偏置）：ADEV/MDEV/HDEV/TDEV 必给出有效自由度 ν_eff(τ) 与 U=k·u_c；死区或短序列偏置需修正或标注。

IV. 最小方程 S505-*

1. 谱—统计—时间域的核心关系

• S505-1（第2章复述）：S_y(f) = ( f / 2π f_ref )^2 S_phi(f)；
  ADEV 频域表达：sigma_y^2(τ) = 2 ∫_0^∞ S_y(f) |H_τ(f)|^2 df，|H_τ(f)|^2 = sin^4(π f τ)/(π f τ)^2。
• S505-2（相位/时间抖动）：σ_φ^2 = ∫ S_φ(f) df，σ_t = σ_φ / (2π f_ref)（带宽与泄露校正写入清单）。

2. Allan 家族离散公式（无死区、重叠）

• ADEV：
  sigma_y^2(τ) = (1/(2(M-2m))) ∑_{k=1}^{M-2m} ( ȳ_{k+2m} - 2ȳ_{k+m} + ȳ_k )^2，
  其中 ȳ_k 为长度 m=τ/τ_0 的平均，M 为总样本数。
• MDEV（Modified Allan）：
  mod_sigma_y^2(τ) = (1/(2 m^2 (M-3m+1))) ∑_{k=1}^{M-3m+1} ( ∑_{i=0}^{m-1} (ȳ_{k+2m+i} - 2ȳ_{k+m+i} + ȳ_{k+i}) )^2。
• HDEV（Hadamard）（抑制频率漂移）：
  HDEV^2(τ) = (1/(6(N-3))) ∑_{i=1}^{N-3} ( x_{i+3} - 3x_{i+2} + 3x_{i+1} - x_i )^2 / τ^2（x 为时间误差）。
• TDEV：
  TDEV(τ) = τ · sqrt( MVAR(τ) / 3 )，其中 MVAR = mod_sigma_y^2(τ)。

3. 功率律噪声型与 sigma_y(τ) 标度（工程近似）

• S505-3：噪声型 ↔ 标度（对 y(t)）：
  • 白 PM → sigma_y(τ) ∝ τ^{-1}
  • Flicker PM → ∝ τ^{-1}（常数不同；MDEV可区分）
  • 白 FM → ∝ τ^{-1/2}
  • Flicker FM → ∝ τ^{0}
  • 随机游走 FM → ∝ τ^{+1/2}
    拟合 log10 sigma_y 对 log10 τ 的斜率以识别噪声型并估 h_α。

4. 有效自由度与置信区间

• S505-4（ν_eff，工程近似）：
  • ADEV（重叠、无死区）：ν_eff(τ) ≈ 0.5 · (M/ m )；
  • MDEV/HDEV 采用表格/仿真近似（清单标注来源）。
    置信：U(τ) = k · sigma_y(τ) / √ν_eff(τ)，k≈2 对应 ~95%。

5. 死区采样与偏置修正

• S505-5：若存在死区时间 t_dead，采用非重叠公式或去死区加权；偏置系数 b(τ,t_dead) 校正
  sigma_y,unbias(τ) ≈ b(τ,t_dead) · sigma_y,meas(τ)（来源与常数写清单）。

6. 从 S_phi/S_y 直接合成 Allan

• S505-6：数值积分
  sigma_y^2(τ) = 2 ∫_{f_L}^{f_H} S_y(f) |H_τ(f)|^2 df，
  f_L,f_H 由测量带宽与窗决定；ENBW 校正 Ŝ_y(f) = P(f)/ENBW。

V. 计量流程 M50-5（就绪→变换/估计→识别→校核→落盘）

1. 就绪：冻结 RefCond 与 RBW/ENBW/window_fn；设定 τ 网格（对数均匀）与 W；选择重叠/无死区口径与偏置修正策略。
2. 变换/估计：
   • 由 y(t) 计算 ADEV/MDEV/HDEV/TDEV（S505-2/离散式）；
   • 或由 S_y(f) 积分得到 sigma_y(τ)（S505-6），并交叉校核。
3. 识别/拟合：
   在多段 τ 上拟合斜率，识别噪声型并估 h_α；输出噪声份额。
4. 校核：
   • check_dim(sigma_y)=1, check_dim(TDEV)='[T]'；死区/重叠口径与 ν_eff 记录；
   • Allan ↔ 频谱/CRLB 一致性（第2章/第4章）；
   • 与 T_arr^{form1/form2} 同窗发布（必要时记录其对 delta_form 的方法分量）。
5. 落盘：
   manifest.tbn.allan = {method:{ADEV|MDEV|HDEV|TDEV}, window:{W,τ_grid,deadtime,overlap}, spectra:{RBW,ENBW,window_fn}, results:{sigma_y,mod_sigma_y,HDEV,TDEV}, ν_eff,k,U, noise_fit:{h_α,slopes}, refs:{S_y|y(t)}, RefCond, contracts.*, signature}。

VI. 契约与断言 C50-5x（建议阈值）

• C50-501（单位/量纲）：check_dim(S_phi)="rad^2/Hz", check_dim(S_y)="1/Hz", check_dim(sigma_y)="1", check_dim(TDEV)='[T]'。
• C50-502（测度口径）：重叠/无死区、窗/带宽、τ 网格与 ENBW 校正必须落盘；未标注拒发。
• C50-503（ν_eff 与置信）：ν_eff(τ) 与 U(τ) 必给出，覆盖 ≥95%；若 ν_eff 过低（短序列），需降级或延长采集。
• C50-504（斜率与噪声型）：拟合斜率与噪声型应与物理可达一致；若显著偏离，标注异常并触发策略卡。
• C50-505（两口径配套）：与 T_arr 同窗对齐；若发现 Allan 统计对 delta_form 有显著方法依赖，需在 guardband 中反映。

VII. 实现绑定 I50-5*（接口原型、输入输出、不变量）

• I50-51 allan_dev(y_series, τ_grid, overlap, deadtime) -> {sigma_y, ν_eff, U, meta}
• I50-52 mod_allan_dev(y_series, τ_grid, overlap) -> {mod_sigma_y, ν_eff, U, meta}
• I50-53 hadamard_dev(x_series, τ_grid) -> {HDEV, ν_eff, U, meta}
• I50-54 tdev_from_mdev(mod_sigma_y, τ_grid) -> {TDEV, meta}
• I50-55 allan_from_Sy(S_y, τ_grid, RBW, ENBW, window_fn) -> {sigma_y, meta}
• I50-56 fit_powerlaw_noise(sigma_y, τ_grid) -> {h_α, slopes, model_fit}
• I50-57 assert_allan_contracts(results, rules) -> {report, pass}
• I50-58 emit_allan_manifest(results, policy) -> {uri, status}
  不变量：two_forms_present=true；check_dim(*) 通过；RefCond/hash 与 RBW/ENBW/window_fn 可追溯；死区/重叠/ν_eff/置信区间必填。

VIII. 交叉引用

IX. 质量与风控

• SLI/SLO：sigma_y(τ) 分位与斜率一致性、TDEV_p95、ν_eff 覆盖、RBW/ENBW/窗 合规、panel_freshness。
• 回退策略：序列短/死区大→合并窗口/延长采集；窗/ENBW不符→重算；噪声型异常→检查前端/参考与路径修正；两口径配套异常→统一到 form2 并扩 guardband。
• 审计：方法与参数、τ 网格与重叠/死区、ν_eff/U 曲线、噪声型拟合证据、清单签名链与回放脚本。

小结

• 本章将相位噪声与 Allan 家族统一为可执行口径：测度/单位/公式/置信/偏置与噪声型识别，并与 T_arr 两口径发布配套；
• 以 M50-5/C50-5x/I50-5* 与 manifest.tbn.allan 为锚，实现时基骨干网络计量的可度量、可审计、可回退。