05-EFT.WP.Core.Errors v1.0 | 第5章 数值误差与收敛

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第5章 数值误差与收敛

I. 目的与分解

• 目的：建立统一口径，将离散化截断误差与浮点舍入误差分解、评估与合成，形成可追溯的数值收敛与误差预算通路。
• 误差分解：E_total def= E_trunc + E_round + E_other；其中 E_trunc = O(h^p)，E_round = O(u_round * g(h))，h 为离散步长或网格尺度，p 为方法阶，u_round 为 unit roundoff。
• 量纲一致：若 h 含维度（如 [L]），需先无量纲化 bar_h = h / L0；误差上界报告以被测量单位或明确的无量纲形式呈现。

II. 公设（数值卷）

• P75-1（分项预算）：E_trunc 与 E_round 必须分别估计与上报，不得混合为单一常数。
• P75-2（弱单调收敛）：当 h 单调减小时，|E_trunc(h)| 弱单调不增；若不满足，应回溯模型或边界条件。
• P75-3（最优步长存在性）：存在 h_opt 使得 E_total(h) 局部最小，且满足 d E_total / d h = 0 的一阶平衡近似。

III. 舍入误差 E_round

1. 浮点累积模型：对长度为 N 的加法链，|E_round_sum| approx u_round * C_sum * N，常取 C_sum ∈ [1,10] 依数值幅度与条件性。
2. 乘除与复合：|E_round_mul| approx u_round * C_mul * N_op；当存在严重消去时，可放大为 u_round * cond。
3. 稳定化手段：
   • Kahan/Neumaier 求和：以补偿项降低 C_sum。
   • 缩放与无量纲化：在计算前以 bar_x = x / scale 降低动态范围。
   • 分块与排序：先累加小数值，再累加大数值，抑制消去。
4. 接口映射：estimate_roundoff(x:any, unit_roundoff:float) -> float 返回 E_round 的上界估计；报告需包含 u_round、N_op、是否使用补偿求和。

IV. 截断误差 E_trunc

• 定义：由离散化（网格、步进、求积、差分）引入的系统性偏差，E_trunc(h) = C * h^p + o(h^p)。
• 例（路径积分）：T_arr = ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell ) 的复合求积，若用 trapezoid，p = 2；用 Simpson，p = 4。
• 阶次识别：通过网格级联 h, h/2, h/4 的解 y_h, y_{h/2}, y_{h/4} 估计经验阶 p_hat（见第 VII 节）。
• 常见来源：空间离散、时间步进、边界条件近似、非线性迭代截断。

V. 误差权衡与最优步长

1. 模型：E_total(h) approx C * h^p + K * u_round * h^{-q}，其中 q ≥ 0 反映运算放大（如差分 q = 1、二阶导差分 q = 2）。
2. 最优步长：令导数为零得 h_opt approx ( (q * K * u_round) / (p * C) )^{1 / (p + q)}。
3. 实务策略：
   • 以粗估 C, K 得到 h_opt 初始值；
   • 以 h_opt / 2 与 2 * h_opt 做对比，取 E_total 较小者；
   • 当 u_round 或数据幅度变动时，重新评估 h_opt。

VI. 收敛判据与停止条件

• 绝对准则：| y_{k+1} - y_k | < tol_abs。
• 相对准则：| y_{k+1} - y_k | / max(eps, |y_{k+1}|) < tol_rel。
• 误差导向：若已得 p_hat，用 | y_{h/2} - y_h | / (2^p_hat - 1) < tol_abs 作为截断误差判据。
• 迭代上限：设置 k_max；若达上限未收敛，触发 log_event 与降级策略。

VII. 阶次估计与 Richardson 外推

1. 阶次估计：
   给定 y_h, y_{h/2}, y_{h/4}，若截断主导，则
   p_hat = log2( | y_h - y_{h/2} | / | y_{h/2} - y_{h/4} | )。
2. 外推公式：
   • y0_hat = y_{h/2} + ( y_{h/2} - y_h ) / ( 2^p_hat - 1 )；
   • 误差估计：E_trunc_hat = | y0_hat - y_{h/2} |。
3. 接口映射：richardson_extrapolate(y_h:array, h:array, order:int|None=None) -> float 若 order 缺省，则用 p_hat 自估。

VIII. 数值稳定模板（和 I50 5 对接）

1. 求和：
   • 归一化 bar_x_i = x_i / scale；
   • sum, c = 0, 0；循环 y = bar_x_i - c; t = sum + y; c = ( t - sum ) - y; sum = t；
   • 还原 sum = sum * scale。
2. 差分：优先使用中心差分 O(h^2)；在高噪或高 u_round 场景，采用复合公式降低 q。
3. 求积：对平滑 integrand 用 Simpson；含尖峰或分段转折时采用自适应梯形并在分界处对齐节点。
4. 线性解：对 A x = b，优先选用数值稳定分解（如 QR）；报告中记录 cond 估计与预处理说明。

IX. 到达时 T_arr 的数值误差预算（跨卷用例）

• 连续定义：T_arr = ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )。
• 离散求值：T_arr(h) = ( ∑_k ( n_eff,k / c_ref ) * Δell_k )，网格尺度 h = max(Δell_k)。
• 截断项：E_trunc ≈ C_T * h^p（p = 2 对 trapezoid，p = 4 对 Simpson）。
• 舍入项：E_round ≈ u_round * ( ∑_k | n_eff,k / c_ref | * Δell_k ) * C_sum。
• 合成与最优：按第 V 节求 h_opt；若 E_round 主导，启用补偿求和与分段缩放；若 E_trunc 主导，细化路径分段并在弯折处强制打结。
• 报告字段：gamma(ell) 描述、h、p_hat、E_trunc_hat、E_round_hat、U_total = k * u_c(T_arr)、unit_policy、RefCond。

X. 流程 Mx-3（数值收敛与预算）

• 设定目标：tol_abs、tol_rel、U_target，选择初法阶 p 与起始 h0。
• 计算序列：求 y_{h0}, y_{h0/2}，估计 p_hat；必要时再算 y_{h0/4}。
• 外推与估计：用第 VII 节公式得到 y0_hat 与 E_trunc_hat。
• 舍入估计：调用 estimate_roundoff 获得 E_round_hat，并评估稳定化收益。
• 步长更新：若 E_total_hat > U_target，按第 V 节更新 h 并迭代；若触发 k_max，记录并降级。
• 传播与上报：将 E_trunc_hat、E_round_hat 合入 EB，并用第3章接口 propagate_error_delta 更新输出不确定度。
• 归档：保存 h_seq、p_hat_seq、DQI 与 traceability_chain。

XI. 接口规范映射（I50 5 组）

• estimate_roundoff(x:any, unit_roundoff:float) -> float
  返回 E_round_hat；上下文包含 N_op、补偿求和与缩放策略。
• discretization_order(h_list:array, y_list:array) -> float
  返回 p_hat，需保证 h_list 严格递减且 dim(h) 一致。
• richardson_extrapolate(y_h:array, h:array, order:int|None=None) -> float
  返回 y0_hat 或与之等价的误差评估；当 order=None 时内部调用 discretization_order。

XII. 报告与合规最小集

• 必填键：method、p 或 p_hat、h、tol_abs/tol_rel、E_trunc_hat、E_round_hat、U_total、u_round、stabilization、RefCond、unit_policy、traceability_chain。
• 判定口径：与《Core.Metrology》第6章 round_by_unc、guard_band 对接，遵循“先合成，后舍入”。

XIII. 本章输出与衔接

• 输出：E_trunc/E_round 分项评估、h_opt 选取准则、p_hat 与 Richardson 外推流程、稳定计算模板、Mx-3 标准流程、与 I50 5 的接口映射。
• 衔接：下一章将把本章数值收敛与第4章离群机制联合使用，在退化场景中触发 retry、fallback 与 graceful_degradation。