30-EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0 | 第9章 建模方法与数值实现

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第9章 建模方法与数值实现

I. 一句话目标

一句话目标：给出从 T_fil(x,t) 到 Phi_T(x,t) 再到 n_eff(x,t,f) 与 T_arr 的可执行建模与数值实现路线，覆盖网格法与轨迹法两类求解器，定义步长控制与误差估计，制定收敛判据与基准任务，保证性能与可复现。

II. 范围与非目标

• 覆盖内容：模型表达与离散策略，求解器设计与伪代码，步长控制与误差估计，收敛与稳定性，基准任务与验证集，性能与可复现性，接口与日志规范。
• 非目标：不重述第4章 Phi_T 的构建理论与第5章 n_eff 的构造细节，不讨论装置级机械与电学参数。

III. 术语与符号最小集

• 场与势：T_fil(x,t)，Phi_T(x,t)，grad_Phi_T(x,t)。
• 折射率与速度：n_eff(x,t,f)，c_ref，c_loc(x,t,f) = c_ref / n_eff(x,t,f)。
• 路径与测度：gamma(ell)，d ell，分段路径 gamma_i，界面集合 Sigma。
• 到达时口径：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )，或 T_arr = ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell。
• 频带与分解：n_eff = n_common(x,t) + n_path(x,t,f)。
• 误差与阈值：u_stat，u_sys，u_c，收敛阈值 eps_T。

IV. 模型表达与离散策略

1. 场表示
   • 网格场：在节点 x_j 存储 Phi_T[j]，用差分或有限体积近似 grad_Phi_T[j]，必要时用卷积核 K_epsilon 平滑。
   • 轨迹场：仅在路径上评估 Phi_T( gamma(ell) ) 与 grad_Phi_T( gamma(ell) )，梯度可由邻域采样或解析表达获得。
2. 折射率构造
   • 就地映射：在网格或路径采样点上以 n_eff = F( Phi_T, grad_Phi_T, rho, f ) 直接求值，并应用夹持 n_eff ∈ [1, n_max]。
   • 分解缓存：预先估计 n_common(x,t)，对每个频点仅计算 n_path(x,t,f)，复用公共项。
3. 路径与界面
   • 路径离散 { gamma[k], Δell[k] } 与界面交点 { ell_i } 的检测必须一致，界面处采用分段积分并记录段端点。
   • 含各向异性模型时，同步输出切向 t_hat[k] 以评估 dot( grad_Phi_T , t_hat )。

V. 求解器设计与伪代码

1. 网格法（Field-first）
   • 构建或载入 T_fil。
   • 计算 Phi_T = G( T_fil )，施加规范与边界。
   • 计算 grad_Phi_T，必要时平滑。
   • 在网格上计算 n_common 与频带相关的 n_path。
   • 对任意路径，用插值从网格抽样 n_eff( gamma[k] ) 并积分。
     伪代码
     Phi_T = build_phi_t(T_fil, params_G)
     Phi_T = fix_gauge(Phi_T, x_ref, t_ref)
     grad_Phi_T = gradient(Phi_T)
     n_eff = assemble_neff(Phi_T, grad_Phi_T, rho, f_grid)
     T_arr = arrival_time(mode, n_eff, gamma, c_ref)
2. 轨迹法（Path-first）
   • 捕获路径 { gamma[k], Δell[k] }。
   • 沿路径评估 T_fil( gamma[k] )，再得 Phi_T( gamma[k] ) 与 grad_Phi_T( gamma[k] )。
   • 逐点计算 n_eff( gamma[k], f )，执行分段积分与界面修正。
     伪代码
     path = capture_path(raw_track, coord_spec)
     for k: phi[k], gphi[k] = eval_phi_and_grad(gamma[k])
     for f in f_grid: T_arr[f] = integrate(mode, phi, gphi, rho, gamma, Δell, c_ref)
3. 混合法
   在网格上预计算缓变项，在路径附近开小窗口做局部细化与界面拟合，降低插值误差与计算量。

VI. 步长控制与误差估计

1. 自适应步长
   • 准则一：曲率阈值 norm( d^2 gamma / d ell^2 ) ≥ tau_geom。
   • 准则二：介质变化阈值 norm( d n_eff / d ell ) ≥ tau_medium。
   • 二者任一触发时减小步长，保证被积函数在段内可近似为低阶多项式。
2. 求积与误差
   • 建议使用复合 Gauss 或自适应 Simpson，对同一段给出二阶与四阶估计的差值作为局部误差。
   • 全程误差以段误差平方和开方近似，目标满足 | T_arr^{(fine)} − T_arr^{(coarse)} | ≤ eps_T。
3. 频带差分
   计算 ΔT_arr(f1,f2) 时，强制使用同一 { gamma[k], Δell[k] } 与同一步长策略，避免数值差异污染 path term。

VII. 收敛与稳定性

1. 细化试验
   • 网格细化比 r 与路径步长比 r_ell，要求误差随细化单调下降，估计经验阶 p。
   • 若不单调，回溯平滑尺度 epsilon，界面分段与 n_eff 夹持区间。
2. 判据
   • 口径一致性：| T_arr^{const} − T_arr^{gen} | ≤ eta_T。
   • 下界检查：T_arr ≥ L_path / c_ref。
   • 规范不变性：在 Phi_T → Phi_T + C 下仅依赖 grad_Phi_T 的观测不变。

VIII. 基准任务与验证集

• 基准一，均匀介质
  设 n_eff ≡ 1，任意路径应得 T_arr = L_path / c_ref。用于端到端量纲与实现核查。
• 基准二，线性势梯度
  令 Phi_T = Phi_0 + a · x，比较解析近似与数值结果，检验步长控制。
• 基准三，双层界面
  两层 n_eff 常数加界面修正，验证分段积分与界面处理的一致性。
• 基准四，各向异性通道
  引入 dot( grad_Phi_T , t_hat ) 项，使用不同入射方位的路径组检验方向性。
• 基准五，频带色散
  用多频点拟合 n_path 的多项式系数，检查 ΔT_arr 的线性区域与带外抑制。
• 验收要点
  下界、口径一致、再参数化不变性、路径拼接可加性、差分稳定。

IX. 性能优化与可复现性

1. 性能
   • 向量化批量积分，按频带并行，路径并行。
   • 缓存 Phi_T 与 grad_Phi_T 的局部邻域，加速路径多次评估。
   • 对网格法使用多级分辨率与只读纹理插值，降低访存抖动。
2. 可复现
   • 固定随机种子，固定坐标与单位映射，固化 hash(n_eff)，hash(gamma)，hash(Phi_T)，hash(code)。
   • 日志包含求积方法，步长策略，阈值参数，界面标记与触发统计。

X. 错误处理与保守带

• 误差合成
  以 GUM 和 MC 两条路径核对 u_c(T_arr)，报告 mean ± k·u_c。
• 保守带
  设置 GB = k_guard · u_c 作为合格判据中的容许偏差，边缘样本进入复核队列。
• 异常
  发现 n_eff < 1 或口径长期不一致时，触发回溯与否证记录，冻结相关配置。

XI. 接口与实现绑定（I20-29…I20-40）

• I20-29 build_solver_config(params) -> SolverCfg
  汇集步长、阈值、求积与并行策略。
• I20-30 solve_phi_grid(T_fil, params_G, boundary) -> Phi_T, grad_Phi_T
  网格法生成势与梯度。
• I20-31 eval_phi_traj(gamma, T_fil, params_G) -> { Phi_T[k], grad_Phi_T[k] }
  轨迹法沿路径评估势与梯度。
• I20-32 assemble_neff(Phi_T, grad_Phi_T, rho, f_grid, params) -> n_eff_field
  构造并夹持 n_eff，支持公共项缓存。
• I20-33 integrate_path_constant(n_eff, gamma, Δell, c_ref) -> T_arr
  常量外提口径路径积分。
• I20-34 integrate_path_general(n_eff, gamma, Δell, c_ref_field) -> T_arr
  一般口径路径积分。
• I20-35 segment_and_integrate(n_eff, gamma, Sigma, mode) -> { T_arr_i }, T_arr
  界面分段与组合。
• I20-36 convergence_scan(problem, cfg_list) -> Report
  多档细化与误差斜率估计。
• I20-37 benchmark_suite(runlist) -> Summary
  执行第八节的基准集合并输出合格结论。
• I20-38 cache_neighborhood(field, gamma, radius) -> Handle
  生成路径邻域缓存以加速评估。
• I20-39 log_artifacts(meta, hashes, metrics) -> Log
  记录契约、参数、阈值与指标。
• I20-40 check_invariants(results) -> Verdict
  检查下界、口径一致、拼接可加性与再参数化不变性。

XII. 日志与工件最小集

• 运行环境：时间戳，设备与库版本，坐标与单位契约。
• 求解配置：SolverCfg，步长策略，求积方法，阈值参数。
• 数据哈希：hash(n_eff)，hash(gamma)，hash(Phi_T)，hash(code)。
• 结果指标：T_arr，ΔT_arr，eps_T，eta_T，u_c，GB，基准通过情况，否证样本清单。

XIII. 交叉引用

• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》第4章，第5章，第6章，第7章，第8章
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1》S06-*
• 《EFT.WP.Core.Metrology v1.0》M05-，M10-
• 《EFT.WP.Core.Errors v1.0》M20-*

XIV. 产出物

• 求解器实现清单与伪代码。
• 步长与误差控制模板，收敛试验脚本要点。
• 基准任务套件与通过准则，日志字段与工件哈希清单。