30-EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0 | 附录A 符号、单位与维度检查

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附录A 符号、单位与维度检查

I. 一句话目标

一句话目标：给出本卷涉及符号的统一写法与单位、维度（量纲）口径，提供可执行的维度核查流程与常见陷阱防护，确保 T_arr、n_eff、Phi_T 及其派生量在两类到达时口径下量纲自洽。

II. 适用范围与非目标

• 覆盖：基础维度集合、统一单位建议、符号与量纲对应、两口径维度核查、n_eff 构造项与参数量纲、界面与跃迁量纲、误差符号的量纲、自动化检查步骤与示例。
• 非目标：不定义装置级单位约束，不替代第7章不确定度传播方法。

III. 基本维度与单位规范（SI）

• 基本维度：[L]（长度），[T]（时间），[M]（质量）。必要时可引入角量但默认无量纲（弧度）。
• SI 单位建议：m，s，kg。频率 f 用 Hz = s^-1。路径长度与线元统一 m。
• 统一口径：内联符号一律反引号包裹；除法与复合算子加括号。

IV. 固定符号与对应维度（无表格版）

1. 空间、时间与路径
   • x：位置，dim(x) = [L]
   • t：时间，dim(t) = [T]
   • ell：路径标参，dim(ell) = [L]
   • gamma(ell)：路径映射，dim(gamma(ell)) = [L]
   • d ell：线元，dim(d ell) = [L]
2. 到达时与速度
   • T_arr：到达时，dim(T_arr) = [T]
   • c_ref：参照速度，dim(c_ref) = [L][T^-1]
   • c_loc(x,t,f) = c_ref / n_eff，dim(c_loc) = [L][T^-1]
3. 折射率与分解
   • n_eff(x,t,f)：有效折射率，dim(n_eff) = 1
   • n_common(x,t)：公共项，dim = 1
   • n_path(x,t,f)：路径/频带项，dim = 1
4. 势与梯度
   • Phi_T(x,t)：张度势，dim(Phi_T) 由规范设定；推荐接口层无量纲化 Phi_T_tilde = Phi_T / Phi_ref
   • grad_Phi_T = grad(Phi_T)，dim(grad_Phi_T) = dim(Phi_T)[L^-1]
5. 张力与密度（若参与映射）
   • T_fil(x,t)：张力场，dim(T_fil) 由材料/介质规范决定
   • rho(x,t)：密度，dim(rho) = [M][L^-3]
6. 界面相关
   • C_sigma：Phi_T 的跃迁，dim(C_sigma) = dim(Phi_T)
   • J_sigma = dot( grad_Phi_T^+ − grad_Phi_T^- , n_vec )，dim(J_sigma) = dim(grad_Phi_T)
   • R_sigma、T_trans、A_sigma：反射、透射、损耗系数，dim = 1
7. 方向量
   t_hat：路径切向单位向量，dim = 1

V. 到达时两口径维度核查（连续与离散一致）

1. 常量外提口径
   • 连续式：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
     核查：∫ n_eff d ell -> [L]，乘 1/c_ref -> [T]
   • 离散式：T_arr ≈ (1/c_ref) * ∑ n_eff[ gamma[k] ] · Δell[k]
     核查：Δell[k] -> [L]，总量 [T]
2. 一般口径
   • 连续式：T_arr = ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell
     核查：(n_eff/c_ref) -> [T][L^-1]，乘 d ell -> [T]
   • 离散式：T_arr ≈ ∑ ( n_eff[ gamma[k] ] / c_ref[ gamma[k] ] ) · Δell[k] -> [T]
3. 下界一致：因 n_eff ≥ 1，恒有 T_arr ≥ L_path / c_ref（一般口径在被积函数中等价体现）。

VI. n_eff 构造与参数量纲（保证 dim(n_eff) = 1）

1. 基础映射：n_eff = F( Phi_T, grad_Phi_T, rho, f )，dim(n_eff) = 1
2. 各向同性小梯度展开（第5章 S20-28）
   • n_eff ≈ a0 + a1 · ( Phi_T − Phi_0 ) + a2 · norm( grad_Phi_T )^2
   • dim(a0) = 1
   • dim(a1) = 1 / dim(Phi_T)
   • dim(a2) = 1 / dim(grad_Phi_T)^2 = [L^2] / dim(Phi_T)^2
3. 定向扩展（第5章 S20-29）
   • n_eff ≈ … + b1 · dot( grad_Phi_T , t_hat )
   • dim(b1) = 1 / dim(grad_Phi_T) = [L] / dim(Phi_T)
4. 频带多项式（第5章 S20-30）
   • n_path ≈ ∑_{m=1}^M c_m(x,t) · ( f − f0 )^m
   • dim( (f − f0)^m ) = [T^-m]，故 dim(c_m) = [T^m]
   • 若使用归一化频差 ((f − f0)/f_ref)^m，则 dim(c_m) = 1

VII. 界面与层间量纲核查

• 连续型接口：Phi_T^+ = Phi_T^-，J_sigma = 0 ⇒ n_eff^+ = n_eff^-（维度自洽）
• 势跃迁型：Phi_T^+ − Phi_T^- = C_sigma，dim(C_sigma) = dim(Phi_T)；对 n_eff 的影响经 a1、b1 的量纲传导
• 通量跃迁型：J_sigma ≠ 0，dim(J_sigma) = dim(grad_Phi_T)；若在 n_eff 中出现法向响应系数 k_sigma，则 dim(k_sigma) = 1 / dim(grad_Phi_T)

VIII. 误差与不确定度的量纲

• 规则：任何不确定度 u(q) 与其物理量 q 同量纲；合成 u_c(T_arr) 量纲为 [T]
• 典型项：u(c_ref) -> [L][T^-1]，u(n_eff) -> 1，u(Δell) -> [L]，u(T_arr) -> [T]
• 报告：mean ± k·u_c 保持 [T]；差分 ΔT_arr(f1,f2) 亦为 [T]

IX. 单位映射与坐标转换（实现契约）

• units_spec：声明长度 m，时间 s，速度 m·s^-1，频率 Hz；若输入以 km 或 ms，需在入口转换
• coords_spec：声明坐标系（Cartesian/ECEF/ENU）；任一转换必须保持 Δell 的单位一致并更新哈希
• Path 约束：gamma[k] 与 Δell[k] 同单位；t_hat[k] 无量纲；界面坐标与路径坐标一致

X. 自动化维度检查流程（check_dimension 建议序）

1. 输入契约检查：读取 units_spec、coords_spec，确认 SI 或已声明的映射
2. 符号维度绑定：绑定 dim(c_ref)=[L][T^-1]，dim(n_eff)=1，dim(d ell)=[L]，dim(T_arr)=[T]
3. 方程核查：
   • 常量外提：验证 dim( ∫ n_eff d ell / c_ref ) = [T]
   • 一般口径：验证 dim( ∫ (n_eff/c_ref) d ell ) = [T]
4. 构造项核查：根据 VI 节为 a1,a2,b1,c_m 自动推断量纲，检查与已配置尺度一致
5. 界面项核查：C_sigma,J_sigma 量纲与 n_eff 影响项一致
6. 离散实现核查：检查 Δell[k]、c_ref[k] 单位一致；插值不改变量纲
7. 报告生成：输出 DimReport（见 XII 节）并写入日志

XI. 常见错误与防护

• 单位混用：路径用 km 而 c_ref 用 m·s^-1，导致 T_arr 偏差 10^3；防护：入口统一转换并记录
• 角度单位：将度当作弧度使用；防护：所有三角函数入口声明弧度，必要时转换
• 遗漏括号：∫ n_eff / c_ref d ell 与 ∫ (n_eff/c_ref) d ell 语义不同；防护：强制加括号
• 参数量纲错置：c_m 未按 [T^m] 标注；防护：在模型装配时自动推断并校验
• 界面错配：C_sigma 以无量纲值写入；防护：按 dim(Phi_T) 校正或拒收

XII. DimReport 最小字段（输出建议）

• units_spec，coords_spec，mode ∈ {constant, general}
• ok(formula_S20-4)，ok(lower_bound)，ok(discrete_forms)
• dims: { c_ref:[L T^-1], n_eff:1, d_ell:[L], T_arr:[T], Phi_T:?, grad_Phi_T:?·[L^-1] }
• params_dims: { a0:1, a1:1/dim(Phi_T), a2:[L^2]/dim(Phi_T)^2, b1:[L]/dim(Phi_T), c_m:[T^m] }
• interfaces: { C_sigma:dim(Phi_T), J_sigma:dim(grad_Phi_T) }
• discrete_consistency: { Δell_unit:ok, c_ref_unit:ok, interpolation:ok }
• notes: 异常与自动修正说明的文本域
• hashes: hash(Phi_T), hash(gamma), hash(code)

XIII. 示例核查（三例）

1. 示例1｜均匀介质
   • 条件：n_eff ≡ 1，任意路径
   • 结论：T_arr = L_path / c_ref，量纲 [L]/([L][T^-1]) = [T]，下界取等
2. 示例2｜频带一次色散
   • 条件：n_path ≈ c_1 (f − f0)
   • 量纲：dim(c_1) = [T]，dim(ΔT_arr) = [T]，两口径一致
3. 示例3｜定向项
   • 条件：n_eff ≈ a0 + b1 · dot( grad_Phi_T , t_hat )
   • 量纲：dim(b1)=[L]/dim(Phi_T)；若 Phi_T 无量纲化，dim(b1)=[L]

XIV. 交叉引用

• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》第3章（最小方程）、第5章（n_eff 构造）、第6章（两口径）、第8章（界面）、第12章（误差）
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1》S06-*（记号与算子）
• 《EFT.WP.Core.Metrology v1.0》M05-，M10-（单位与可追溯）

XV. 产出物

• 维度—单位绑定清单（可直接写入 Contract）。
• check_dimension 的执行顺序与判定规则。
• DimReport 样例与日志字段映射。