37-EFT.WP.EDX.HighSpeed v1.0 | 第4章 最小方程与色散关系（S20 HF / S30 HF ）

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第4章 最小方程与色散关系（S20 HF / S30 HF ）

I. 章节目标与结构

1. 目标：给出高速域的最小方程 S20-HF-* 与色散关系 S30-HF-*，在统一口径下刻画相位、群时延与传播常数的联系，并规定工程记录与发布门限。
2. 结构：变量与域 → S20-HF 最小方程 → S30-HF 色散关系 → 工程实现与记录 → 可证伪准则 → 合规模板 → 跨章闭环。
3. 共享到达时两口径（等价，须显式 gamma(ell) 与 d ell 并记录 delta_form）：
   • 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
   • 一般口径：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )

II. 变量与域（Symbols & Domain）

• 频域：角频率 omega。
• 传播与色散：alpha(omega)（Np·m⁻¹），beta(omega)（rad·m⁻¹），k(omega)=alpha+i·beta。
• 端口与特性：Z_eft(omega)，Z_ref(omega)，Z_c(omega)，Sij(omega)。
• 路径与权重：gamma(ell)、d ell、w_p(omega)、ΔT_arr。
• 相位与群时延：arg Z_eft(omega)、T_group(omega)=d/domega( arg Z_eft )。
• 辐射与正实修正：ΔZ_rad(omega)（要求 Re{ΔZ_rad} ≥ 0）。
• QA 硬门：check_dim=pass、passivity(Re{Z_eft}≥0)、KK_consistency=pass。

S20-HF｜最小方程（Minimal Relations）

S20-HF-1（群时延定义）
T_group(omega) = d/domega ( arg Z_eft(omega) )
适用域：相干窗内；相位经同步改正：arg Z_corr = arg Z_raw − ( omega · Δt_sync )。

S20-HF-2（线性相位近似）
在相干窗内，
arg Z_eft(omega) ≈ ( omega · T_arr ) + φ_T(omega)，
其中 φ_T(omega) 缓变且二阶曲率受控（见第7章 E_phase 门限）。

S20-HF-3（路径形式的色散主项）
主路径长度为 L 时，
beta(omega) · L ≈ omega · T_arr + φ_T(omega)。
由此得一致性关系：
T_group(omega) ≈ T_arr + dφ_T(omega)/domega ≈ L · ( dβ(omega)/domega )。

S20-HF-4（S↔Z 映射与端口归一）
多端口 Sij 到 Z_eft 的映射须保持被动与因果；端口归一化阻抗与 Z_c(omega) 偏差需显式记录，并通过 KK_consistency。

S20-HF-5（到达时两口径一致性）
同一 gamma(ell) 与 n_eff 上，
| T_arr^{(n_over_c)} − T_arr^{(n_over_c_times_n)} | ≤ u(T_arr)，
否则不得发布。

S30-HF｜色散关系（Dispersion Relations）

S30-HF-1（传播常数与群时延）
k(omega) = alpha(omega) + i·beta(omega)，
T_group(omega) ≈ L · dβ/domega 与 S20-HF-3 一致；工程门限要求
| T_group − ( L · dβ/domega ) | ≤ u_Tgroup。

S30-HF-2（幅度色散与损耗）
在匹配与单模近似下，传输幅度满足
|S21(omega)| ≈ exp( − alpha(omega) · L )，
alpha(omega) 可分解为介质、导体（表皮）与辐射损耗之和；若启用辐射通道，应将其等效并入 ΔZ_rad(omega) 且满足 Re{ΔZ_rad} ≥ 0。

S30-HF-3（材料/导体频散的最小映射）

• 介质有效折射率：n_eff(omega) → beta(omega) = ( n_eff(omega) / c_ref ) · omega（一阶近似）。
• 导体等效导电率：sigma_eff(omega) → 影响 alpha(omega) 与 Z_c(omega)；需在先验中带限与平滑，禁止出现非物理振荡极点（右半平面）。

S30-HF-4（相干窗外的合成规则）
窗外禁止使用线性相位近似；响应以能量合成计算：
R_inc(omega) = ( Σ_p w_p(omega) · |r_p(omega)|^2 )^{1/2}，
并显式标注窗口与门限。

IV. 工程实现与记录（最小执行口径）

1. 必填记录：
   arrival{form,gamma,measure,c_ref,Tarr,u_Tarr,delta_form}、binding_ref、deemb、sync(Δt_sync)、Z_c(omega)、alpha_per_m、beta_per_m、T_group_s、E_phase、GDR、（若启用）ΔZ_rad(omega)。
2. 一致性校验：
   T_group vs L·dβ/dω；2) 两口径 T_arr；3) passivity / KK_consistency。
3. 记录模板：
4. highspeed:
5. band_GHz: [f_min, f_max]
6. coherence_window: {w1: ω1, w2: ω2}
7. arrival: {form:"n_over_c", gamma:"explicit", measure:"d_ell", c_ref:299792458.0,
8. Tarr_s:..., u_Tarr_s:..., delta_form:"n_over_c"}
9. dispersion:
10. alpha_per_m: [...]
11. beta_per_m: [...]
12. T_group_s: [...]
13. Zc_ohm: [...]
14. radiation_gate:
15. Re_Zrad_min: 0.0
16. KK_consistency: "pass"
17. qa_gates: {check_dim:"pass", passivity:"pass", KK:"pass"}

V. 可证伪准则（S20-HF / S30-HF 对应）

• J-HF-S20-1：在相干窗内，线性相位拟合残差超出 E_phase 门或出现系统性二阶曲率，否决 S20-HF-2 的适用窗口。
• J-HF-S20-2：T_group 与 L·dβ/dω 的差超出 u_Tgroup，否决 S20-HF-3 / S30-HF-1 的一致性或 β 估计。
• J-HF-S20-3：两口径 T_arr 超出 u(T_arr)，否决 S20-HF-5 或路径/单位/记录。
• J-HF-S30-1：封堵缝隙/缩短悬空支路后，若 Re{ΔZ_rad} 与 |E_rad|/|I_CM| 不下降，否决辐射等效映射。
• J-HF-S30-2：alpha(omega) 拟合导致 Re{Z_eft}<0 或 KK 失败，否决损耗模型或 S↔Z 映射流程。

VI. 合规模板（可直接粘贴）

• 数值计算（伪代码）
• # 同步改正后的相位
• phi = argZ_corr[ω1:ω2] # coherence window
• # 群时延
• T_group = grad(phi, omega)
• # 相位线性误差与群时延纹波
• E_phase = max_abs(phi - (omega*Tarr + phi0_opt))
• GDR = max_abs(T_group - median(T_group))
• # 传播常数一致性
• beta = unwrap(phi) / L # 近似；或由传输/仿真直接提取
• T_group_beta = L * grad(beta, omega)
• assert max_abs(T_group - T_group_beta) <= u_Tgroup
• # 幅度色散（匹配近似）
• alpha = -log(abs(S21)) / L
• # QA 硬门
• assert min(Re(Z_eft)) >= 0.0 and KK_consistency(Z_eft)
• 到达时一致性与发布门
• Tarr_dual:
• diff_s: |Tarr_n_over_c - Tarr_n_over_c_times_n|
• u_Tarr_s: ...
• pass: (diff_s <= u_Tarr_s)

VII. 跨章引用与闭环

• 依赖：第2章（术语与符号）、第3章（P10-HF 公设）、《Current》卷第8章（路径/到达时）、第9章（计量链）。
• 对接：第5章（S50-HF 辐射修正）、第7章（相干窗 KPI 与门限）、第12章（布局与工艺规则）、第14章（仿真栈与算例）、第16章（设计规程与工程清单）。