49-误差预算卡 Template v1.0 | 第5章 相关结构与协方差建模

目录 ／ 文档-技术白皮书（V5.05） ／ 49-误差预算卡 Template v1.0

第5章 相关结构与协方差建模

I. 目的与范围（Purpose & Scope）

• 定义在路径/时间/频率域上的相关结构与协方差建模口径，覆盖核函数选择、参数估计、离散实现与数值稳定，以支撑 Δ 法/MC/自举的误差传播。
• 涉及路径量（到达时/相位）时，正文显式 gamma(ell) 与测度 d ell，并在数据/元数据记录 delta_form ∈ {general, factored}；发布要求 p_dim = 1.0。

II. 前置条件与输入（Prerequisites & Inputs）

• 路径一致性：len(gamma_ell) = len(d_ell) = len(n_eff) ≥ 2，Δell 满足采样约束。
• 域选择：按任务选择相关域：路径 ℓ、时间 t、频率 ν/λ；可多域联合。
• 平稳性假设：优先对局部窗口采用弱平稳/平稳假设；非平稳情形采用分段或核衰减。
• 参数最小集：方差尺度 σ^2、相关长度 L_c、平滑度/阶参数（如 Matérn 的 ν）、周期 P、衰减率 φ 等。

III. 协方差核（Covariance Kernels，规范库）

• 指数核（Exp）：K(Δx) = σ^2 · exp( -|Δx| / L_c )（路径/时间通用；一次可微）。
• Matérn 核（Matérn-ν）：K(Δx) = σ^2 · (2^{1-ν}/Γ(ν)) ( √(2ν)|Δx|/L_c )^{ν} K_ν( √(2ν)|Δx|/L_c )（ν 控制平滑度）。
• AR(1) 离散核：K[k] = σ^2 · φ^{|k|}，|φ|<1（时间序列/通道内）。
• 周期–指数复合（PerExp）：K(Δx) = σ^2 · exp( -2 sin^2(π|Δx|/P)/ℓ_p^2 ) · exp( -|Δx|/L_c )（周期+缓变）。
• 频域锥形（Tapered）：对高频端施加锥形/窗函数以减小泄漏伪相关。
• 核选择原则：优先选物理解释明确且参数可辨识的最简核；必要时做核组合且控制参数自由度。

IV. 协方差结构（Structure）

1. 路径域（Path）：Σ_ij = K( |ℓ_i - ℓ_j| )（Toeplitz 近似）；遮挡/断路径采用分块与掩膜。
2. 时间域（Time）：Σ_ij = K( |t_i - t_j| )；失锁/漂移区间独立建模并与锁定区块零相关拼接。
3. 频域（Freq）：由功率谱 S(ν) 推导协方差，经逆变换得到 K(Δt)；对带内子段做准平稳近似。
4. 多通道/多域耦合（Cross）：
   • 通道相关：块对角 + 块内 Toeplitz；Corr(Δτ_ch^a, Δτ_ch^b) = ρ_ab。
   • 交叉协方差：如 Cov(n_eff, α_T·ΔT) = κ·σ_n·σ_T，在 Δ 法中加入交叉偏导。

V. 参数估计与诊断（Estimation & Diagnostics）

• 估计途径：极大似然（MLE）、限制最大似然（REML）、半变异函数拟合（Variogram）、Yule–Walker（AR）。
• 稳健化：重尾/异常值采用 Huber/分位损失或对残差做 Winsorization；报告稳健代理与等效二阶矩。
• 诊断图：半变异函数/相关图、QQ 图、残差时–频谱、局部平稳检验；给出拟合优度与置信区间。
• 非平稳处理：分段估计 L_c(·) 与 σ(·)，或采用核锥形/局部窗口法；跨段协方差设为 0 或小权重。

VI. 数值实现与稳定性（Numerics & Stability）

• 矩阵结构：Toeplitz/块 Toeplitz、稀疏 GMRF、低秩近似（Nystrom/随机 SVD）。
• 正定性：对数值近似添加抖动项 Σ ← Σ + εI（ε 取目标方差的 1e-6~1e-3）。
• 复杂度控制：FFT 加速卷积/Toeplitz 乘法；分块 Cholesky；Woodbury 公式用于低秩修正。
• 尺度与单位：建模前对输入做单位归一；输出恢复物理单位并通过 check_dim 校核。

VII. 与传播方法的接口（Interfaces to Propagation）

• Δ法：u^2(y) ≈ J Σ Jᵀ；Σ 由本章核与参数生成（路径/时间/频率/通道的拼接或 Kronecker 结构）。
• MC/自举：按核采样 x ~ 𝒩(0, Σ) 或稳健族；B ≥ 10^4；必要时使用谱分解/Cholesky/状态空间采样。
• 灵敏度：对核参数 θ = {σ^2, L_c, ν, …} 报告 ∂u(y)/∂θ 的数值敏感性以供 DoE 调参。

VIII. 质量门与合规（Gates & Compliance）

• G4｜量纲闭合：协方差输入/输出单位一致，p_dim = 1.0；
• G6｜残差带：基于所选核的残差 Q_res 落入许可区；
• G7｜守恒：近轴能流守恒下 ε_flux 在容许带；
• S1/S5 停止：正定性失败/引用不合规直接阻断发布。

IX. 机读模板（Machine-Readable，落库即用）

A. cov_config.yaml

version: "1.0.0"

domains: ["path","time","channel"]

kernels:

path:

name: "exp"

params: { sigma2: 3.0e-3, L_c_m: 25.0 }

time:

name: "ar1"

params: { sigma2: 1.0e-4, phi: 0.92 }

channel:

name: "block_toeplitz"

params: { rho_matrix: [[1,0.35],[0.35,1]] }

nonstationary:

segmentation:

path: [{start:0.0, end:120.0, L_c_m:20.0}, {start:120.0, end:300.0, L_c_m:35.0}]

numerics:

jitter: 1.0e-6

method: "chol_block"

see:

- "EFT.WP.Core.Equations v1.1:S20-1"

- "EFT.WP.Core.Metrology v1.0:check_dim"

B. cov_blocks.json（块结构示意）

{

"path_indices": [0, 300],

"time_indices": [0, 400],

"channel_blocks": 2,

"structures": ["toeplitz", "ar1", "block"],

"jitter": 1e-6

}

C. fit_report.md（最小要素）

# Covariance Fit Report

- Kernel set: path=exp(L_c=25 m), time=AR1(phi=0.92), channel=block(rho=0.35)

- Estimates: sigma2_path=3.0e-3 ± 0.4e-3, L_c=25.0 ± 3.0 m, ...

- Diagnostics: vario OK, QQ slight tail, Q_res=0.13 in-band

- Notes: segmented path between [0,120] m / [120,300] m

X. 与其它章节衔接（Cross-Refs）

• 与第3章控制式耦合 T_arr/Phi 的路径协方差；
• 向第6章传播方法提供 Σ 与采样器；
• 与第8章质量门对齐，输出 Q_res/ε_flux 诊断；
• 在第11章结果页展示半变异函数、相关曲线与拟合区间。

XI. 执行勾选清单（Checklist）

• 已明示 gamma(ell)、d ell 与 delta_form；路径/时间/通道索引对齐。
• 选定核函数与参数估计方法（MLE/REML/Variogram/AR），并完成稳健诊断。
• 协方差矩阵正定（加抖动后）且数值稳定；复杂度控制方案就绪。
• 生成 Σ 并在 Δ 法/MC 中通过；报告 Q_res、ε_flux 与核参数区间。
• 导出 cov_config.yaml / fit_report.md；引用合规（卷名+版本+锚点，直指率 ≥ 90%，对外仅 v1.*）。

​

​

第6章 传播方法（Δ法 / MC / 自举）

I. 目的与范围（Purpose & Scope）

II. 前置条件与输入（Prerequisites & Inputs）

• 控制式与路径显式：正文同时出现 gamma(ell) 与 d ell；数据/元数据记录 delta_form ∈ {general, factored}。
• 计量闭合与同步：p_dim = 1.0；clock_state=locked；|ts_start − calib.timestamp| ≤ τ_calib。
• 协方差配置：按第5章给出核/结构与参数：Σ = Cov(x)；必要时分域/分段。
• 统计设置：显著性 α、功效目标 1−β、抽样次数 B（MC/自举）、稳健代理开关。

III. Δ法（线性化，Delta Method）

1. 口径：设目标量 y = f(x)，在 x̂ 处线性化，雅可比 J = ∂f/∂x |_{x̂}，则
   u^2(y) ≈ J · Σ · Jᵀ。
2. 到达时/相位灵敏度（示例）
   • T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )：∂T_arr/∂c_ref = − (1 / c_ref^2) ∫ n_eff d ell；路径项对 n_eff(ell) 的协方差按第5章核建模。
   • Phi = ( 2π / λ_ref ) ( ∫ n_eff d ell )：∂Phi/∂λ_ref = − ( 2π / λ_ref^2 ) ∫ n_eff d ell。
3. 相关与交叉项：若存在交叉耦合（如 Cov(n_eff, α_T·ΔT)），在 J 中显式加入相应偏导。
4. 适用条件：f(·) 局部近线性、残差近高斯或可由稳健二阶代理近似。
5. 输出：u(y)、u_c、必要时 U = k·u_c；导出贡献分解（分量级方差分担率）。

IV. 蒙特卡洛（MC）

• 口径：从 x ~ 𝒩(x̂, Σ) 或稳健族（t/混合）采样，计算 y_b = f(x_b)，b=1..B；
  u(y) = std({y_b})，区间按类型（confidence/credible/quantile）给出。
• 采样器：谱分解/Cholesky/状态空间；大规模采用低秩+Woodbury、块 Toeplitz/FFT 加速。
• 稳健化：对重尾/异常值，报告中位数 + 分位带（如 P2.5–P97.5），并给出与均值±U 的差异。
• 收敛与复杂度：B ≥ 10^4（默认）；提供收敛诊断（方差随 B 衰减曲线）。
• 输出：点估计（均值/中位）、标准差/分位带、功效与抽样配置。

V. 自举（Bootstrap）

• 口径：对残差或观测对（成对/分层）进行重抽样；保持 {batch/device/region} 分层一致；对相位类先在参考窗对齐再自举。
• 统计量：对 ΔT_arr、r_phi、ε_flux 等指标生成自举分布，报告分位区间与偏差校正（BCa 可选）。
• 稳健流程：对残差采用 Huber/分位损失后再自举，输出稳健区间。
• B 值：B ≥ 10^4；给出区间稳定性诊断。

VI. 方法选择与切换（Method Selection & Switching）

• 优先级：局部线性可行且性能敏感 → Δ法；非线性显著/闭式灵敏度困难 → MC；分布未知/依赖结构复杂 → 自举。
• 切换准则：若 Δ法残差诊断失败或 Q_res 越界 → 切换 MC/自举并上报差异；MC 收敛不足 → 增大 B 或改用自举。
• 限制模式：核心假设失效（近轴/相干窗/计量闭合）→ [Restricted]，仅发布定性区间与诊断图。

VII. 数值与稳定性（Numerics & Stability）

• 正定与抖动：协方差近似需 Σ ← Σ + εI（ε 为目标方差的 1e-6~1e-3）。
• 尺度归一：计算前做单位/尺度归一，输出时恢复物理单位并通过 check_dim。
• 复杂度控制：低秩近似、块分解、Kronecker/Toeplitz 结构与 FFT；记录壁钟时间与内存峰值。

VIII. 产出与合规（Outputs & Compliance）

• 必交付：uncertainty.md（方法与参数）、check_dim_report.json、mc_config.yaml/bootstrap_config.yaml（若用）、抽样 seed 与收敛诊断。
• 质量门映射：Q_res 在许可带（G6）；p_dim = 1.0（G4）；守恒诊断（ε_flux）（G7）。
• 引用与版本：正文与 see[]/references[] 一致；“卷名 + 版本 + 锚点（P/S/M/I）”；直指率 ≥ 90%，对外仅 v1.*。

IX. 机读模板（Machine-Readable）

A. delta_config.yaml

version: "1.0.0"

model:

f: "T_arr = ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell"

jacobian: "auto" # or "manual"

covariance:

kernel: "exp"

params: { sigma2: 3.0e-3, L_c_m: 25.0 }

coverage: { k: 2, type: "confidence" }

see:

- "EFT.WP.Core.Equations v1.1:S20-1"

- "EFT.WP.Core.Metrology v1.0:check_dim"

B. mc_config.yaml

version: "1.0.0"

draws: 10000

sampler: "chol" # chol|spectral|state-space

seed: 20250924

covariance: { from: "cov_config.yaml" }

targets: ["T_arr","Phi","ε_flux"]

summaries: ["mean","std","p2.5","p50","p97.5"]

C. bootstrap_config.yaml

version: "1.0.0"

B: 10000

scheme: "stratified" # paired|stratified|residual

align_phase_window: true

strata: ["batch","device","region"]

robust: { loss: "huber", delta: 1.345 }

targets: ["DeltaT_arr","r_phi","ε_flux"]

X. 与其它章节衔接（Cross-Refs）

• 输入控制式与灵敏度：见第3章；
• 协方差构建与采样器：见第5章；
• 质量门映射与停止准则：见第8章；
• 结果页呈现与评分：见第11章。

XI. 执行勾选清单（Checklist）

• 已显式 gamma(ell)、d ell，并记录 delta_form；p_dim=1.0。
• 选择 Δ/MC/自举的理由、参数与收敛诊断已在 uncertainty.md 记录。
• MC/自举的 B、seed、采样器与协方差来源（cov_config.yaml）已登记。
• 输出包含点估计、u(y)/u_c、U=k•u_c 或分位带，并与质量门阈值对照。
• 发布包含 uncertainty.md / check_dim_report.json /(mc|bootstrap)_config.yaml；引用合规、版本锁定。