56-报告级方法附录 Template v1.0 | 第6章 数学表述与伪代码

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第6章 数学表述与伪代码

I. 章节目标与范围（强制）

• 用最小而完整的数学表述与可执行级伪代码刻画方法，保证符号—单位—量纲—路径/测度—复杂度—数值稳定性一致可复查。
• 与第4章（S/P）、第5章（数据与实验设计）、第7章（计量与校准）、第8章（评测协议）对齐。

II. 数学主陈述与符号表（强制）

1. 主方程（示例，行内均用反引号）：
   • 一般口径：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )
   • 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
2. 路径与测度：gamma(ell)；d ell。
3. 符号—单位—量纲一览：
   n_eff：单位 1，dim=1；c_ref：单位 m·s^-1，dim=L T^-1；T_arr：单位 s，dim=T。
4. 量纲校核：check_dim=true；所有含除号/积分/复合算符的表达一律加括号。

III. 约束与假设（强制）

• 可测性与有界性：n_eff≥0、c_ref>0，gamma(ell) 连续可微。
• 等价条件（可选）：若 ∂_ell c_ref = 0 几乎处处成立，则两口径等价；否则仅将外提式作为例外场景。
• 数值域：ell ∈ [ell_0, ell_1]，采样间隔 Δell>0；积分误差上限 ε_int 明示。

IV. 伪代码（强制）

FUNCTION EstimateArrivalTime(gamma, n_eff, c_ref, mode, Δell, ε_int):

# Inputs:

# gamma(ell): path parameterization on [ell0, ell1]

# n_eff(ell): effective refractive index along gamma

# c_ref(ell or const): reference propagation limit

# mode ∈ {"general","factored"}

# Δell > 0: step size; ε_int ≥ 0: integral tolerance

# Output: T_arr (scalar, unit: s)

ASSERT Δell > 0

ell_grid ← Discretize([ell0, ell1], step=Δell)

IF mode == "general":

acc ← 0

FOR k FROM 1 TO len(ell_grid)-1:

mid ← Midpoint(ell_grid[k-1], ell_grid[k])

acc ← acc + ( n_eff(mid) / c_ref(mid) ) * (ell_grid[k] - ell_grid[k-1])

T_arr ← acc

ELSE IF mode == "factored":

c0 ← RefValue(c_ref) # require piecewise-constant or validated bound

ASSERT IsApproximatelyConstant(c_ref, ell_grid, tol=τ_c)

acc ← 0

FOR k FROM 1 TO len(ell_grid)-1:

mid ← Midpoint(ell_grid[k-1], ell_grid[k])

acc ← acc + n_eff(mid) * (ell_grid[k] - ell_grid[k-1])

T_arr ← (1 / c0) * acc

ENDIF

# Optional: RichardsonExtrapolation / SimpsonComposite if ε_int is tight

IF ε_int > 0:

T_arr ← RefineIntegral(T_arr, gamma, n_eff, c_ref, mode, Δell, ε_int)

RETURN T_arr

V. 复杂度与数值稳定性（强制）

1. 时间复杂度：O(N)（N = ⌈(ell_1-ell_0)/Δell⌉）；空间复杂度：O(1)（流式求和）。
2. 稳定性要点：
   • 步长选择：满足 Δell ≤ min{ℓ_c/10, ℓ_var/10}（介质变化与路径曲率特征尺度的 1/10）。
   • 外提校验：max_ell |c_ref(ell)-c0| / c0 ≤ τ_c 才可使用 factored。
   • 积分误差：ε_int 对应 Simpson/自适应求积终止准则；记录最终网格与估计误差。

VI. 与评测协议衔接（强制）

1. 门禁指标对齐：
   • gate_accuracy>=0.99@7d：以高保真基准（更细 Δell 或解析值）对照；
   • gate_latency<=2h@7d：批量路径求积运行时门限；
   • compat_rate>=0.995@replay：回放一致性。
2. 实验记录：保存 Δell/ε_int/τ_c 与结果哈希。

VII. 机读结构（YAML；JSON 等价，强制）

math:

statements:

- "T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )"

- "T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )"

path: "gamma(ell)"

measure: "d ell"

symbols:

- { name: "T_arr", unit: "s", dim: "T" }

- { name: "n_eff", unit: "1", dim: "1" }

- { name: "c_ref", unit: "m·s^-1", dim: "L T^-1" }

check_dim: true

assumptions:

measurable: true

positivity: { n_eff: ">=0", c_ref: ">0" }

equivalence_cond: "∂_ell c_ref = 0 a.e."

algo:

pseudocode_ref: "EstimateArrivalTime"

inputs: ["gamma","n_eff","c_ref","mode","Δell","ε_int"]

outputs: ["T_arr"]

complexity: { time: "O(N)", space: "O(1)" }

stability:

step_rule: "Δell <= min{ℓ_c/10, ℓ_var/10}"

factored_tol: "τ_c"

integral_tol: "ε_int"

evaluation_links:

gates_hard: ["gate_accuracy>=0.99@7d"]

gates_soft: ["unit_cost<=1.0x@30d"]

metrics: ["gate_latency<=2h@7d","compat_rate>=0.995@replay"]

arrival_time:

delta_form: "general|factored"

record:

Δell: 0.001

ε_int: 1e-6

τ_c: 0.01

VIII. 人读 × 机读映射（强制）

IX. 最小样稿（人读摘要 × 机读片段，强制）

• 人读摘要：采用一般口径 T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )；Δell=1e-3、ε_int=1e-6；路径 gamma(ell) 与测度 d ell 同段声明；check_dim=true。
• 机读片段：

math:

statements: ["T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )"]

path: "gamma(ell)"

measure: "d ell"

symbols:

- { name: "T_arr", unit: "s", dim: "T" }

- { name: "n_eff", unit: "1", dim: "1" }

- { name: "c_ref", unit: "m·s^-1", dim: "L T^-1" }

check_dim: true

algo:

inputs: ["gamma","n_eff","c_ref","mode","Δell","ε_int"]

complexity: { time: "O(N)", space: "O(1)" }

arrival_time:

delta_form: "general"

record: { Δell: 0.001, ε_int: 1e-6, τ_c: 0.01 }

X. 校验规则（正则/一致性，强制）

• 方程：行内反引号包裹；含 T_arr 必有 math.path 与 math.measure。
• 伪代码：必须给出输入/输出与错误检查；复杂度声明与实现一致。
• 量纲：math.check_dim=true；math.symbols[*].unit/dim 不得为空。
• 门禁：gate_<metric>(>=|<=)[^@]+@[^ ]+$；与第8章口径一致。

XI. 引用与交叉引用体例（强制）