08-EFT.WP.Core.Sea v1.0 | 附录D 频谱与统计公式表

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附录D 频谱与统计公式表

I. 频率轴与索引

• f_k = k * ( fs / N )，k ∈ {0,1,...,N-1}
• 双边频谱：k ∈ {0,...,N-1}；单边频谱：k ∈ {0,...,N/2}
• 角频率：omega_k = 2 * pi * f_k / fs
• 频率分辨率：Delta_f = fs / N

II. DFT/IDFT 与缩放

1. 定义（本卷统一口径）
   • X[k] = ∑_{n=0}^{N-1} x[n] * exp( -j * 2 * pi * k * n / N )
   • x[n] = (1/N) * ∑_{k=0}^{N-1} X[k] * exp( j * 2 * pi * k * n / N )
2. Parseval 恒等
   (1/N) * ∑_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = (1/N^2) * ∑_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2

III. 加窗、相干增益与等效噪声带宽

1. 加窗 DFT
   X_w[k] = ∑_{n=0}^{N-1} ( x[n] * w[n] ) * exp( -j * 2 * pi * k * n / N )
2. 相干增益与幅度校正
   CG = ( ∑ w[n] ) / N，C_amp = 1 / CG
3. 能量归一（窗功率）
   U_w = (1/N) * ∑ w[n]^2
4. 等效噪声带宽
   • ENBW_bins = N * ( ∑ w[n]^2 ) / ( ∑ w[n] )^2
   • ENBW_Hz = ENBW_bins * ( fs / N )

IV. 周期图与 PSD（单侧口径）

1. 单段周期图（功率谱密度）
   • S_xx[k] = ( 2 / ( fs * N * U_w ) ) * | X_w[k] |^2，k = 1,...,N/2-1
   • 端点处理：S_xx[0] = ( 1 / ( fs * N * U_w ) ) * | X_w[0] |^2；若 N 偶数，S_xx[N/2] 同上
2. Welch 平均（K 段，重叠可选）
   • S_xx^Welch[k] = (1/K) * ∑_{i=1}^{K} S_{xx}^{(i)}[k]
   • 有效自由度（近似）：nu_eff approx 2 * K（无重叠）；nu_eff approx 1.5 * K（50% 重叠 + Hann）
3. 线谱幅值（单音，落在第 k0 栅格）
   A_hat approx ( 2 / N ) * | X_w[k0] | * C_amp

V. 互谱、相干与传函估计

1. 互功率谱密度
   S_xy[k] = ( 2 / ( fs * N * U_w ) ) * X_w[k] * conj( Y_w[k] )
2. 互相干函数
   gamma_xy^2[k] = | S_xy[k] |^2 / ( S_xx[k] * S_yy[k] )，gamma_xy^2[k] ∈ [0,1]
3. 传递函数估计（输入 x，输出 y）
   • H1[k] = S_yx[k] / S_xx[k]（抑制输出噪声）
   • H2[k] = S_yy[k] / S_xy[k]（抑制输入噪声）
   • Hv[k] = sqrt( H1[k] * H2[k] )（折衷）
4. 相位与群时延
   • phi[k] = angle( H[k] )
   • tau_g[k] = - d phi / d omega |_{omega=omega_k} approx - ( phi[k+1] - phi[k-1] ) / ( 2 * Delta_omega )，Delta_omega = 2 * pi * Delta_f / fs

VI. 自相关、互相关与 Wiener–Khinchin

• 自相关
  r_xx[m] = ∑_{n} x[n] * conj( x[n-m] )
• 互相关
  r_xy[m] = ∑_{n} x[n] * conj( y[n-m] )
• Wiener–Khinchin
  S_xx[k] = FFT( r_xx[m] )，r_xx[m] = IFFT( S_xx[k] )

VII. 峰值定位与亚栅格插值

• delta = ( P[k0+1] - P[k0-1] ) / ( 2 * ( 2 * P[k0] - P[k0-1] - P[k0+1] ) )
• k_hat = k0 + delta，f_hat = k_hat * ( fs / N )

VIII. 量化噪声、ENOB 与动态范围

• 均匀量化噪声功率（步进 Delta）
  P_q = Delta^2 / 12
• 满幅正弦的量化 SNR
  SNR_q_dB = 6.02 * ADC_bits + 1.76
• 有效位数
  ENOB = ( SNR_meas_dB - 1.76 ) / 6.02
• 噪声谱密度（单侧近似白噪声）
  S_q ≈ ( 2 * P_q ) / fs

IX. 采样抖动与相位噪声近似

• 抖动受限 SNR（输入单音频率 f_in，采样时间抖动 sigma_t）
  SNR_j_dB approx -20 * log10( 2 * pi * f_in * sigma_t )
• 相位抖动等效
  sigma_phi = 2 * pi * f_in * sigma_t

X. 置信区间与显著性检验

• PSD 的 1 - alpha 置信区间（卡方）
  [ S_low, S_high ] = [ ( nu_eff * S_hat ) / chi2_{1 - alpha/2}(nu_eff), ( nu_eff * S_hat ) / chi2_{alpha/2}(nu_eff) ]
• 均值（已知样本方差估计 sigma_hat）
  mu_CI = mu_hat ± z_{1 - alpha/2} * ( sigma_hat / sqrt(N_eff) )
• 方差
  [ sigma2_low, sigma2_high ] = [ ( (N_eff - 1) * sigma_hat^2 ) / chi2_{1 - alpha/2}(N_eff - 1), ( (N_eff - 1) * sigma_hat^2 ) / chi2_{alpha/2}(N_eff - 1) ]
• 相干显著性阈值（K 段平均）
  gamma_crit^2 = 1 - alpha^{ 1 / ( K - 1 ) }

XI. 缺失与权重（m ∈ {0,1}）

1. 有效样本数
   N_eff = ∑ m[n]
2. 加权均值与方差
   • mu_hat = ( ∑ m[n] * x[n] ) / N_eff
   • sigma_hat^2 = ( ∑ m[n] * ( x[n] - mu_hat )^2 ) / ( N_eff - 1 )
3. 加权加窗 DFT
   • X_{wm}[k] = ∑ ( m[n] * w[n] * x[n] ) * exp( -j * 2 * pi * k * n / N )
   • U_{wm} = (1/N) * ∑ ( m[n]^2 * w[n]^2 )

XII. 稳健统计与漂移度量

1. 中位数绝对偏差
   • MAD = median( | x - median(x) | )
   • sigma_robust approx 1.4826 * MAD
2. IQR 标度
   sigma_IQR approx 0.7413 * ( Q3 - Q1 )
3. EWMA
   z_t = lambda * x_t + (1 - lambda) * z_{t-1}
4. CUSUM（上偏）
   C_t^+ = max( 0, C_{t-1}^+ + x_t - mu0 - k )
5. 简化漂移分数
   drift_score = | mu_window - mu_ref | / sigma_robust

XIII. 到达时与路径（跨卷锚点）

1. 互相关到达时估计
   r_xy[tau] = ∑ x[n] * y[n - tau]，tau_hat = argmax_tau r_xy[tau]
2. 亚样点抛物线细化
   tau_hat_frac = tau0 + ( r[tau0+1] - r[tau0-1] ) / ( 2 * ( 2 * r[tau0] - r[tau0-1] - r[tau0+1] ) ) / fs
3. 到达时两口径（保持一致性）
   • T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
   • T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )
   • 差异度量：delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |

XIV. 频域滤波与群时延（提示）

• FIR 线性相位群时延
  tau_g(H) = ( N - 1 ) / ( 2 * fs )
• IIR 非线性相位
  tau_g[k] 按 - d phi / d omega 数值近似（见本卷第4章）

XV. 特征与谱矩

1. 频谱质心
   f_centroid = ( ∑ f_k * S_xx[k] ) / ( ∑ S_xx[k] )
2. 带宽（二阶矩）
   BW_rms = sqrt( ( ∑ ( f_k - f_centroid )^2 * S_xx[k] ) / ( ∑ S_xx[k] ) )
3. 峰度与偏度（功率或幅值域）
   • skew = E[ ( x - mu )^3 ] / sigma^3
   • kurt = E[ ( x - mu )^4 ] / sigma^4

XVI. 反混叠与泄漏（核验）

• 混叠镜像
  f_alias = | f_true - r * fs |，r ∈ Z 使 f_alias ∈ [0, fs/2]
• 泄漏抑制与主瓣
  主瓣宽度近似：Delta_f_main approx K_main * ( fs / N )（K_main 见附录C）

XVII. I80 映射（核对字段）

XVIII. 报告字段与单位（统一口径）

• 基本必填
  fs，N，window.name，U_w，CG，ENBW_Hz，seg，overlap，nu_eff，PSD_unit = power/Hz（或 amp^2/Hz）
• 端点说明
  单侧谱端点 k=0 与 k=N/2 不乘 2，其余频点乘 2（保持能量守恒）

XIX. 参考一致性清单

• 时基：所有延时、抖动、一致性以 tau_mono 评估，发布用 ts 存证
• 环境：任何 corr_env(x; RefCond) 必显式记录 RefCond
• 到达时：引用 T_arr 必同时给出 gamma(ell)、d ell、c_ref、n_eff，并报告 delta_form

XX. 结语