09-EFT.WP.Core.Density v1.0 | 第2章 物理密度与守恒

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第2章 物理密度与守恒

I. 范围与目标

• 建立物理密度 rho(x,t)、通量 J(x,t) 与源汇 s(x,t) 的统一口径；给出积分式与微分式守恒律、边界条件与离散化准则；形成发布与审计所需的质量平衡清单与流程 Mx-91。
• 本章输出最小方程 S92-1、S92-2，以及控制体、移动边界、有限体积离散与误差度量的规范；跨卷锚点与《Core.Sea》第4/6/8章一致。

II. 量纲与单位（继承 P91-2）

1. 量纲与单位
   • unit(rho) = quantity / volume；unit(J) = quantity / ( area * time )；unit(s) = quantity / ( volume * time )。
   • 总量 M(t) = ( ∫_V rho(x,t) dV )，unit(M) = quantity。
2. 审计要求
   发布时提供 unit(rho)、unit(J)、unit(s) 与 dim(·)；通过 check_dim(expr)。

III. 守恒律：积分式与微分式

1. 最小方程 S92-1（连续性方程，微分式）
   S92-1 : ∂_t rho(x,t) + ∇·J(x,t) = s(x,t)。
2. 积分式（固定控制体 V）
   • d/dt ( ∫_V rho dV ) + ( ∫_{∂V} J · n dS ) = ( ∫_V s dV )。
   • 定义总量 M(t) = ( ∫_V rho dV )，净边界通量 Phi_b = ( ∫_{∂V} J · n dS )，体源项 S_V = ( ∫_V s dV )，则 dM/dt + Phi_b = S_V。
3. 物理分解（可选）
   对流通量 J_adv = rho * v；扩散通量 J_diff = -D ∇rho；一般写 J = J_adv + J_diff + J_other，并逐项给出单位。

IV. 移动控制体与相对通量

• d/dt ( ∫_{V(t)} rho dV ) + ( ∫_{∂V(t)} ( J - rho * u_b ) · n dS ) = ( ∫_{V(t)} s dV )。
• J_rel = J - rho * u_b 为相对通量；固定网格近似时令 u_b = 0。

V. 边界条件分类与口径

• Dirichlet（值边界）
  rho|_{∂V} = rho_D(x,t)；常用于外部强制场或储层接口。
• Neumann（通量边界）
  ( J · n )|_{∂V} = q_N(x,t)；绝热/密闭边界取 q_N = 0。
• Robin（混合边界）
  ( a * rho + b * ( J · n ) )|_{∂V} = r(x,t)；用于交换或辐射类边界。
• 周期边界
  在配对面 ∂V_a 与 ∂V_b 上要求 rho 与 ( J · n ) 的相位与数值一致。
• 发布要求
  在元数据中列出 boundary = {"type": "D|N|R|periodic", "params": ...}，并给出时间标 ts 与 tau_mono 的对齐方式。

VI. 源汇建模与稀疏项

• 体源 s_bulk(x,t)、面源 s_surf(x,t) * δ_S、点源 s_point(t) * δ(x - x0) 的等效体源写法
  ( ∫_V s dV ) = ( ∫_V s_bulk dV ) + ( ∫_{∂V} s_surf dS ) + ∑_k s_point^{(k)}(t)。
• 数值化
  将奇异源在体素内积分为有限值，确保 unit(s) 保持一致；明确时间插值与对齐到 ts。

VII. 守恒量与审计指标

1. 最小方程 S92-2（总量与守恒判据）
   • S92-2 : M(t) = ( ∫_V rho dV )，res_mass(t) = | dM/dt - ( ∫_V s dV ) + ( ∫_{∂V} ( - J · n ) dS ) |。
   • 发布阈值：res_mass(t) <= eps_mass，其中 eps_mass 在清单中给出。
2. 区间守恒
   • 在 [t0,t1]：M(t1) - M(t0) = ( ∫_{t0}^{t1} ( ∫_V s dV ) dt ) - ( ∫_{t0}^{t1} ( ∫_{∂V} J · n dS ) dt )。
   • 离散实现以梯形或 Simpson 法评估时间积分，并报告积分阶次。

VIII. 有限体积离散与更新律

1. 体素与量守恒
   • 网格 {V_i}，面集合 {F_{i→j}}，法向统一指向外侧。
   • 体素内总量 M_i^k = rho_i^k * V_i，时间步长 Delta_t。
2. 通量与更新（显式一阶）
   • M_i^{k+1} = M_i^k + Delta_t * ( S_i^k - ∑_{f ∈ ∂V_i} Phi_f^k )，其中 Phi_f^k = ( ∫_{F_f} J^k · n_f dS )，S_i^k = ( ∫_{V_i} s^k dV )。
   • 守恒残差：res_i^{k+1} = | ( M_i^{k+1} - M_i^k ) / Delta_t - S_i^k + ∑_{f} Phi_f^k |。
3. 稳定性与 CFL 指标（建议约束）
   • 对流类：C_adv = max_i( ||v_i|| * Delta_t / Delta_x_i ) <= C_max。
   • 扩散类：C_diff = max_i( D_i * Delta_t / Delta_x_i^2 ) <= C'_max。
   • 选择 C_max、C'_max 于清单中记录并给出经验/理论来源。

IX. 质量平衡流程 Mx-91（守恒检查器）

• 读取 rho/J/s、域 V 与边界条件；确认 unit(·)、dim(·)（继承 P91-2）。
• 计算 M(t_k) = ( ∫_V rho(x,t_k) dV )，评估 dM/dt（差分或平滑导数，给出窗宽 Delta_t）。
• 评估边界通量 Phi_b(t_k) = ( ∫_{∂V} J · n dS ) 与体源 S_V(t_k) = ( ∫_V s dV )。
• 形成 res_mass(t_k) = | dM/dt + Phi_b - S_V |，与门限 eps_mass 比较；若超阈，定位主导项（灵敏度按项归一）。
• 输出审计报表：{M, dM/dt, Phi_b, S_V, res_mass, eps_mass, method, ENBW_Hz/Delta_t, ts/tau_mono}；入清单并打标签 Mx-91-pass|fail。

X. 到达时与时间轴对齐（跨卷锚点）

1. 若时间标依赖到达时，则统一报告两口径
   • 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_{gamma(ell)} n_eff d ell )；一般口径：T_arr = ( ∫_{gamma(ell)} ( n_eff / c_ref ) d ell )。
   • 形制差异：delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |。
2. 审计规则
   任一 rho(x,t)、J(x,t)、s(x,t) 与 ts 的对齐，若使用 T_arr 进行校准，需在 Mx-91 报表中记录 gamma(ell)/d ell/c_ref/n_eff/delta_form（与《Core.Sea》第8章一致）。

XI. 数值与计量不确定度

1. 体素总量不确定度
   • u(M_i) ≈ sqrt( ( V_i * u(rho_i) )^2 + ( rho_i * u(V_i) )^2 )。
   • 区域总量 M = ( ∑_i M_i )，则 u(M) = sqrt( ∑_i u(M_i)^2 )（假定近似独立）。
2. 守恒残差不确定度
   u(res_mass) ≈ sqrt( u(dM/dt)^2 + u(Phi_b)^2 + u(S_V)^2 )；发布扩展不确定度 U = k * u_c 并给出 k。
3. 频域估计（可选）
   若 M(t) 噪声白化，u(dM/dt) 与窗口 ENBW_Hz 有关，需在报表中标注窗口功率 U_w 与 ENBW_Hz（与《Core.Sea》第5章一致）。

XII. 元数据与清单字段（最小集合）

• domain = {"V":"...", "coords":"...", "dV":"..."}
• boundary = [{"type":"D|N|R|periodic", "params":{...}}]
• sources = {"bulk":"...", "surface":"...", "point":[...]}
• conservation = {"eps_mass":value, "method":"finite-volume|spectral", "time_window":Delta_t}
• timing = {"ts":"UTC", "tau_mono":"...", "T_arr":{"gamma":"...", "d ell":"...", "c_ref":..., "n_eff":"...", "delta_form":...} }
• units = {"rho":"...", "J":"...", "s":"...", "M":"..."}

XIII. 实现绑定（I90 片段）与调用建议

• conserve_mass(dens:DensRef, flow:any, source:any|None=None) -> DensRef
  以 S92-1/S92-2 为约束对 rho 与 J 做一致性修正（如投影到可行空间）。
• bind_to_equations(eqn_refs:list[str]) -> bool
  绑定 ["S92-1","S92-2"]，使清单自动携带守恒状态。
• spectral_density(sig:any, method:str="welch", window:str="hann") -> SpecRef
  估计 M(t) 的导数噪声谱，计算 u(dM/dt)（与 ENBW_Hz 报告绑定）。

XIV. 典型用例与发布要点

• 密闭容器（J·n = 0）
  期望 dM/dt = ( ∫_V s dV )；若 s = 0 则 M(t) 近似常量，res_mass 反映数值误差与计量噪声。
• 稳态外流（常值 J·n < 0）
  稳态判据：| dM/dt | << | Phi_b |，且 Phi_b ≈ S_V。
• 点源注入
  发版时将 s_point 累计为区间量 Q = ( ∫ s_point dt )，并在体素内守恒分配。

XV. 本章产出

• 已定义最小方程：S92-1、S92-2。
• 已给出守恒检查流程：Mx-91。
• 已明确边界类型、移动边界口径、有限体积更新与稳定性指标、到达时对齐要求与不确定度发布规则。
• 后续章节引用：第7章使用 mass_preserve = ( ∑ rho_i * V_i ) 的体素化守恒式；第9章在跨域归一化时保持 M 不变并记录 delta_form。