09-EFT.WP.Core.Density v1.0 | 第1章 密度与测度基础

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第1章 密度与测度基础

I. 范围与术语

• 本章建立密度与测度的共同口径，明确 Omega（域）、mu（base measure）、dV/dx/dS/d ell（测度元），以及三类密度对象：物理密度 rho(x,t)、概率密度 p(x)、空间/时空强度 lambda(x,t)。所有积分表达均显式指明测度与域，如 ( ∫_Omega p(x) dx ) = 1、( ∫_V rho(x,t) dV ) = M(t)、路径积分写作 ( ∫_{gamma(ell)} a(ell) d ell )。
• 本章引入公设 P91-* 作为后续章节的基础；最小方程 S92-* 自第2章起逐步展开（如连续性方程 S92-1 于第2章定义）。

II. 域、σ-代数与测度

1. 域与测度
   • 设 Omega 为定义域（可为空间域、时空域或参数域），mathcal{F} 为 σ-代数，mu 为 base measure。常用情形：Lebesgue 测度 dx、体积测度 dV、面积测度 dS、路径测度 d ell。
   • 产品测度：在笛卡尔乘积 Omega = X × T 上使用 ( dV × dt )；在非正交坐标中，以同一原则以 dV 表示（含雅可比因子，见第 V 节）。
2. 公设 P91-1（measure 显式）
   • 任一积分必须指明测度与域；未指明测度或域的表达不具发布资质。
   • 例：( ∫_Omega p(x) dx ) = 1、( ∫_V rho(x,t) dV ) = M(t)、( ∫_{gamma(ell)} n_eff d ell )。

III. 密度对象分类与关系

• 概率密度 p(x)
  无量纲；满足 ( ∫_Omega p(x) dx ) = 1。变换 x → y 时遵循 p_Y(y) = p_X(x(y)) * | det( ∂x/∂y ) |。
• 物理密度 rho(x,t)
  具有量纲，如质量密度 rho_m、电荷密度 rho_q、数密度 n(x,t)；总量 M(t) = ( ∫_V rho(x,t) dV )。与通量 J(x,t) 满足连续性与源汇（见第2章 S92-1）。
• 空间/时空强度 lambda(x,t)
  点过程的强度，满足 ( ∫_A lambda(x,t) dV ) ≈ E[ N(A,t) ]；时间积分给出到达率（见第5章）。
• 公设 P91-2（unit/dim 守恒）
  unit(x) 与 dim(x) 必与 check_dim(expr) 一致；禁止将无量纲 p(x) 与具量纲 rho(x,t) 混写。

IV. 从场量到密度与总量

• 由总量到密度
  若 M(t) 为随时间变化的总量，定义密度 rho(x,t) 使 ( ∫_V rho(x,t) dV ) = M(t)；离散体素 {V_i} 上的近似为 M(t) ≈ ( ∑_i rho_i(t) * V_i )。
• 由计数到概率密度
  给定样本 {x_i}_{i=1..N} 与 bin 宽 Delta，直方图密度 p_hat = count / ( N * Delta )（详见第7章 S92-10）。
• 守恒检查（占位，详见第2章）
  质量守恒残差定义为 eps_mass = | dM/dt - ( ∫_V s(x,t) dV ) - ( ∫_{∂V} J·n dS ) |，发布前应满足阈值（见第2章 S92-2 与流程 Mx-91）。

V. 坐标变换与雅可比

1. 变量变换
   • 概率密度：p_Y(y) = p_X(x(y)) * | det( ∂x/∂y ) |。
   • 物理密度：rho_Y(y,t) = rho_X(x(y),t) * | det( ∂x/∂y ) |^{-1} 以保持总量 ( ∫ rho dV ) 不变。
2. 曲线坐标与测度
   在一般坐标系 q = (q1,q2,q3) 下，dV = | det( ∂x/∂q ) | dq1 dq2 dq3；路径测度 d ell = || ∂x/∂s || ds。
3. 公设 P91-3（normalization discipline）
   概率密度发布前必须通过归一化误差检查：eps_norm = | ( ∫_Omega p(x) dx ) - 1 | <= eps_tol；eps_tol 在清单中显式记录。

VI. 支集、边界与源汇元数据

• 支集与可测集
  概率密度支集 supp(p) ⊆ Omega；物理密度支集 supp(rho) ⊆ V。发布时须在元数据中给出域的闭包与边界类别（Dirichlet/Neumann/Robin）。
• 源汇 s(x,t) 与边界通量
  源汇项在量纲上与 ∂_t rho 一致；边界通量以 ( ∫_{∂V} J·n dS ) 计入守恒关系（见第2章）。

VII. 路径与到达时锚点（跨卷一致）

1. 路径积分与到达时
   • 统一引用两口径：
     1. 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_{gamma(ell)} n_eff d ell )
     2. 一般口径：T_arr = ( ∫_{gamma(ell)} ( n_eff / c_ref ) d ell )
   • 形制差异度量：delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫_{gamma(ell)} n_eff d ell ) - ( ∫_{gamma(ell)} ( n_eff / c_ref ) d ell ) |。
2. 用途
   当 rho(x,t)、lambda(x,t) 的时间标与到达时有关时，必须报告 gamma(ell)、d ell、c_ref、n_eff 及 delta_form（与《Core.Sea》第8章一致）。

VIII. 质量控制清单（本章适用）

1. 归一化与量纲
   概率密度：eps_norm <= eps_tol；物理密度：发布 unit(rho)、dim(rho) 与总量 M(t)。
2. 测度与域
   报告 (Omega, mu) 或 (V, dV)、边界 ∂V 与类别；若含路径，报告 gamma(ell) 与参数化范围。
3. 元数据字段（最小集合）
   • measure = {"space": "...", "base": "lebegue|count|surface|line", "coords": "...", "jacobian": "explicit|implicit"}
   • support = {"domain": "...", "boundary": "D|N|R", "closure": "..."}
   • norm = {"eps_norm": value, "eps_tol": value}
   • units = {"rho": "...", "J": "...", "s": "..."}

IX. 参考实现绑定（I90 片段，供本章调用）

1. 建立测度与密度对象
   • define_measure(space:str, metric:str|None=None, base:str="lebegue") -> MeasRef
   • density_from_field(field:any, units:str) -> DensRef（将场量与单位绑定为 rho(x,t) 或 n(x,t)）。
2. 归一化与校验
   • renormalize(pdf:PdfRef, domain:any) -> PdfRef（确保 ( ∫ p(x) dx ) = 1）；
   • bind_to_equations(eqn_refs:list[str]) -> bool（声明与 P91-*、S92-* 的绑定关系）。

X. 例：从计数到密度的最小工作流

• 定义测度与域：创建 MeasRef = define_measure(space="R^1", base="lebegue")，声明 Omega 与 dx。
• 构造直方图密度：依据样本与 Delta 形成 p_hat，并执行 ( ∫_Omega p_hat(x) dx ) 归一化校核（eps_norm 入清单）。
• 构造物理密度：将计数转为数密度 n(x,t)，在体素 {V_i} 上发布 n_i = count_i / V_i，并给出 M(t) = ( ∑ n_i * V_i )。
• 报告元数据：measure/units/support/norm 四类字段齐备；若时间轴受到达时影响，按第 VII 节报告两口径与 delta_form。

XI. 本章产出与跨卷对齐

1. 公设输出：P91-1、P91-2、P91-3。
2. 产物：密度与测度元数据模板、归一化与量纲检查清单。
3. 跨卷对齐：
   • 与《Core.Sea》一致的到达时两口径与谱密度记号；
   • 与《Core.Metrology》一致的单位与不确定度术语 u(x)、U = k * u_c（后续章节展开）；
   • 与《Core.Threads》一致的数据清单与发布字段命名。