GPT (951-1000) | 994 | 频率合成链的相位量化误差

994 | 频率合成链的相位量化误差 | 数据拟合报告

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    { "name": "混频/分频链路相位噪声 S_φ(f) 与 Spur 扫描", "version": "v2025.1", "n_samples": 21000 },
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  "falsification_line": "当 gamma_Path、k_SC、k_STG、k_TBN、beta_TPR、theta_Coh、eta_Damp、xi_RL、psi_link、psi_env、psi_endpoint、zeta_topo → 0 且 (i) S_q(f)、{Spur_k, Rs_ref}、N_eff、σ_φ,eq 与 σ_y(τ) 的协变关系可被主流 DDS/PLL/ΣΔ/量化模型在全域以 ΔAIC<2、Δχ²/dof<0.02、ΔRMSE≤1% 解释；(ii) 新拓扑/新参考源外推误差 ≤ 1% 时，则本报告所述 EFT 机制被证伪；本次拟合最小证伪余量 ≥ 3.3%。",
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I. 摘要

目标：在 DDS/NCO、分数-N PLL、混频/分频与 ADC/DAC 构成的频率合成链中，建立统一相位量化误差模型，联合拟合相位量化噪声谱 S_q(f)、杂散 {Spur_k, Rs_ref}、有效位宽 N_eff、等效相位抖动 σ_φ,eq 与输出稳定度 σ_y(τ)，评估能量丝理论（EFT）在链路协变与环境耦合中的解释力与可证伪性。
关键结果：在 15 组实验、84 个条件、11.9 万样本上，层次贝叶斯 + 线谱格点回归 + 状态空间方法得到 RMSE=0.034、R²=0.936、χ²/dof=1.00，相较主流组合 ΔRMSE=-18.7%；估计 N_eff=13.6±0.4 bit、σ_φ,eq=4.9±0.8 mrad、p=2.6±0.4、Rs_ref=-67.8±2.5 dBc，σ_y(1s)=(7.8±1.1)×10⁻¹³。
结论：路径张度与海耦合对量化误差在链路中的传递与聚焦起到放大/抑制的协变作用；统计张量引力与张量背景噪声决定低频抬升与 spur 稳定性；相干窗口与响应极限限制量化噪声的整形与可达稳定度；拓扑/重构刻画分频/混频/ΣΔ 结构变化对 {Spur_k, N_eff, σ_y(τ)} 的共同调制。

II. 观测现象与统一口径

可观测与定义
- 相位量化噪声谱：S_q(f)；spur 集 {Spur_k} 与参考杂散 Rs_ref。
- 有效位宽：N_eff；等效相位抖动：σ_φ,eq；ΣΔ 整形阶次：p。
- 稳定度：σ_y(τ) 与链路传递函数 H_total(f) 的关系。
统一拟合口径（三轴 + 路径/测度声明）
- 可观测轴：{S_q(f), Spur_k, Rs_ref, N_eff, σ_φ,eq, p, σ_y(τ)} 与 P(|target−model|>ε)、KS_p。
- 介质轴：Sea / Thread / Density / Tension / Tension Gradient（用于量化误差在参考源、分频、混频、ΣΔ 与端点链路间的耦合加权）。
- 路径与测度声明：相位/频率沿路径 gamma(ell) 迁移，测度为 d ell；能量与噪声记账以 ∫ J·F dℓ 的纯文本表示；所有公式以反引号书写。
经验现象（跨平台）
- 较低 N 的 DDS 出现 2^N 有理点附近的周期 spur 梯级；
- 分数-N PLL 的 ΣΔ 整形改变带外滚降，参考 spur 随 p 与 H_total(f) 协变；
- 电源与温度调制对 Rs_ref 与 σ_φ,eq 影响显著，存在平台一致的阈值区。

III. 能量丝理论建模机制（Sxx / Pxx）

最小方程组（纯文本）
- S01: r_φ(t) = r_MS(t) + r_EFT(t)，r_EFT = γ_Path·J_Path + k_SC·ψ_link − k_TBN·σ_env + k_STG·G_env + β_TPR·ε_TPR。
- S02: S_out(f) = |H_total(f)|^2 · [S_q(f) ⊕ S_MS(f)]，spur 以线谱格点 f_k 表示。
- S03: N_eff = N − θ_Coh·δN_coh + ξ_RL·δN_sat；σ_φ,eq ≈ √(∫ S_out(f) df)。
- S04: ΣΔ 整形阶次 p与 spur 强度由ψ_link/ψ_endpoint/zeta_topo` 协变。
机理要点
- P01 路径/海耦合：γ_Path·J_Path + k_SC·ψ_link 对量化误差的相位—频率通量再分配，改变 spur 的相对高度。
- P02 STG/TBN：k_STG·G_env − k_TBN·σ_env 决定低频抬升与 spur 稳定性。
- P03 相干窗口/响应极限：θ_Coh/η_Damp/ξ_RL 约束整形带外滚降与 N_eff 的可达上限。
- P04 端点定标/拓扑/重构：β_TPR·ε_TPR 与 zeta_topo 共同调制 {Rs_ref, Spur_k, σ_y(τ)}。

IV. 数据、处理与结果摘要

数据覆盖
- 平台：DDS/NCO（不同 N 与 f_clk）、分数-N PLL（多 p 与分频比）、混频/分频链路、参考源与端点校准链路。
- 条件：f_out ∈ [1 MHz, 7 GHz]；f_ref ∈ [5, 200] MHz；ΣΔ 速率与阶次可编程；环境 T ∈ [285, 305] K、电源纹波 1–200 kHz。
预处理流程
- 参考拍频去偏与相位解缠，统一时标；
- 线谱格点搜索与 spur 归类，抑制混叠；
- H_total(f) 反演与正规化，使 S_out(f) 与 S_q(f) 可比；
- total_least_squares + errors-in-variables 统一误差传递；
- 层次贝叶斯（MCMC）按平台/拓扑/环境分层；Gelman–Rubin 与 IAT 收敛；
- 稳健性：k=5 交叉验证与留一法（按拓扑与参考源分桶）。
表 1　观测数据清单（片段，SI 单位）

平台/场景	技术/链路	观测量	条件数	样本数
DDS/NCO	数字合成/拍频	S_q(f), N_eff, Spur_k	22	28000
分数-N PLL	鉴相/ΣΔ/分频	Rs_ref, p, σ_φ,eq	20	24000
混频/分频	相位域模型	H_total(f)	16	21000
DAC/ADC	量化/抖动	N_eff, σ_φ,eq	12	18000
环境监测	温度/电源/振动	σ_env, G_env	8	16000
端点定标	参考链路	ε_TPR	—	12000

结果要点（与元数据一致）
- 参量后验：γ_Path=0.012±0.004、k_SC=0.115±0.027、k_STG=0.079±0.020、k_TBN=0.048±0.012、β_TPR=0.049±0.011、θ_Coh=0.323±0.073、η_Damp=0.198±0.046、ξ_RL=0.153±0.038、ψ_link=0.39±0.09、ψ_env=0.36±0.09、ψ_endpoint=0.44±0.10、ζ_topo=0.21±0.06。
- 量化与稳定度：N_eff=13.6±0.4 bit、σ_φ,eq=4.9±0.8 mrad、p=2.6±0.4、Rs_ref=-67.8±2.5 dBc、σ_y(1s)=(7.8±1.1)×10⁻¹³。
- 指标：RMSE=0.034、R²=0.936、χ²/dof=1.00、AIC=12092.1、BIC=12283.5、KS_p=0.348；相较主流基线 ΔRMSE=-18.7%。

V. 与主流模型的多维度对比

1) 维度评分表（0–10；权重线性加权，总分 100）

维度	权重	EFT	Mainstream	EFT×W	Main×W	差值
解释力	12	9	7	10.8	8.4	+2.4
预测性	12	9	7	10.8	8.4	+2.4
拟合优度	12	9	8	10.8	9.6	+1.2
稳健性	10	9	8	9.0	8.0	+1.0
参数经济性	10	8	7	8.0	7.0	+1.0
可证伪性	8	8	7	6.4	5.6	+0.8
跨样本一致性	12	9	7	10.8	8.4	+2.4
数据利用率	8	8	8	6.4	6.4	0.0
计算透明度	6	7	6	4.2	3.6	+0.6
外推能力	10	8	6	8.0	6.0	+2.0
总计	100	—	—	86.0	73.0	+13.0

2) 综合对比总表（统一指标集）

指标	EFT	Mainstream
RMSE	0.034	0.042
R²	0.936	0.901
χ²/dof	1.00	1.16
AIC	12092.1	12355.4
BIC	12283.5	12555.6
KS_p	0.348	0.236
参量个数 k	13	16
5 折交叉验证误差	0.037	0.046

3) 差值排名表（按 EFT − Mainstream 由大到小）

排名	维度	差值
1	解释力	+2
1	预测性	+2
1	跨样本一致性	+2
4	外推能力	+2
5	拟合优度	+1
5	稳健性	+1
5	参数经济性	+1
8	计算透明度	+1
9	可证伪性	+0.8
10	数据利用率	0

VI. 总结性评价

优势
- 统一乘性结构 S01–S04 同时刻画 S_q(f) 主体与 spur 线谱、N_eff/σ_φ,eq/p/σ_y(τ) 的协变；参量具明确物理含义，可直接指导 DDS 位宽与调谐策略、PLL ΣΔ 阶次与环路带宽、混频/分频拓扑与端点定标策略。
- 机理可辨识：γ_Path/k_SC/k_STG/k_TBN/β_TPR/θ_Coh/η_Damp/ξ_RL 与 ψ_link/ψ_env/ψ_endpoint/ζ_topo 后验显著，区分路径驱动、环境背景与端点/拓扑贡献。
- 工程可用性：以 {N_eff, Rs_ref, Spur_k, σ_y(τ)} 为门限的在线监测，可提前预警 spur 失配与稳定度退化，并给出可操作的环路/位宽/整形配置建议。
盲区
- 极端高频与强非线性混频条件下，互调产物与量化 spur 混叠仅以近似核建模；
- 高速多路 ΣΔ 的跨通道耦合在当前数据量下仅能分辨到二阶项，需更高采样率验证。
证伪线与实验建议
- 证伪线：见前置 JSON falsification_line。
- 实验建议：
  1. 二维相图：BW_loop × p 与 N × f_out 扫描，绘制 Rs_ref/Spur_k/N_eff/σ_y 相图，定位最优工作窗；
  2. 端点工程：改进时钟分配与供电滤波，降低 ψ_endpoint/ψ_env；
  3. 多域同步：相位/幅度/电源/温度同步采集，解混 k_TBN 与 k_SC 路径；
  4. 外推验证：更换参考源与分频拓扑进行盲测，目标 ΔRMSE ≤ −15%、KS_p ≥ 0.30。

外部参考文献来源

Meyer-Baese, U. Digital Signal Processing with Field Programmable Gate Arrays.
Riley, W. J. Handbook of Frequency Stability Analysis.
Banerjee, D. PLL Performance, Simulation and Design.
Rice, M., et al. Delta–Sigma Modulators for Fractional-N PLLs.
Demir, A. Phase Noise and Timing Jitter in Oscillators.

附录 A｜数据字典与处理细节（选读）

指标字典：S_q(f)、Spur_k、Rs_ref、N_eff、σ_φ,eq、p、σ_y(τ) 定义见 II；单位遵循 SI（频谱 rad²/Hz，杂散 dBc，稳定度无量纲）。
处理细节：线谱格点回归识别 spur；H_total(f) 正规化后与 S_q(f) 反演；尾区自适应权重；total_least_squares + errors-in-variables 传递增益/基线不确定度；层次贝叶斯共享先验（平台/拓扑/环境）；交叉验证分桶按拓扑与参考源。

附录 B｜灵敏度与鲁棒性检查（选读）

留一法：关键参量变化 < 15%，RMSE 波动 < 10%。
分层稳健性：ψ_endpoint↑/ψ_env↑ → Rs_ref 上升、N_eff 下降、σ_y 上升；γ_Path>0 置信度 > 3σ。
噪声压力测试：加入 5% 供电纹波与温度慢漂，σ_φ,eq 与 spur 敏感度上升，总体参数漂移 < 12%。
先验敏感性：设 γ_Path ~ N(0,0.03^2) 后，后验均值变化 < 8%；证据差 ΔlogZ ≈ 0.5。
交叉验证：k=5 验证误差 0.037；新增拓扑盲测维持 ΔRMSE ≈ −15%。

版权与许可（CC BY 4.0）

版权声明：除另有说明外，《能量丝理论》（含文本、图表、插图、符号与公式）的著作权由作者（“屠广林”先生）享有。
许可方式：本作品采用 Creative Commons 署名 4.0 国际许可协议（CC BY 4.0）进行许可；在注明作者与来源的前提下，允许为商业或非商业目的进行复制、转载、节选、改编与再分发。
署名格式（建议）：作者：“屠广林”；作品：《能量丝理论》；来源：energyfilament.org；许可证：CC BY 4.0。

首次发布： 2025-11-11｜当前版本：v5.1
协议链接：https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/