01-EFT.WP.Core.Terms v1.0 | 第3章 场量与路径

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第3章 场量与路径

I. 章目标与范围

• 明确 T_fil(x,t)、rho(x,t)、n(x,t)、n_eff(x,t)、p(x,t) 等场量的规范定义、域与单位，以及与路径 gamma(ell)、测度 d ell 的一致写法。
• 统一到达时表达与路径相关算子，给出可直接复用的表达模板与校验要点，遵循 P10-1、P10-2、P10-3、P10-4（见 本卷 第1章）。

II. 基础场量（统一词条）

1. Tension field — T_fil(x,t)
   • Definition (def=) T_fil(x,t) def= the intrinsic tension field of the medium-weave system.
   • 域与正则性：x ∈ R^3，t ∈ R，假定分片连续可导；TensionGrad = grad[T_fil] 与 TensionPot 在《Core.Equations》给出映射。
   • 单位与量纲：见《Core.Metrology》；由 check_dim(expr) 进行一致性校验。
   • 约束与冲突：不得与 T_trans 混用（见 P10-4）。
2. Density field — rho(x,t)
   • Definition (def=) rho(x,t) def= a field describing matter/energy distribution; its statistics act as sources or constraints for path- and gravity-like effects.
   • 域与统计量：rho(x,t) ≥ 0，可定义 avg_t[rho; Δt]、avg_V[rho]。
   • 单位与量纲：[M L^-3]；注册与校验见 I10-3。
   • 约束：严禁与 n_eff(x,t) 混用。
3. Number density — n(x,t)
   • Definition (def=) n(x,t) def= the particle number density not to be confused with effective refractive index.
   • 约束：任何到达时表达均不得以 n 代替 n_eff（见 P10-4）。
4. Effective refractive index — n_eff(x,t)
   • Definition (def=) n_eff(x,t) def= the effective refractive index governing propagation along a path, paired with reference limit c_ref.
   • 到达时口径：
     1. 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
     2. 一般口径：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )
   • 约束：线积分必须显式 gamma(ell) 与 d ell（见 P10-2）。
5. Orientation — p(x,t)
   • Definition (def=) p(x,t) def= a unit-norm orientation vector field associated with local weave alignment.
   • 约束：|p(x,t)| = 1；作为 Thread 的必要字段（见 第2章）。

III. 路径与测度（规范定义）

1. Path — gamma(ell)
   • Definition (def=) gamma(ell) def= a piecewise C1 curve in R^3 parameterized by arc length ell ∈ [0, L_gamma].
   • 组合与反向：gamma = gamma_1 ∘ gamma_2 表示首尾连接；gamma^-1(ell) = gamma(L_gamma - ell)。
   • 重参数不变性：若 ell = s(u) 单调，则 ∫_gamma f d ell = ∫ f(gamma(u)) (d s/ d u) d u，保持数值不变。
2. Measure — d ell
   • Definition (def=) d ell def= the line-element measure induced by arc length along gamma.
   • 分段表达：若 gamma = ⋃_k gamma_k，则 ∫_gamma f d ell = Σ_k ( ∫_{gamma_k} f d ell )。
3. Path length — L_gamma
   • Definition (def=) L_gamma def= ∫_gamma 1 d ell。
   • 路径平均：Definition (def=) avg_gamma[f] def= ( 1 / L_gamma ) * ( ∫_gamma f d ell )。

IV. 到达时表达（统一模板）

1. 标准定义：
   • Definition (def=) T_arr(gamma) def= ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )。
   • 常量外提形式：T_arr(gamma) = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_gamma n_eff d ell )。
2. 连接性质：若 gamma = gamma_1 ∘ gamma_2，则
   Identity T_arr(gamma) = T_arr(gamma_1) + T_arr(gamma_2)。
3. 差分与扰动：对小扰动 tilde_n_eff，一阶近似
   Approximation tilde_T_arr(gamma) approx ( ∫_gamma ( tilde_n_eff / c_ref ) d ell )。
4. 适用边界：c_ref 的选择与漂移校准见《Core.Metrology》；n_eff ↔ TensionPot/TensionGrad 的映射见《Core.Equations》。

V. 场-路径相容性规则（强制）

• 显式路径：凡出现 ∫ (...) d ell 必给出 gamma(ell) 与 d ell（见 P10-2）。
• 符号隔离：到达时仅允许 n_eff 进入被积项；n、rho 等不得替代。
• 量纲守恒：[T_arr] = [T]；使用 check_dim(expr) 验证 n_eff/c_ref 的量纲为 [T L^-1] 与 d ell 的 [L] 相消。
• 统计口径：沿时间或体的平均需标注窗口与域，如 avg_t[n_eff; Δt]、avg_V[rho]；沿路径的平均使用 avg_gamma[·]。
• 冲突名：T_fil 与 T_trans 严禁混用；n 与 n_eff 严禁混用（见 P10-4）。

VI. 典型表达模板（可直接复用）

• 路径平均有效折射率：avg_gamma[n_eff] = ( 1 / L_gamma ) * ( ∫_gamma n_eff d ell )。
• 分段路径到达时：T_arr = Σ_k ( ∫_{gamma_k} ( n_eff / c_ref ) d ell )。
• 近场张度-路径耦合占位（映射由他卷给出）：n_eff(x,t) def= F( T_fil(x,t), TensionGrad(x,t), ...)（F 的形态见《Core.Equations》）。

VII. 常见误用与修正

• 误：T_arr = ∫ n_eff d ell / c
  正：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )（括号齐全，显式 c_ref）。
• 误：∫ n_eff dl（未命名路径，测度不合规）
  正：∫_gamma n_eff d ell，并在上下文定义 gamma(ell) 与 L_gamma。
• 误：T_arr = ( ∫ ( n / c_ref ) d ell )
  正：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )（n 与 n_eff 不可互换）。

VIII. 与实现绑定的接口对接

• 表达式校验：使用 validate_expr(expr:str, allowed:set[str]) -> bool 确保仅包含允许的标识符与算子（见 I10-4）。
• 到达时计算：arrival_time(n_eff_path:list[float], ds:list[float], c_ref:float) -> float 实现 T_arr(gamma) 的离散求值（见 I10-5）。
• 单位注册：register_unit(...) 与 check_dim(expr) 保证量纲一致（见 I10-3）。

IX. 快速检查清单

• 所有线积分是否显式 gamma(ell) 与 d ell，并遵循括号规则。
• 是否严格使用 n_eff（而非 n）进入到达时表达，且 c_ref 已明示。
• 是否给出 L_gamma 与必要的分段或连接说明。
• 是否通过 check_dim 校验量纲一致性。
• 是否避免 T_fil/T_trans、n/n_eff 的混用，并遵守 P10-4。

本章小结
本章以统一的术语与路径口径，完成了 T_fil(x,t)、rho(x,t)、n_eff(x,t) 与 gamma(ell)、d ell 的规范化定义，给出了到达时 T_arr(gamma) 的标准表达与模板，并明确了量纲、统计与实现层的对接要求。后续章节将基于本章口径展开常量与基准、算符与统计及单位与无量纲化的完整规范。