10-EFT.WP.Core.Tension v1.0 | 第1章 张力与几何基础

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第1章 张力与几何基础

I. 概念与域

• 对象与载体：线元（filament/rod）、膜/界面（surface）、体（solid）。对应场量为 T_fil(ell,t)（N）、sigma_s(x,t)（N/m）、sigma_ij(x,t)（Pa）。
• 路径与参数：gamma(ell) 为弧长参数化路径，ell ∈ [0, L_gamma]，其中 L_gamma = ( ∫ 1 d ell )。
• 正切与法向：t_hat(ell) = d gamma / d ell / | d gamma / d ell |，n_hat 为指定截面或边界的单位法向。
• 线密度与材料：rho_m（kg/m^3），A(ell)（m^2），rho_l(ell) = rho_m(ell) * A(ell)（kg/m）。位移场 u(x,t)。

II. 几何与测度（路径/曲面/体）

• 路径测度：沿线积分一律显式 d ell，如 ( ∫_Gamma T_fil d ell )，并指明路径 Gamma = { gamma(ell) }。
• 面测度：跨膜/界面以 dA，如 ( ∫_S sigma_s dA )，S 为参数化曲面域。
• 体测度：体内以 dV，如 ( ∫_V sigma_ij dV )，必要时声明基测度 mu。
• 变量变换：若以一般参数 s 标注曲线，需给出雅可比 | d ell / ds |，如 ( ∫ T_fil( ell(s) ) * | d ell / ds | ds )。
• 公设 P71-1（measure 显式）：凡出现积分号 ∫ 必同时指明积分域与测度元（d ell/dA/dV）；涉及路径的量必须显式给出 gamma(ell)。

III. 单位与量纲守恒

1. 量纲基线：[T_fil]=N，[sigma_s]=N/m，[sigma_ij]=Pa，[rho_l]=kg/m，[c]=m/s，[Z]=kg/s。
2. 守恒规则：任何推导与实现发布前必须通过 check_dim(expr)；禁止将无量纲的比值（如 T_trans）与具量纲张力 T_fil 混写。
3. 典型核查示例：
   • ( ∫ rho_l d ell ) 的量纲为 kg；
   • ( ∫ T_fil * ∂_ell u d ell ) 的量纲为 J。
4. 公设 P71-2（unit/dim 守恒）：推导链条中每一项须保持量纲一致，跨域映射必须伴随单位变换说明 unit(x) 与 dim(x)。

IV. 线/面/体载体与内力映射

• 轴向内力（从体应力到线张力）：
  定义：令截面法向与轴向一致 n_hat = t_hat，则截面合力 N = ( ∫_A sigma · n_hat dA )，线张力定义为 T_fil = N · t_hat。
• 膜张力与边界环：
  边界合力：F_edge = ( ∮_∂S sigma_s * t_edge ds )，其中 t_edge 为边界切向。
• 体→面→线的降维映射需注明截面/接触几何、法向方向与测度元，避免方向与测度混叠。

V. 边界、牵引与条件类型

• Dirichlet（位移）：在端点或边界给定 u = u_bar（m）。
• Neumann（牵引/力）：线端给定端力 T_end（N）；膜边界给定线力密度 tau_edge（N/m）。
• Robin（混合）：alpha * u + beta * t = g，单位依 alpha,beta 选择保持一致。
• 公设 P71-3（边界条件显式）：边界类型、方向、单位与几何支承必须同时给出，牵引类边界应附测度元与积分域说明。

VI. 一维切向平衡（最小方程）

• 最小方程 S72-1（切向平衡）：∂_ell T_fil(ell,t) + q_tan(ell,t) = 0，其中 q_tan 为沿 t_hat 的分布载荷（N/m）。
• 扩展体积力映射：若有体力密度 b(x,t)（N/m^3），其线向投影满足 q_tan = ( ∫_A b · t_hat dA )。
• 注：该式适用于小变形下的轴向内力平衡；若存在几何非线性，应在第2章采用增量或全量形式替代。

VII. 由几何到动力学的基线量

1. 线密度：rho_l(ell) = rho_m(ell) * A(ell)。
2. 均匀弦波速：c = sqrt( T0 / rho_l )（T0 为恒张力）。
3. 机械阻抗（行波）：Z = rho_l * c。
4. 到达时锚点（跨卷一致）：
   • 常量外提口径：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
   • 一般口径：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )
   • 形态差：delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |

VIII. 规范化书写范例（发布可复用片段）

• 线质量（任意子区间 [a,b]）：m_[a,b] = ( ∫_a^b rho_l(ell) d ell )
• 轴向应变能：U_axial = ( ∫_0^{L_gamma} ( T_fil(ell) * ( ∂_ell u(ell) ) / 2 ) d ell )
• 线功输入：W_input = ( ∫_0^{L_gamma} T_fil(ell) * ∂_ell u(ell) d ell )
• 应力到张力（定义重述）：T_fil(ell,t) = ( ( ∫_{A(ell)} sigma(x,t) · n_hat dA ) · t_hat )

IX. 交叉引用与一致性锚点

• 质量与密度符号与《EFT.WP.Core.Density v1.0》保持一致：rho_m、rho_l、n_eff、T_arr（见 该卷附录A 与第9章）。
• 频谱与窗函数度量与《Core.Sea》一致：S_xx(f)、U_w、ENBW_Hz。
• 线程时间基准与到达时采样语义与《Core.Threads》第3章一致。
• 跨卷引用固定写法：见 配套白皮书《能量丝》 第x章 S/P/M/I…；本章重点锚点为 P71-* 与 S72-1。

X. 发布检查清单（Mx-70 几何-测度-单位审计）

• 已明确 gamma(ell)、L_gamma、测度元（d ell/dA/dV）与积分域。
• 所有式子通过 check_dim(expr)；T_fil、sigma_s、sigma_ij 单位无误。
• 端部与边界条件以 Dirichlet/Neumann/Robin 分类并给出物理含义与单位。
• 如出现到达时用于标定或识别，已同时报告两口径与 delta_form。
• 若从体应力还原到线张力，已声明截面法向、降维积分与方向投影。

术语与编号回顾（供后续章节复用）

• P71-1：measure 显式；P71-2：unit/dim 守恒；P71-3：边界条件显式。
• S72-1：∂_ell T_fil + q_tan = 0（切向平衡）。
• 基本定义：gamma(ell)、L_gamma、t_hat、n_hat、rho_l = rho_m * A、T_fil、sigma_s、sigma_ij、c = sqrt( T0 / rho_l )、Z = rho_l * c、T_arr 两口径与 delta_form。