10-EFT.WP.Core.Tension v1.0 | 第2章 线元平衡与本构

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第2章 线元平衡与本构

I. 适用范围与基线假设

• 对象：细长线元（rod/filament），主导轴向响应；横向弯曲与剪切不为主线，必要时以等效轴向载荷近似。
• 几何：路径 gamma(ell)，弧长 ell ∈ [0, L_gamma]，单位切向 t_hat(ell)，测度 d ell。
• 物性：截面 A(ell)，材料模量 E(ell)，体密度 rho_m(ell)，线密度 rho_l(ell) = rho_m(ell) * A(ell)。
• 载荷：分布载荷沿切向分量 q_tan(ell)（N/m），端部力 T_end（N），体力密度 b(x)（N/m^3）通过截面投影得到 q_tan = ( ∫_A b · t_hat dA )。
• 与第1章一致的最小平衡式回顾：S72-1 : ∂_ell T_fil(ell,t) + q_tan(ell,t) = 0。

II. 轴向小变形本构与应变定义

• 轴向位移 u(ell)，小应变定义 epsilon(ell) = ∂_ell u(ell)。
• 线张力与应变（Hooke 一维形式）：
  S72-2 : T_fil(ell) = E(ell) * A(ell) * epsilon(ell)
• 温度与预拉修正（可选）：
  线性热应变 epsilon_T = alpha(ell) * ΔT(ell)，等效 T_fil = E A ( epsilon - epsilon_T ) + T_pre。
• 粘弹近似（Kelvin-Voigt，可选）：T_fil = A * ( E * epsilon + eta * ∂_t epsilon )，其中 eta 为黏性系数（Pa·s）。

III. 静力求解的一般过程（Mx-71 静力求解与校核）

• 明确路径 gamma(ell)、测度 d ell、物性 E(ell), A(ell) 与载荷 q_tan(ell)。
• 由 S72-1 得到内力场：T_fil(ell) = C0 - ( ∫_0^ell q_tan(s) ds )，常数 C0 由边界条件或端部力给定。
• 由 S72-2 得到应变：epsilon(ell) = T_fil(ell) / ( E(ell) * A(ell) )。
• 位移场：u(ell) = C1 + ( ∫_0^ell [ T_fil(s) / ( E(s) * A(s) ) ] ds )，常数 C1 由位移类边界条件确定。
• 校核单位与量纲：[T_fil]=N，[epsilon]=1，[u]=m；通过 check_dim(expr)。
• 守恒与等效性检查：端部功与应变能一致性 ( ∫ T_fil * ∂_ell u d ell )。

IV. 边界条件与求解闭合

• Dirichlet：u(0)=u0 或 u(L_gamma)=uL。
• Neumann：T_fil(0)=T0 或 T_fil(L_gamma)=TL。
• Robin：alpha * u + beta * T_fil = g（沿 t_hat），单位需与 alpha,beta,g 一致。
• 端部平衡与几何支承须与第1章 P71-3 保持一致。

V. 空间变截面与分段材料的处理

1. 变截面公式保持不变，只是积分核发生空间变化：
   • epsilon(ell) = T_fil(ell) / ( E(ell) * A(ell) )
   • u(ell) = C1 + ( ∫_0^ell [ T_fil(s) / ( E(s) * A(s) ) ] ds )
2. 分段常数情形：将区间分解为 {[ell_k, ell_{k+1}]}，在每段上用对应的 E_k, A_k 积分并在节点处施加位移与力的连续性。

VI. 悬链线与自重效应（轴向主导近似）

• 线重 w(ell) = rho_l(ell) * g（N/m），取竖直方向为 y，水平张力分量 H 近似常数。
• 经典解（均匀 w，小挠度外的几何非线性）：y(x) = y0 + a * cosh( ( x - x0 ) / a )，其中 a = H / w。
• 总张力幅值：|T_fil(x)| = sqrt( H^2 + ( w * s(x) )^2 )，s(x) 为沿水平量距；工程上以 H 作为设计控制量并据此核对最大应变 epsilon_max = |T_max| / ( E A )。

VII. 体力、温度与预应力的等效载荷写法

• 体力到线载：q_tan = ( ∫_A b · t_hat dA )；重力 b = [0,0,-rho_m g] 则 q_tan 由路径方向与重力夹角决定。
• 温度场：epsilon_T = alpha * ΔT；等效内力修正 ΔT_fil = - E A epsilon_T。
• 预应力/预拉：生产或安装态给定 T_pre，作为 C0 的边界约束或初始内力场。

VIII. 误差与不确定度传播（与《Core.Density》第10章一致）

• 参数不确定度：E, A, rho_l, q_tan 的协方差通过 Delta 方法近似传播至 T_fil 与 u：
  cov( u(ell) ) ≈ J_u * cov(theta) * J_u^T，其中 theta = [E, A, ...]，J_u = ∂u/∂theta。
• Fisher 信息与 CRLB（张力识别将于第9章展开）保持与 S72-15/16 一致口径。

IX. 与到达时标定的衔接（跨卷一致）

• 若以波速反推等效恒张力 T0（见第4章），使用
  c = L_gamma / T_arr 与 T0 = rho_l * c^2
• 强制记录两口径差异：
  delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |
• 仅当静力解与由 T_arr 推得的 T0 在容差内一致，方可作为校准通过。

X. 工程化实现绑定（I70 2 摘要）

• tension_static(path, loads, bc, law="hooke") -> TensionFieldRef：实现 S72-1 与 S72-2 的求解器；支持分段 E,A 与温度修正。
• stress_to_tension(sigma, A, orientation) -> float：体/面应力到线张力的降维映射，需提供 orientation 以确定 t_hat 与 n_hat。
• 输出元数据：必须回填测度与单位，校核 check_dim(expr)，并记录边界条件、常数 C0,C1 与误差预算。

XI. 发布审校清单（Mx-71-CHK）

• 明确 gamma(ell)、d ell、E(ell)、A(ell)、rho_l(ell)、q_tan(ell) 与边界条件。
• 给出 T_fil(ell)、epsilon(ell)、u(ell) 的闭式或数值表达，附常数求解依据。
• 通过能量一致性 ( ∫ T_fil * ∂_ell u d ell ) 与端部功平衡复核。
• 如涉及温度/体力/预拉，给出等效写法并完成单位审计。
• 如使用到达时参与校准，按本章 IX 完成 delta_form 记录并与静力结果对比。

术语与编号回顾（复用锚点）

• 公设：P71-1（measure 显式）、P71-2（unit/dim 守恒）、P71-3（边界条件显式）。
• 最小方程：S72-1（切向平衡）、S72-2（Hooke 线张力）。
• 关联式：rho_l = rho_m * A、q_tan = ( ∫_A b · t_hat dA )、u(ell) = ( ∫ T_fil / (E A) d ell )、c = L_gamma / T_arr、T0 = rho_l * c^2、delta_form。