I. 适用范围与基线假设
- 对象：薄膜/界面（二维载体），以表面张力 sigma_s(x,t) 主导；可含三相接触线与曲率效应。
- 几何：曲面 S，单位法向 n_hat(x)，表面度量与测度 dA，主曲率 kappa1,kappa2，曲率和 kappa = kappa1 + kappa2。
- 物性：均匀/非均匀 sigma_s(x,t)（N/m）；相间界面用 sigma_ab 表示；必要时引入接触线张力 lambda_cl（N）。
- 约束：小斜率近似用于线性化推导；若使用大变形，需在变形/参考配置间明确映射（见 P71-1 与小/大变形口径约束）。
II. 定义、单位与能量函数
- 表面张力（单位 N/m）：sigma_s(x,t)。
- 界面能量：E_surf = ( ∫_S sigma_s dA )。
- 若 sigma_s 空间变化（温度/浓度梯度），表面应力发散给出表面等效体力：
- 切向 Marangoni 力：f_tan = ∇_s sigma_s。
- 法向曲率力：f_norm = sigma_s * kappa * n_hat。
- 闭合曲面与有边界曲面需分别处理边界项 ∮_C sigma_s t_hat d ell。
III. Young–Laplace 与三相接触角（最小方程）
- 压差—曲率关系（均匀 sigma_s）：
S72-3 : Δp = sigma_s * ( kappa1 + kappa2 ) - 三相接触角（固/液/气，Young 关系的一致写法）：
S72-4 : sigma_sv = sigma_sl + sigma_lv * cos(theta_c) - 接触线张力修正（半径 r_cl）：
cos(theta_eff) = cos(theta_c) - ( lambda_cl / ( sigma_lv * r_cl ) )（近似小修正）。
IV. 平衡与变分骨架
- 总势能泛函（等温静态、内外压差 Δp）：
Pi[S] = ( ∫_S sigma_s dA ) - ( ∫_V Δp dV ) - 一阶变分给出欧拉–拉格朗日方程与边界条件：
- 面内：div_s( sigma_s P_s ) + Δp * n_hat = 0，P_s 为表面投影算子。
- 等价标量形（均匀 sigma_s）：sigma_s * kappa = Δp，与 S72-3 一致。
- 边界：( sigma_s * kappa_g ) * n_g + ( ∇_s sigma_s )_⊥ + traction_ext = 0，kappa_g 为边界曲率，n_g 为边界法向于曲面内方向。
V. 几何与曲率算子（计量对齐）
- 主曲率定义：kappa1,kappa2 为第二基本形式主值；曲率和 kappa = kappa1 + kappa2，高斯曲率 K_G = kappa1 * kappa2。
- 小斜率图形下（高度场 h(x,y)）：
kappa ≈ ∂_xx h + ∂_yy h（忽略二阶项）；必要时使用 kappa = div( ∇h / sqrt(1 + |∇h|^2) )。 - 线积分与环路：
边界力：F_C = ( ∮_C sigma_s t_hat d ell )；须与曲面内法向与外部载荷平衡。
VI. 非均匀表面张力与 Marangoni 驱动
- 若 sigma_s = sigma_s(T,c)，则
∇_s sigma_s = ( ∂ sigma_s / ∂ T ) * ∇_s T + ( ∂ sigma_s / ∂ c ) * ∇_s c - 流—力耦合的边界牵引（对下层流体）：
切向跳跃：( t_hat · ( tau_fluid^+ - tau_fluid^- ) · m_hat ) = ∇_s sigma_s · t_hat - 静态几何解需同时满足 S72-3 与切向应力平衡；单位审计见 P71-2。
VII. 接触线的矢量平衡与几何约束
- Neumann 三力矢量三角形（法向于接触线平面）：
sigma_lv * t_lv + sigma_sv * t_sv + sigma_sl * t_sl = 0 - 投影到固体表面法线方向即得 S72-4；投影到切向方向应与摩擦/钉扎模型闭合。
- 若考虑 lambda_cl，接触线曲率 kappa_cl 引入额外项：
f_line = lambda_cl * kappa_cl * n_line
VIII. 典型构型与解形
- 静滴（球冠近似）：半径 R = 2 * sigma_lv / Δp，接触角由 S72-4 给定。
- 最小曲面（Δp = 0）：kappa = 0，如膜面为 catenoid/Helicoid 等；边界由 ∮ sigma_s t_hat d ell 主导。
- 膜—框架系统：框架施加平均牵引 T_frame = ( ∮ sigma_s t_hat d ell ) / L_frame；与第2章端部张力核对。
IX. 数值实现与离散要点（Mx-72 曲面几何→压差与形状）
- 数据：曲面网格 {V,F}、区域 S、测度 dA、边界曲线 C、sigma_s(x) 与 Δp。
- 几何：计算离散曲率和 kappa（如基于 cotan-Laplacian），确保 ∑_f dA_f 与尺度一致。
- 方程：装配离散 sigma_s * kappa = Δp 或变分形式的欧拉方程；非均匀张力加入 ∇_s sigma_s。
- 边界：对 C 实施几何/力边界条件（定形、定力或 Robin 型）；显式保留 d ell。
- 校核：总力平衡、能量一致性 E_surf - ( ∫_V Δp dV )、单位与量纲审计（check_dim(expr)）。
- 输出：形状 S*、压差残差、边界反力、delta_form（若与到达时基准交叉使用）。
X. 与跨卷锚点的对齐
- 到达时参量（如采用到达时对膜波形进行时轴对齐）必须记录：
- T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) 与 T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )
- delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |
- 频谱分析（波纹/毛细波见第4章）与《Core.Sea》之 S_xx(f) 保持符号口径一致。
XI. 工程化接口绑定（I70 4 摘要）
- young_laplace(sigma_s, kappa1, kappa2) -> float：返回 Δp，对应 S72-3。
- capillary_wave_dispersion(sigma_s, rho, k, g) -> float：返回 omega；用于第4章动态分析与附录验证。
- 元数据：记录测度 dA,d ell、单位（N/m、Pa、m）与边界类型；校核 P71-1/2/3。
XII. 发布审校清单（Mx-72-CHK）
- 明确 S,C、测度 dA,d ell、sigma_s(x)、Δp 与边界类型。
- 给出 S72-3 与 S72-4 的适用性说明与符号方向；在非均匀张力时列出 ∇_s sigma_s。
- 数值解：残差、能量与单位审计通过；边界反力与环积分一致。
- 若跨用到达时基准，填写 delta_form 并记录参照 c_ref,n_eff 的来源与不确定度。
- 归档：网格/结果/元数据的版本与哈希；与附录B 数据格式一致。
术语与编号回顾（复用锚点）
- 最小方程：S72-3 : Δp = sigma_s * ( kappa1 + kappa2 )；S72-4 : sigma_sv = sigma_sl + sigma_lv * cos(theta_c)。
- 能量与力：E_surf = ( ∫_S sigma_s dA )，f_tan = ∇_s sigma_s，f_norm = sigma_s * kappa * n_hat，F_C = ( ∮_C sigma_s t_hat d ell )。
- 接触线修正：cos(theta_eff) = cos(theta_c) - ( lambda_cl / ( sigma_lv * r_cl ) )。
- 跨卷锚点：T_arr 两口径与 delta_form；频谱 S_xx(f) 对齐。