10-EFT.WP.Core.Tension v1.0 | 第4章 动态张力与波

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第4章 动态张力与波

I. 适用范围与模型层级

• 对象：一维线元 gamma(ell) 上的小挠度横向振动 u(ell,t)，张力场 T_fil(ell,t)，线密度 rho_l(ell)，分布载荷 q(ell,t)。
• 层级：均匀弦（T_fil = T0，rho_l = const）、缓变非均匀弦（T_fil(ell) 或 rho_l(ell) 缓变）、含粘性/结构阻尼的弱耗散系统。
• 测度：弧长测度 d ell；路径长度 L_gamma = ( ∫ 1 d ell )；边界以 ell=0 与 ell=L_gamma 表示。

II. 动力学基本式与边界条件

1. 线元横向动平衡（最小方程）：
   S72-5 : rho_l(ell) * ∂_tt u = ∂_ell( T_fil(ell,t) * ∂_ell u ) + q(ell,t)
2. 均匀与准静张力近似：T_fil(ell,t) ≈ T0 时化为标准波动方程 rho_l * ∂_tt u = T0 * ∂_ell ell u。
3. 边界条件三类（需标注物理量与单位）：
   • Dirichlet：u |_{∂} = u_bar（位移约束）
   • Neumann：( T_fil * ∂_ell u ) |_{∂} = T_bar（端牵引）
   • Robin：alpha * u + beta * ( T_fil * ∂_ell u ) = g（混合）

III. 均匀弦解析：行波、模态与速度

1. 行波解（D’Alembert）：
   u(ell,t) = f( ell - c t ) + g( ell + c t )
2. 波速与张力—密度关系（均匀弦）：
   S72-6 : c = sqrt( T0 / rho_l )
3. 固支—固支模态频率与识别关系：
   • f_n = ( n / ( 2 * L_gamma ) ) * c
   • T0 = rho_l * ( 2 * L_gamma * f_n / n )^2
4. 固支—自由端近似：f_n = ( (2n - 1) / ( 4 * L_gamma ) ) * c

IV. 非均匀张力与缓变近似

1. 局部相速度：c(ell) = sqrt( T_fil(ell) / rho_l(ell) )
2. WKB 相位与包络（缓变介质）：
   • 相位函数 phi(ell) = ( ∫ ( d ell / c(ell) ) )，近似解 u(ell,t) ≈ A(ell) * cos( omega * t - omega * phi(ell) )
   • 幅值守恒（无耗）：A(ell) * sqrt( Z(ell) ) = const，Z(ell) = rho_l(ell) * c(ell)
3. 到达时沿线积分：T_toa(path) = ( ∫ ( d ell / c(ell) ) )，与第八节 T_arr 标定一致。

V. 阻尼与外激励（弱耗）

• Kelvin–Voigt 线性阻尼（广义构型）：
  rho_l * ∂_tt u = ∂_ell( T0 * ∂_ell u + eta * ∂_t ∂_ell u ) + q
• 等效粘滞项 eta 的单位为 N*s；频域增益随 omega 呈一阶低通衰减。
• 谐波稳态驱动 q = Q0 * cos( omega t )：
  频响函数 H(omega) = U(omega) / Q0 由边界与阻尼共同决定，应报告谱域口径与 S_xx(f) 一致（见《Core.Sea》）。

VI. 能量、功率与机械阻抗

1. 能量密度与流：
   • e = ( 1 / 2 ) * [ rho_l * ( ∂_t u )^2 + T0 * ( ∂_ell u )^2 ]
   • P_flow = - T0 * ( ∂_ell u ) * ( ∂_t u )（沿 +ell 方向为负号时表示能量流向正向）
2. 机械阻抗（行波）：
   Z = rho_l * c
3. 无损界面功率守恒与反射/透射系数用法见第6章 S72-9 至 S72-11；本章仅在均匀—均匀连接的行波近似下使用 Z 做端接与匹配。

VII. 色散与有效刚度（可选扩展）

• 若线元存在弯曲刚度 B（单位 N*m^2），小挠度色散关系近似：
  omega^2 = c^2 * k^2 + ( B / rho_l ) * k^4
• 高频段群速度 v_g = ∂ omega / ∂ k 非常数；到达时估计需限定频带并报告 ENBW_Hz 与窗功率 U_w（见《Core.Sea》）。

VIII. 到达时—速度—张力标定（Mx-73）

1. 采集波形与路径：给出 gamma(ell)、L_gamma = ( ∫ 1 d ell )，并执行时间基准对齐。
2. 到达时两口径（跨卷统一）：
   • 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
   • 一般口径：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )
   • 记录 delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |
3. 估计相速度：c_hat = L_gamma / T_arr；必要时做频带限制与群速度修正。
4. 回推张力：T_hat = rho_l * c_hat^2
5. 审计与报出：单位审计、到达时口径差、测度与边界条件说明；与第8章归一化一致。

IX. 频谱法识别与不确定度要点

• 模态法：从 f_n 回推 T0，并计算 cov(T0) 需调用第9章 Fisher/CRLB 口径。
• 频谱密度：S_xx(f) 的单侧定义与《Core.Sea》一致；报告 ENBW_Hz 与 U_w，避免能量偏差。
• 时频分析：用 STFT 识别瞬时频率 f_inst(t)；通过 c(t) = ( 2 * L_gamma / n ) * f_n(t) 估计慢变张力。

X. 边界、反射与脉冲传播

• 固支端反射相位翻转；自由端反射同相；等效阻抗端接 Z_L 的反射系数幅度 r_amp = ( Z_L - Z ) / ( Z_L + Z )（参见第6章 S72-9）。
• 多次反射的到达时列序：t_k ≈ ( 2k - 1 ) * ( L_gamma / c ) 或 t_k ≈ ( 2k ) * ( L_gamma / c )，取决于端型；需给出端型说明与测度。

XI. 数值离散与稳态验证（与第7章口径一致）

• 显式中心差分（CFL 约束）：Δt ≤ CFL * ( Δell / c_max )（参见 S72-12）。
• 能量核查：离散能量 E^n 单调受阻尼衰减；无阻尼时满足数值能量近似守恒。
• 网格策略：在 c(ell) 剧烈变化处加密 Δell，以控制相位误差；坚持显式报告 d ell。

XII. 工程化接口绑定（I70 3 与 I70 6）

• string_wave_solve(path,T,rho_l,bc,damping) -> WaveRef：求解 S72-5 并返回行波/模态对象、到达时估计与能量核查。
• estimate_tension_from_modes(freqs,L,rho_l) -> float：基于模态公式反推 T_fil。
• calibrate_tension_by_toa(trace,L_gamma,rho_l,n_eff,c_ref) -> float：执行第八节 Mx-73，强制记录 delta_form 并对齐到达时两口径。

XIII. 发布审校清单（Mx-73-CHK）

• 明确 gamma(ell)、测度 d ell、L_gamma、rho_l、边界类型与 q(ell,t)。
• 报告 S72-5 所用近似（均匀/缓变/阻尼），并给出单位审计（N、kg/m、m/s、Pa）。
• 若使用到达时法，给出两口径 T_arr 与 delta_form；说明 n_eff 与 c_ref 来源。
• 频谱分析结果需附 ENBW_Hz、U_w、窗函数与采样率；与《Core.Sea》符号一致。
• 数值解需附能量核查、CFL 约束、网格与时间步信息；可重现实验与数据哈希。

术语与锚点回顾

• 最小方程：S72-5 : rho_l * ∂_tt u = ∂_ell( T_fil * ∂_ell u ) + q
• 速度—张力关系：S72-6 : c = sqrt( T0 / rho_l )
• 路径与长度：gamma(ell)，L_gamma = ( ∫ 1 d ell )
• 阻抗与功率：Z = rho_l * c，P_flow = - T0 * ( ∂_ell u ) * ( ∂_t u )
• 到达时两口径与差异：T_arr 两式与 delta_form（与《Core.Density》第9章一致）
• 频谱口径：S_xx(f)、ENBW_Hz、U_w（与《Core.Sea》一致）