10-EFT.WP.Core.Tension v1.0 | 第5章 连接、分叉与网络

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第5章 连接、分叉与网络

I. 范围与对象

• 对象：由多段线元 gamma_e(ell) 构成的张力网络，结点集合 N、边集合 E，小挠度标量位移场 u(ell,t) 与边向量位移 u_n（结点处）。
• 目标：在静力与弱动力耦合下，给出分叉与网络中的张力分配、兼容条件与能量一致性；建立求解流程 Mx-74 与接口 I70 5 的绑定。
• 测度：每条边以弧长 ell 计，L_e = ( ∫_{edge e} 1 d ell )，结点平衡在无量纲方向余弦与单位切向 t_hat_e(n) 下表述。

II. 结点平衡最小方程

• 张力矢量在结点的平衡（无耗、准静）：
  S72-7 : ∑_{e ∈ star(n)} T_e * t_hat_e(n) + f_ext(n) = 0
• 记号：star(n) 为与结点 n 相连的边集；T_e 为边 e 的标量张力，沿 t_hat_e 指向外；f_ext(n) 为结点外载（N）。
• 边界：若结点为受控位移（Dirichlet），用位移兼容代替该结点的平衡；若为牵引端（Neumann），f_ext(n) 含端部牵引。

III. 边—结图模型与代数结构

1. 有向图与关联矩阵：
   • 定义结点—边关联矩阵 B ∈ R^{|N|×|E|}，若边 e 指向结点 n 则 B_{n e} = +1，若远离则 B_{n e} = -1，不相连则为 0。
   • 结点力学写为 B * T_vec + f_ext_vec = 0，其中 T_vec = [ T_e * t_hat_e ] 以分量方式拼接（各边在全局坐标下的分量）。
2. 兼容条件（小变形）：
   • 每条边的轴向伸长 Δ_e = ( u_j - u_i ) · t_hat_e，其中 i,j 为边 e 的起止结点。
   • 线应变近似 epsilon_e = Δ_e / L_e；Hooke 近似 T_e = E_e * A_e * epsilon_e。

IV. 静力分配：串联与并联等效

1. 串联规则（等轴力）：
   • 对路径 p = { e_1, e_2, ... }，在无外支路载荷且仅端部受力时，T_{e_k} = T_path，总伸长 Δ_p = ∑ ( T_path * L_{e_k} / ( E_{e_k} * A_{e_k} ) )。
   • 等效刚度 k_eq^{-1} = ∑ ( L_{e_k} / ( E_{e_k} * A_{e_k} ) )。
2. 并联规则（等位移差）：
   • 多条并联边连接相同两结点且共享端部位移差 Δ，则 T_e = k_e * Δ，k_e = E_e * A_e / L_e，总力 T_sum = ∑ k_e * Δ。
   • 分配比 T_e / T_sum = k_e / ( ∑ k_m )。

V. 变形—张力关系与兼容方程组

• 边构成律（小变形）：
  T_e = ( E_e * A_e / L_e ) * ( ( u_j - u_i ) · t_hat_e )
• 组装得到线性系统（静力）：
  K * u = f，其中刚度矩阵 K = B * diag( k_e ) * B^T，k_e = E_e * A_e / L_e，右端 f 为等效外载（牵引和体载映射至结点）。
• 约束处理：
  Dirichlet 通过消元或拉格朗日乘子实现；Neumann 直接加到 f；Robin 形成结点阻抗项 alpha * u + beta * traction。

VI. 变分原理与能量一致性

• 路径能量（密度卷测度对齐）：
  S72-8 : path_energy = ( ∫ ( T_fil * ( ∂_ell u )^2 / 2 ) d ell )
• 离散能量泛函：
  Π(u) = ∑_{e∈E} ( 1 / 2 ) * k_e * ( ( u_j - u_i ) · t_hat_e )^2 - ∑_{n∈N} f_ext(n) · u_n
• 平衡条件来自 ∂ Π / ∂ u = 0，与 III 节代数式等价；发布时需审计单位一致性（N、m、Pa、m^2）。

VII. 分叉结点的局部解与物理解释

1. 三通结示例（e=1,2,3 入结点）：
   • 力学：T_1 * t_hat_1 + T_2 * t_hat_2 + T_3 * t_hat_3 + f_ext = 0
   • 兼容：若结点位移为 u_n，边端位移满足 u_e(n) = u_n；若存在铰接或滑移约束，需明确切向与法向自由度。
2. 等角分叉的近似分配：
   当 E_e * A_e / L_e 相近且 t_hat_e 等角对称，零外载时 T_1 ≈ T_2 ≈ T_3；偏差由刚度与角度微扰主导。

VIII. 弱动力网络与等效集中参数

• 质量集总近似：
  结点质量 M_n = ( 1 / 2 ) * ∑_{e∈star(n)} rho_l,e * L_e，系统方程 M * ∂_tt u + C * ∂_t u + K * u = f(t)。
• 小阻尼比例模型：C = alpha_M * M + beta_K * K；模态与到达时检测参见第4章与第6章。
• 波在结点的近似连续条件与力学条件：
  位移连续 u；结点处轴力平衡 ∑ T_e * t_hat_e = 0；等效为多端口散射（反射/透射系数见第6章）。

IX. 路径与到达时：网络级时间标定

1. 路径族 P 与最短到达时：
   T_arr(p) = ( ∫_{gamma_p} ( d ell / c(ell) ) )，在无耗时取 T_arr,min = min_{p∈P} T_arr(p)。
2. 口径对齐（跨卷统一）：
   • 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
   • 一般口径：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )
   • 报告 delta_form 并注明所选路径 gamma_p 与测度 d ell。

X. 数值实现与稳定性要点（与第7章一致）

• 网格与几何：
  边上采用至少一阶等参单元；在 t_hat_e 或 k_e 剧烈变化处细化边划分。
• 条件数与预处理：
  网络中存在长细比与高并联度时，K 的条件数增大；建议使用块对角或多级预处理。
• 审计清单：
  报告 gamma_e、L_e、E_e、A_e、rho_l,e、边界类型与结点载荷；给出单位审计与能量平衡误差。

XI. 计量与不确定度传播

• 参数不确定度向张力的线性传播：
  cov(T_vec) ≈ J_Tθ * cov(θ) * J_Tθ^T，其中 θ = [ E_e, A_e, L_e, f_ext ]，J_Tθ = ∂ T_vec / ∂ θ。
• Fisher 与界：
  参见第9章 S72-15 与 S72-16，并在网络层合成信息量（独立边观测可近似加和）。

XII. 求解流程 Mx-74（网络解算与验证）

• 组装几何与材料：给出 gamma_e(ell)、L_e、t_hat_e、E_e、A_e、rho_l,e。
• 定义边界与载荷：标注 Dirichlet/Neumann/Robin，形成 f_ext_vec 与约束集合。
• 形成 B 与 k_e：构建 K = B * diag(k_e) * B^T，处理约束得到缩减系统。
• 求解 u 与回代 T_e：T_e = k_e * ( ( u_j - u_i ) · t_hat_e )。
• 校核 S72-7：对每个结点验证 ∑ T_e * t_hat_e + f_ext ≈ 0。
• 能量一致性：计算 Π(u) 与外功，核对 | Π - W_ext | / max(1,|W_ext|)。
• 动力扩展（可选）：若需要瞬态，构建 M,C，采用满足 S72-12 的时间步并追踪能量。
• 报告：单位、测度、误差、到达时路径与 delta_form（若涉及时标定）。

XIII. 接口绑定（I70 5 与相关）

• junction_solve(network, impedances, bc) -> NetRef：
  network 含 N,E,gamma_e,L_e,E_e,A_e,rho_l,e，bc 含边界与载荷；返回 u_n,T_e,checks。
• transmission_coeff(Z1,Z2) -> dict：
  用于第6章波动连接评估；在静力网络中仅作为端接等效条件的参数占位。
• 互操作：
  与 I70 2 的 tension_static 在单路径时等价；与 I70 3 的瞬态求解共享几何与质量数据。

XIV. 发布所需记录与跨卷锚点

• 必记符号：T_fil、sigma_s、sigma_ij、u、E、A、rho_l、Z、T_trans、R_ref、gamma(ell)、L_gamma。
• 跨卷一致：T_arr 两口径与 n_eff,c_ref（见《Core.Density》第9章）；谱量 S_xx(f)、ENBW_Hz、U_w（见《Core.Sea》）。
• 约束复核：T_trans 不与 T_fil 混用；所有 ∫ 明确 d ell 与路径 gamma(ell)。