10-EFT.WP.Core.Tension v1.0 | 第7章 离散化与数值稳定性

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第7章 离散化与数值稳定性

I. 范围与模型基线

• 模型基线：一维路径 gamma(ell) 上的张力波方程
  rho_l(ell) * ∂_tt u(ell,t) = ∂_ell( T_fil(ell) * ∂_ell u(ell,t) ) + q(ell,t)。
  量纲：[rho_l] = kg/m，[T_fil] = N，[u] = m，路径测度为 d ell。
• 数值对象：空间离散（FD/FEM/谱法）与时间步进（显式/隐式），边界条件一致实现，能量与稳定性核查。跨卷接口与《Core.Sea》频域处理、《Core.Density》测度规则对齐。

II. 空间离散（FD 口径）

• 网格与系数定位：节点 ell_i，间距 Δell_{i+1/2} = ell_{i+1} - ell_i，单元系数采用界面调和平均以保持牵引连续：
  T_{i+1/2} = ( 2 * T_i * T_{i+1} ) / ( T_i + T_{i+1} )，m_i = rho_l(ell_i) * Δell_i。
• 变系数通量形式（二阶中心）：
  A_i(u) = ( 1 / Δell_i ) * [ T_{i+1/2} * ( u_{i+1} - u_i ) / Δell_{i+1/2} - T_{i-1/2} * ( u_i - u_{i-1} ) / Δell_{i-1/2} ]。
  半离散系统：M * ü + K * u = f，其中 M = diag(m_i)，(K u)_i = -A_i(u)。
• 数值色散控制：对均匀网格与常系数，二阶 FD 的相速度误差为 O( ( k * Δell )^2 )，见第 VII 节。

III. 空间离散（FEM 口径）

• 弱式：
  ( ∫ rho_l * w * ∂_tt u d ell ) + ( ∫ T_fil * ∂_ell w * ∂_ell u d ell ) = ( ∫ w * q d ell ) + ( ∮ w * t_bar dΓ )。
• 单元组装：线性形函数 N(ell) 得
  M_e = ( ∫ rho_l * N^T * N d ell )，K_e = ( ∫ T_fil * ( ∂_ell N )^T * ( ∂_ell N ) d ell )，全局装配得 M ü + K u = f。
  质量处理：一致质量提升精度，块对角（lumped）质量便于显式时间步进与 CFL 评估。
• 等效牵引连续：若 T_fil 分段常数，使用界面通量数值积分或湍点配点可避免虚假反射。

IV. 时间离散与稳定性

• 显式中心差分（二阶，配合块对角质量）：
  u^{n+1} = 2 u^n - u^{n-1} + Δt^2 * M^{-1} * ( f^n - K u^n )。
  适用于大规模瞬态与均匀 CFL 受限场景。
• Newmark 家族（隐式/条件无关）：
  u^{n+1} = u^n + Δt * v^n + Δt^2 * [ ( 1/2 - beta ) * a^n + beta * a^{n+1} ]，
  v^{n+1} = v^n + Δt * [ ( 1 - gamma ) * a^n + gamma * a^{n+1} ]，
  取 gamma = 1/2, beta = 1/4 对线弹性无条件稳定。
• CFL 约束（显式）：
  S72-12 : Δt ≤ CFL * ( Δell / c_max )，其中 c_max = max_i sqrt( T_fil(ell_i) / rho_l(ell_i) )。
  非均匀网格可采用局部形式 Δt ≤ CFL * min_i ( Δell_i / c_i )，c_i = sqrt( T_fil(ell_i) / rho_l(ell_i) )。

V. 边界条件的离散实现

• Dirichlet（位移）：直接施加 u|_{Γ_D} = u_bar(t) 或惩罚法；注意时间插值一致性避免伪能量注入。
• Neumann（牵引）：在端点 ell = 0 处离散为
  T_{1/2} * ( u_1 - u_0 ) / Δell_{1/2} = t_bar(t)；另一端同理。
• Robin（混合）：α * u + β * T_fil * ∂_ell u = g(t)，在端点以一阶外推实现。
• 吸收边界（一阶无反射近似）：∂_t u ± c * ∂_ell u = 0，离散为
  u_0^{n+1} = u_0^n - ( c * Δt / Δell_{1/2} ) * ( u_1^n - u_0^n )（入射向右的端点）。
  频带外仍有残余反射，必要时使用渐变阻抗过渡段降低 R_ref。

VI. 能量一致性与数值阻尼

• 离散能量（无载、无耗）：
  E^n = ( 1 / 2 ) * ( ( v^n )^T * M * v^n + ( u^n )^T * K * u^n )，v^n = ( u^{n+1} - u^{n-1} ) / ( 2 * Δt )。
  采用中心差分与对称 K 时，E^n 在时间上振荡守恒（截断误差阶）。
• Rayleigh 阻尼：C = α * M + beta * K，能量耗散率
  dE/dt = - ( v^T * C * v ) ≤ 0，alpha 控制低频、beta 控制高频。
• 算法阻尼：HHT 与广义-α 方法可抑制高频伪振荡；报告 alpha_HHT 并核对模态幅值衰减。

VII. 数值色散与群时延

• 均匀网格、常系数、显式中心差分的色散关系：
  sin^2( ( ω * Δt ) / 2 ) = ( ( c * Δt ) / Δell )^2 * sin^2( ( k * Δell ) / 2 )。
  相速度误差：c_num / c = ( ( Δell / ( 2 * Δt ) ) * arcsin( ( c * Δt / Δell ) * sin( k * Δell / 2 ) ) ) / ( k / 2 )。
  设计建议：限制 k * Δell ≤ pi / 10 以将相位误差控制在亚百分点级。
• 网格过渡反射：在 T_fil,rho_l,Δell 发生阶跃处使用界面通量与阻抗匹配（调和平均与过渡层）可显著降低 R_ref。

VIII. 网格细化/粗化与跨层匹配（流程 Mx-76）

1. 触发判据：η_i = | ∂_ell^2 u | * Δell_i、| ∂_ell T_fil | / T_fil、以及局部 Courant 数 Co_i = c_i * Δt / Δell_i。设阈值 η_refine, η_coarsen, Co_max。
2. 细化/粗化操作：对满足 η_i > η_refine 的单元作二分，对 η_i < η_coarsen 的相邻单元作并并保持连续性。更新 Δell_i、节点坐标与拓扑。
3. 物理量转移（能量守恒优先）：
   • 质量守恒：m_child_sum = m_parent，m_i = rho_l_avg * Δell_i。
   • 位移插值：线性或二次重构 u_child = P * u_parent，牵引连续以界面通量约束校正。
   • 速度/动能：v_child = S * v_parent，使 ∑ ( 1/2 * m_i * v_i^2 ) 保持不增；必要时在新网格上解一次 M * a = f - K * u 同步加速度。
4. 界面一致性：单元界面采用 T_{i+1/2} 调和平均与几何过渡区（2–3 个单元）抑制数值反射。
5. 步长重评估：按 S72-12 重新计算 Δt_new 并在显式算法中即时生效（或采用子循环）。
6. 记录：写入网格版本、插值矩阵 P,S、Co_max 与能量差 ΔE = E_after - E_before。

IX. 误差度量与收敛性

• 误差范数：||e||_{L2} = ( ∫ | u - u_h |^2 d ell )^{1/2}，|e|_{H1} = ( ∫ | ∂_ell u - ∂_ell u_h |^2 d ell )^{1/2}。
  二阶 FD/线性 FEM 在光滑解下 L2 收敛阶约为 O( Δell^2 )，H1 半范数约为 O( Δell )。
• 回归基准：简谐模态、Riemann 问题（阶跃初值）、阻抗过渡层的反射系数 R_ref 与理论值对比。

X. 频域一致性与《Core.Sea》对齐

• 时频核对：对任一离散方案，输出速度谱满足
  S_vv(out,f) = | H_v( 2 * pi * f ) |^2 * S_vv(in,f)，需同时报告 ENBW_Hz 与 U_w。
• 到达时与群时延：若以 T_arr 标定，需记录两口径并给出
  delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |。

XI. 工程接口与实现提示

• 求解器接口（与 I70 3 对齐）：string_wave_solve(path, T, rho_l, bc, damping) -> WaveRef，内部提供显式与 Newmark 两套时间步进；网格自适应触发 Mx-76。
• 透射核查（与第6章）：网格跃迁处的有效阻抗 Z_eff = sqrt( T_fil * rho_l ) 应平滑过渡；结合 transmission_coeff(Z1,Z2) 验证 R_ref。
• QA 清单：CFL 报告、离散能量曲线、边界反射幅度、谱一致性（ENBW_Hz,U_w）、ΔE 与网格版本日志。

XII. 必记符号与跨卷锚点

• 必记符号：gamma(ell)、Δell、rho_l、T_fil、c、Z、M、K、C、u^n,v^n,a^n、CFL、E^n、R_ref、T_trans、ENBW_Hz、U_w、T_arr、n_eff、c_ref、delta_form。
• 规范重申：沿线积分与能量计算一律写作 ( ∫ ... d ell ) 并显式给出测度；T_fil（N）与 T_trans（无量纲功率比）不可混用。