11-EFT.WP.Core.DrawingKinetics v1.0 | 第7章 能谱与抖动建模

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第7章 能谱与抖动建模

I. 范围与目标

• 建立牵引过程关键可观测量（v(ts)、T_fil(ts)、s(ts) 等）的功率谱密度 S_xx(f)、窗口能量 U_w 与等效噪声带宽 ENBW 的统一口径。
• 定义时间域抖动与频域积分之间的等价关系，给出指标族与发布字段，支撑稳定性诊断（第6章）、控制策略以及回归门限。

II. 术语与符号

• 时间与采样：ts，Delta_ts，f_s = ( 1 / Delta_ts )，N，f_k = ( k * f_s / N )，f_N = ( f_s / 2 )。
• 窗口与能量：w[n]，U_w = ( 1 / N ) * sum_{n=0}^{N-1} ( w[n]^2 )，ENBW = f_s * ( sum w[n]^2 ) / ( sum w[n] )^2。
• 频谱：X_w[k] = sum_{n=0}^{N-1} ( w[n] * x[n] ) * exp( - i * 2 * pi * k * n / N )，S_xx(f_k) = ( 1 / ( U_w * f_s ) ) * | X_w[k] |^2。
• 互谱与相干：S_xy(f)，H_{y|x}(f) = S_{yx}(f) / S_{xx}(f)，C^2_{xy}(f) = | S_{xy}(f) |^2 / ( S_{xx}(f) * S_{yy}(f) )。
• 抖动与方差：带限均方 sigma_x^2( B ) = ( ∫_{B} S_xx(f) d f )，x ∈ { v, T_fil, s }。

III. 公设与最小方程

1. P11-6（时不变窗口内的弱平稳公设）
   在分析窗口 T_obs = N * Delta_ts 内，x(ts) 的二阶统计量近似时不变，可用 S_xx(f) 表征能量分布。
2. P11-7（时基一致性）
   一切频谱计算均在对齐后的 ts 上进行，满足 ts = alpha + beta * tau_mono（见第8章时基对齐），beta > 0。
3. 频域—时域等价（S12-10，Parseval/Plancherel 口径）
   • sigma_x^2 = ( 1 / T_obs ) * ( ∫_{0}^{f_N} 2 * S_xx(f) d f )（实信号单边谱）。
   • 若 x = s = ( d/dt ) ( ln( lambda ) )，则 sigma_{ln lambda}^2( B ) = ( ∫_{B} ( S_{ss}(f) / ( 2 * pi * f )^2 ) d f )。
4. 张力—速度互证（S12-11）
   • 在线性小扰动下，S_{TT}(f) = | H_{T|v}(f) |^2 * S_{vv}(f)，H_{T|v}(f) 由构成与边界（第4章、第5章）确定。
   • 相干约束：C^2_{Tv}(f) -> 1 时，张力抖动主要由速度扰动驱动。

IV. 数据与清单口径

1. 输入轨迹
   x(ts)，x ∈ { v, T_fil, s }；采样元数据 f_s,N,Delta_ts；窗口类型与参数 win.kind, win.param；去趋势方式 detrend。
2. 发布字段（逐窗口或逐段）
   • spec.S_xx(f_k)（单位 unit(x)^2 / Hz），spec.f_k，spec.U_w，spec.ENBW。
   • 带限抖动：spec.rms.[band] = sqrt( ∫_{band} S_xx(f) d f )。
   • 峰值与色散：spec.peak.f，spec.peak.S，spec.tonal_ratio = spec.peak.S / mean_band( S_xx )。
   • 互谱与相干（可选）：spec.H_{T|v}(f)，spec.C2_Tv(f)。
3. 量纲检查
   • check_dim( S_xx ) == unit(x)^2 / Hz；check_dim( U_w ) == 1；check_dim( ENBW ) == Hz。
   • 公差：eps_norm 与 eps_mass 继承第3章守恒门，谱—时域方差差异 | sigma_time^2 - sigma_spec^2 | / sigma_time^2 <= eps_spec。

V. 算法与实现绑定

1. I10-5 emit_metrics_drawing(state) -> dict（谱与抖动指标实现）
   • 时基与预处理：将 tau_mono 映射到 ts，执行 detrend（均值或线性趋势），选窗 w[n]。
   • 窗口能量与带宽：计算 U_w = ( 1 / N ) * sum w[n]^2，ENBW = f_s * ( sum w[n]^2 ) / ( sum w[n] )^2。
   • FFT 与标定：X_w[k] = sum ( w[n] * x[n] * exp( - i * 2 * pi * k * n / N ) )；S_xx(f_k) = ( 1 / ( U_w * f_s ) ) * | X_w[k] |^2（单边谱倍增除 k=0,N/2）。
   • 带限积分：对指定 bands = { [0,f_LF], [f1,f2], [f_HF,f_N] } 计算 rms。
   • 互谱可选：对 x=v 与 y=T_fil，估计 S_{vv},S_{TT},S_{Tv}，输出 H_{T|v},C^2_{Tv}。
   • 守恒与一致性核验：用 sigma_spec^2 和时间域方差比对；对 x=s，核验 sigma_{ln lambda}^2 的频域积分与时间域积分一致。
   • 返回：谱数组、带限 rms、峰值信息、U_w,ENBW、相干与传递函数（可选），以及 TS.spec.* 指标。
2. 推荐窗口
   低泄漏：hann；高分辨：blackman-harris；突发检测：tukey(alpha)。以 ENBW 报告有效带宽惩罚。

VI. 计量流程与运行图

• 同步：ts 对齐与缺失插补（第8章）。
• 预处理：去趋势、去量纲（必要时将 x 归一到参考尺度）。
• 选择窗口与重叠：win.kind、overlap；分段 N_seg 与 T_obs。
• 估计谱：Welch 或多段平均（提高方差效率），保留 U_w,ENBW。
• 互证：以第6章 k_peak 对应频率带检查 spec.peak.f 是否一致。
• 发布：写入清单与图片工件，执行 gate.spec.* 与守恒门。

VII. 验证与测试矩阵

1. 最小必测
   • 白噪声输入：验证 S_xx(f) 平坦且幅值随 ENBW 标定正确。
   • 单音信号 x = A * sin( 2 * pi * f0 * ts )：验证峰值落在 f0，tonal_ratio 超过阈值，积分方差回收 A^2 / 2。
   • 阶跃—斜坡组合：验证低频带限 rms 主导，spec.peak.f 低移。
   • Maxwell 粘弹模型合成：比较 S_{TT}(f) 与 | H_{T|v}(f) |^2 * S_{vv}(f) 的残差。
   • 多段平均：随段数增加，谱方差按 1 / N_seg 收敛。
2. 极端与边界
   近奈奎斯特窄带噪声、强泄漏窄窗、重采样误差、饱和与量化噪声；对每项给出预期偏差方向与回退策略（扩大窗口、增采样、加前置滤波）。

VIII. 交叉引用与依赖

• 第2章：s = ( d/dt ) ( ln( lambda ) ) 与 gamma(ell) 上的映射，定义谱标的。
• 第4章：构成 T_fil 与传递函数 H_{T|v}(f) 的来源。
• 第5章：边界阻抗与卷绕频率对谱峰的调制。
• 第6章：k_peak ↔ spec.peak.f 的互证与失稳带定位。
• 《Core.Sea》：时间基准；《Core.Metrology》：窗口、带宽与不确定度；《Core.Errors》：谱域门限的误报/漏报成本；《Core.DataSpec》：入湖字段。

IX. 风险、限制与开放问题

• 非平稳强突发导致弱平稳假设失效；需要时频或小波能量密度扩展。
• 窗口泄漏与边界效应会低估窄带峰值；使用 ENBW 与频率插值修正但仍存在上界偏差。
• 构成非线性使 H_{T|v}(f) 随幅值变化；需引入分段线性或自适应辨识。
• 采样抖动与时基不确定度将引入高频伪谱；必须在第8章流程中统一校准。

X. 交付件与版本管理

1. 产出件
   • psd_{x}.npz（含 f_k,S_xx,U_w,ENBW）、cpsd_{vT}.npz、spec_report.pdf（谱图、带限 rms、峰值与相干）。
   • 指标与门限文件：TS.spec.*、gate.spec.rms_max、gate.spec.tonal_max、gate.spec.coherence_min。
2. 版本策略
   变更窗口族或标定口径标记 MOD；新增互谱与相干输出标记 ADD；保持 compat.spec.v1 以保证历史报表可比。