18-EFT.WP.Methods.CrossStats v1.0 | 第12章 多层模型与部分汇聚（Hierarchical/Borrowing Strength）

目录 ／ 文档-技术白皮书 ／ 18-EFT.WP.Methods.CrossStats v1.0

第12章 多层模型与部分汇聚（Hierarchical/Borrowing Strength）

一句话目标：以层级贝叶斯与混合效应框架统一“跨群体”估计与预测，在小样本与异质场景中通过部分汇聚获得稳健、可审计与量纲一致的统计产出。

I. 范围与对象

1. 范围
   • 分组与小域估计：g ∈ {1..G}，组内观测 y_{g,j}，组间共享先验或随机效应。
   • 线性/广义线性混合效应（LMM/GLMM）、Fay-Herriot 小域模型、分层正态均值、层级 Poisson/Binomial 率。
   • 批处理与流式推断，窗口 Delta_t 与时基 tau_mono → ts 映射。
2. 对象
   • 输入：D = { (y_{g,j}, x_{g,j}, g, ts_{g,j}, m_{g,j}) }，单位与量纲、组内方差估计 sigma_g^2 或曝光量 E_g，同步元数据 offset/skew/J。
   • 输出：组级后验 p(theta_g|D)、BLUP/EBLUP、预测 hat{y}_{g,*} 与区间、manifest.stats.hier.*。

II. 名词与变量

• 组与样本量：g ∈ {1..G}, n_g, ybar_g = ( 1 / n_g ) * ∑_j y_{g,j}。
• 层级参数：theta_g（组级真实量），总体 mu，方差 tau^2。
• 噪声与方差：组内 sigma_g^2，观测误差 epsilon_{g,j}。
• 混合效应：y = X beta + Z b + e；随机效应 b ~ N(0, G)，残差 e ~ N(0, R)。
• GLMM 联结：g( E[y|x] ) = X beta + Z b。
• Shrinkage 因子与权重：w_g、B_g。
• 小域模型：y_g = theta_g + e_g，theta_g = X_g' beta + u_g。

III. 公设 P312-*

• P312-1（交换性与部分汇聚）：在组内条件于 theta_g 可交换；跨组以先验或随机效应共享统计强度。
• P312-2（先验显式与方差正定）：p(mu), p(tau^2) 明确；tau^2 ≥ 0，G、R 半正定。
• P312-3（可识别与中心化）：含截距时对变动截距施加和为零或先验中心化；数值上对 X,Z 做列中心以降低相关性。
• P312-4（时基与到达时）：估计窗口在 tau_mono，发布以 ts；若涉及到达时量 T_arr，同步记录两口径与 delta_form。
• P312-5（单位与量纲）：所有估计与预测满足 check_dim( y - f(x) )；比率与率型量引入曝光或基数并声明单位。
• P312-6（极端群组保护）：对 n_g 很小或 sigma_g^2 很大的群组启用更强的汇聚与区间扩张策略。

IV. 最小方程 S312-*

1. S312-1（分层正态均值）
   • 观测：ybar_g ~ N( theta_g, sigma_g^2 )；先验：theta_g ~ N( mu, tau^2 )。
   • 后验均值：E[ theta_g | D ] = w_g * ybar_g + ( 1 - w_g ) * mu，其中 w_g = tau^2 / ( tau^2 + sigma_g^2 )。
   • 后验方差：Var( theta_g | D ) = ( sigma_g^2 * tau^2 ) / ( sigma_g^2 + tau^2 )。
   • 极限：tau^2 → 0 得完全汇聚 theta_g → mu；tau^2 → ∞ 得不汇聚 theta_g ≈ ybar_g。
2. S312-2（线性混合效应的 BLUP）
   • 模型：y = X beta + Z b + e，b ~ N(0, G)，e ~ N(0, R)。
   • V = Z G Z' + R；hat{beta} = ( X' V^{-1} X )^{-1} X' V^{-1} y。
   • hat{b} = G Z' V^{-1} ( y - X hat{beta} )（组级 hat{b_g} 为对应子向量）。
3. S312-3（REML 边际似然）
   logL_REML = -0.5 * ( log|V| + (y - X beta)' V^{-1} (y - X beta) + const )；对 G,R 的参数做数值最大化。
4. S312-4（GLMM 层级广义线性）
   g( E[y_{g,j}|x] ) = X_{g,j} beta + Z_{g,j} b_g，b_g ~ N(0, G)；近似推断用 Laplace/AGHQ 或采样；预测区间来自线性化或后验样本分位。
5. S312-5（小域 Fay-Herriot EBLUP）
   • y_g = theta_g + e_g，theta_g = X_g' beta + u_g，e_g ~ N(0, V_g)，u_g ~ N(0, A)。
   • hat{theta_g} = w_g * y_g + ( 1 - w_g ) * X_g' hat{beta}，w_g = A / ( A + V_g )。
6. S312-6（离散率的层级收缩）
   • Poisson：y_g ~ Poisson( E_g * lambda_g )，lambda_g ~ Gamma(a,b)；E[ lambda_g | D ] = ( a + y_g ) / ( b + E_g )。
   • Binomial：k_g ~ Binom( n_g, p_g )，p_g ~ Beta(a,b)；E[ p_g | D ] = ( a + k_g ) / ( a + b + n_g )。

V. 统计流程 M30-12（就绪→建模→诊断→发布）

• 就绪
  time_align_for_stats 完成 tau_mono 对齐；声明 unit(y), dim(y)；计算 sigma_g^2 或 E_g；处理缺失 m ∈ {0,1}。
• 模型选择
  小样本或汇总量场景优先 S312-1/5/6；原始逐点数据优先 S312-2/4；根据响应族选择 identity/logit/log 联结。
• 估计
  LMM/GLMM 估计 G,R 与 beta；或估计 (mu, tau^2)、A、先验超参数 (a,b)；采用 REML/Laplace/采样。
• 诊断
  收缩曲线 w_g 与 sigma_g^2 单调性；残差与校准；方差分解；极端群组区间宽度。
• 预测与不确定度
  生成 hat{theta_g}、hat{y}_{g,*} 与区间；给出 U = k * u_c 或后验分位。
• 发布与清单
  emit_hier_manifest 落盘：超参数、w_g 概要、覆盖度、契约评估、TraceID、offset/skew/J 与（若用）delta_form。

VI. 契约与断言 C30-121x

• C30-1211（方差正定）：tau^2 ≥ 0，eigmin(G) ≥ 0，eigmin(R) ≥ 0；优化收敛 grad_norm ≤ tol_grad。
• C30-1212（收缩单调）：dw_g / d sigma_g^2 ≤ 0（经验检验：相关系数 corr(w_g, sigma_g^2) ≤ 0）。
• C30-1213（覆盖度）：组级区间 PI_coverage@q ∈ [q - tol_cov, q + tol_cov]。
• C30-1214（极端群组保护）：若 n_g < n_min 或 sigma_g^2 > s_max，则 w_g ≤ w_cap_small 且区间扩大因子 ≥ f_min。
• C30-1215（单位与量纲）：unit(hat{theta_g}) == unit(y)；率型满足 check_dim( y / exposure )。
• C30-1216（时基一致与到达时）：若模型含 T_arr，断言 delta_form ≤ tol_Tarr；offset/skew/J ≤ policy.max。

VII. 实现绑定 I30-*

• I30-121 fit_hier_normal_means(groups, ybar, sigma2, prior) -> posterior
• I30-122 fit_lmm(formula, ds, method) -> {beta, G, R, BLUP}
• I30-123 fit_glmm(formula, family, link, method) -> model
• I30-124 fay_herriot(y, V, X) -> {beta, A, theta_hat, w}
• I30-125 hier_poisson_rate(y, E, a, b) -> posterior
• I30-126 shrinkage_summary(posterior) -> {w_stats, coverage}
• I30-127 predict_hier(model, newdata, level, interval) -> {pred, PI}
• I30-128 evaluate_hier_contracts(report, rules) -> contract_report
• I30-129 emit_hier_manifest(results, policy) -> manifest.stats.hier

不变量：len(unique(groups)) == G；G,R 半正定；∑_g w_g / G ∈ [w_lo, w_hi]；发布前 contract_report.pass == true。

VIII. 交叉引用

• 单位与量纲一致化：见《Methods.Cleaning v1.0》第4章。
• 时间轴与同步：见《Methods.Cleaning v1.0》第5章。
• 多重比较与错误控制（多组比较的族级预算）：见本卷第6章。
• 元分析与研究合成：见本卷第13章。
• 成像跨域校准迁移：见《Methods.Imaging v1.0》第9章与第14章。

IX. 质量与风控

1. SLI/SLO
   PI_coverage@0.95 ≥ 0.92；converged == true；cond(Hessian) ≤ cond_max；latency_ms_p99 ≤ 800。
2. 风险与回退
   • 方差估计逼近边界：使用轮廓似然或正则先验；必要时退化为完全汇聚或不汇聚基线并告警。
   • 极端群组：触发 C30-1214，限制 w_g，扩大区间，并计划额外采样或合并群组。
   • 漂移：监测 w_g 分布与组级残差漂移（见第7章），超阈触发再估计与策略卡。

小结