22-EFT.WP.Metrology.Instrument v1.0 | 第5章 线性度与非线性校准（INL/DNL/多项式/查表）

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第5章 线性度与非线性校准（INL/DNL/多项式/查表）

一句话目标：给出 INL/DNL 的可测口径与不确定度，并提供基于多项式与查表（LUT）的非线性校准流程与契约，以实现跨仪器的一致发布。

I. 范围与对象

1. 范围
   • 适用于 ADC 与 DAC 的静态线性度评估与校准；动态非线性仅在残差与互证层面提示。
   • 支持 ramp/triangle（代码密度法）与正弦密度法两类常用量化测试。
2. 对象
   默认采用 input-referred 口径：ADC 以输入物理量 x 为自变量，DAC 以代码 code 为自变量并换算到等效输入。
3. 输出
   DNL[k], INL[k], missing_codes, monotone, epsilon_nl(x), poly_coeff, LUT, residual_nl_rms，以及 manifest.instrument.linearity.*。

II. 名词与变量

• 信号与传递：T_true(x)，T_ideal(x) = G * x + O，T_meas(x) = T_true(x) + n，非线性项 epsilon_nl(x) = T_true(x) - T_ideal(x)。
• 代码与边界：code ∈ {0..2^N-1}，码边界 b_k，码宽 w_k = b_{k+1}-b_k，理想码宽 W_ideal = LSB。
• 线性度指标：DNL[k]，INL[k]，峰值与均方 inl_pk, dnl_pk, inl_rms。
• 量化与计数：LSB，直方图 H[k]，总样本 N_total，期望概率 p_k。
• 校准参数：多项式系数 a_m，查表 LUT[k]，插值算子 interp(·)。
• 时基与单位：tau_mono, ts, offset/skew/J；unit(x), dim(x), check_dim(expr)。

III. 公设 P705-*

• P705-1（口径固定）：INL/DNL 以 最佳直线（best-fit line, BFL） 或 端点（end-point） 二选一口径输出，manifest 中必须标注 ref_line ∈ {BFL, EP}，跨批次口径必须一致。
• P705-2（密度假设）：代码密度法中输入应为 缓慢单调 ramp/triangle 或已知分布的正弦；必须发布 input_profile 与 p_k 的获取方式。
• P705-3（单调与缺码）：w_k > 0 为单调充分条件；H[k]=0 视为缺码。
• P705-4（校准可逆）：标定映射 C(·) 在工作区间内 单调、可逆、Lipschitz 有界，边界外禁止外推发布。
• P705-5（量纲守恒）：校准仅改变映射，不改变物理单位；发布前 check_dim(all)=true。
• P705-6（时基一体化）：采样计数与触发统计在 tau_mono 上计算，对外以 ts 发布并记录 offset/skew/J。

IV. 最小方程 S705-*

1. S705-1（DNL 定义·码宽口径）
   DNL[k] = ( w_k / W_ideal ) - 1。
   代码密度法在 ramp/triangle 下有 w_k ∝ H[k]，得
   DNL[k] = ( H[k] / H_mean ) - 1，其中 H_mean = ( N_total / 2^N )。
2. S705-2（DNL 定义·正弦密度口径）
   DNL[k] = ( H[k] / ( N_total * p_k ) ) - 1，p_k = ( ∫_{b_k}^{b_{k+1}} p_sine(x) dx )，p_sine(x) = 1 / ( pi * sqrt(1 - x^2) )（已归一到满量程区间）。
3. S705-3（INL 累积与去基线）
   INL[k] = ( ∑_{i=0}^{k-1} DNL[i] ) - bias，其中 bias 依据口径：
   • BFL：通过最小二乘直线消去增益/偏置；
   • EP：强制两端 INL[0]=INL[2^N]=0。
4. S705-4（缺码与单调断言）
   missing_codes = { k | H[k] = 0 }；monotone ⇔ ∀k, w_k > 0。
5. S705-5（多项式校准·输入域）
   x_corr = poly(x_raw) = ∑_{m=0}^M a_m * x_raw^m；残差 epsilon_res(x) = T_meas(x_corr) - T_ideal(x)。
   推荐采用 正交基（如 Chebyshev）以降低病态：poly(x) = ∑ a_m * T_m( x_norm )。
6. S705-6（查表校准·代码域）
   code_corr = interp( LUT, code_raw ) 或 x_corr = interp( LUT_x, code_raw )。
   插值须满足：interp 单调、分段线性或样条无过冲。
7. S705-7（不确定度近似）
   直方图法 Var( DNL[k] ) ≈ ( 1 - p_k ) / ( N_total * p_k )，u(DNL[k]) = sqrt( Var )；
   u(INL[k]) 由累积协方差传播，或以自助法估计。
8. S705-8（残差与发布）
   residual_nl_rms = sqrt( E[ epsilon_res(x)^2 ] )；发布 inl_pk = max |INL[k]|, dnl_pk = max |DNL[k]|。

V. 计量流程 M70-5（测得 H→DNL/INL→拟合→校准→验收→落盘）

1. 就绪与时基
   固定 RefCond（温度、供电、负载），校准触发在 tau_mono，记录 offset/skew/J。
2. 采集与直方图
   ramp/triangle：覆盖全码，N_total ≥ N_min；或正弦：记录 input_profile 并计算 p_k。
3. 线性化基线
   估计 G, O，选择口径 ref_line ∈ {BFL, EP}，计算 DNL[k]（S705-1/2）与 INL[k]（S705-3），检测 missing_codes 与 monotone。
4. 校准建模
   • 方案 A（多项式）：在输入域拟合 poly，控制阶数 M 与正则；
   • 方案 B（LUT）：构建 LUT 与插值策略，限制每段斜率为正。
5. 应用与闭环
   应用 C(·) 后复测，得到 INL', DNL', residual_nl_rms；若不满足契约则调阶或加密分段。
6. 不确定度与回归测试
   评估 u(DNL[k]), u(INL[k]) 与 residual_nl_rms 的自助法区间；对不同 RefCond 做跨温回归。
7. 落盘与签名
   写入 manifest.instrument.linearity.*、poly_coeff/LUT 的版本与有效期，TraceID 与 signature。

VI. 契约与断言 C70-5*

• C70-51 dnl.peak：dnl_pk ≤ dnl_max。
• C70-52 inl.peak：inl_pk ≤ inl_max（需标注 ref_line）。
• C70-53 monotone：monotone = true，否则失败。
• C70-54 missing.codes：|missing_codes| = 0。
• C70-55 residual.bound：residual_nl_rms ≤ nl_rms_max。
• C70-56 calib.stability：跨 RefCond 漂移 Δinl_pk ≤ inl_temp_max。
• C70-57 dim.check：check_dim(all)=true；映射单调且可逆。
• C70-58 versioning：poly|LUT 带版本与有效期，失效自动告警与回退。

VII. 实现绑定 I70-5*（接口原型）

• measure_code_density(ds, mode) -> H, meta（mode ∈ {ramp, sine}，返回 p_k 或生成法）
• compute_inl_dnl(H, pk_profile, ref_line) -> DNL, INL, stats
• fit_poly_calibrator(data, basis, M, reg) -> poly_coeff（basis ∈ {power, chebyshev}）
• build_lut_calibrator(breakpoints, values, monotone) -> LUT
• apply_calibration(stream, C) -> stream'（支持实时与离线）
• verify_linearity(stream', ref_line) -> inl_pk, dnl_pk, residual_nl_rms
• bootstrap_uncertainty(H, B) -> u_DNL, u_INL
• emit_linearity_manifest(results, policy) -> manifest.instrument.linearity
  不变量：C(·) 单调可逆；接口幂等；unit 与 dim 校核通过；记录 RefCond 与 ref_line。

VIII. 交叉引用

• 量程/LSB/ENOB：见本卷第4章。
• 时基抖动对线性度测量的影响：见《EFT.WP.Metrology.TimeBase v1.0》第6–7章。
• 清洗与发布冻结：见《EFT.WP.Methods.Cleaning v1.0》第10章。
• 成像链路非线性与伽马：见《EFT.WP.Methods.Imaging v1.0》第10章。

IX. 质量与风控

• SLI/SLO：inl_pk_p95, dnl_pk_p95, residual_nl_rms_p95, missing_codes_rate, calibration_age_days。
• 漂移与告警：inl_pk 或 dnl_pk 超阈触发重标定；residual_nl_rms 上升与温度关联触发 RefCond 自适应切换；提供回退到上版 poly|LUT 的安全阈。

小结