04-EFT.WP.Core.Metrology v1.0 | 第2章 量纲代数与一致性

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第2章 量纲代数与一致性

I. 章节目标与范围

• 固化本卷的量纲代数规则，给出严格的一致性判据与可执行检查口径 check_dim(expr)。
• 建立导数、积分、对数/指数/三角等常见算符的量纲约束，补充 P90-1…P90-3 之外的规则。
• 本章输出：公设扩展 P90-4…P90-10、计量流程 Mx-1（量纲校验流程）、check_dim 典型用例 ≥ 20 条。

II. 量纲代数核心规则（P90-4…P90-10）

• P90-4 Additivity：仅同量纲量可相加/相减，dim(x ± y) = dim(x) = dim(y)；若不等则为非法。
• P90-5 Multiplication / Division：dim(x * y) = dim(x) * dim(y)，dim(x / y) = dim(x) * dim(y)^-1；指数在各基本维度上逐项相加/相减。
• P90-6 Power：dim(x^n) = dim(x)^n 对 n ∈ ℤ；当 n 为有理数时，仅当 dim(x) 允许对应该分母开根（各指数可被整除）或 dim(x) = "[1]"。
• P90-7 Elementary Functions：log(·)、exp(·)、sin(·)、cos(·)、tanh(·) 等之自变量必须无量纲，即 dim(arg) = "[1]"；若原量有量纲，须先归一化，如 log( x / x0 ) 或 log( bar_x )。
• P90-8 Differentiation：设 x 之量纲为 dim(x)，则 dim( ∂^k f / ∂ x^k ) = dim(f) * dim(x)^-k；时间导数为 dim( ∂ f / ∂ t ) = dim(f) * [T]^-1。
• P90-9 Integration：设积分测度之量纲为 dim(d μ)，则 dim( ∫ f d μ ) = dim(f) * dim(d μ)；例如沿路径 gamma(ell) 有 dim(d ell) = "[L]"。
• P90-10 Statistical Operators：avg_t[f; Δt] = ( 1 / Δt ) * ( ∫ f d t ) 保持 dim( avg_t ) = dim(f)；方差/协方差遵循平方量纲：dim( Var[x] ) = dim(x)^2。

III. 一致性判据与实现口径

• 判据：任一测量方程或模型接口必须满足 dim(lhs) = dim(rhs)；全部算符须符合 P90-4…P90-10；对数/三角前置无量纲化；积分/导数按测度或自变量量纲变更。
• 实现钩子：I40 2 check_dim(expr) 为强制闸门；I40 2 convert(·) 仅在同量纲单位间允许；I40 9 enforce_arrival_time_convention() 用于对接到达时双口径。
• 合法统计权重：加权平均 y = ∑ w_i x_i 要求 dim(w_i) = "[1]" 且各 x_i 同量纲。

IV. 计量流程 Mx-1（量纲校验流程）

• 识别原子量与单位：为每个符号附着 dim(·) 与 unit(·)，如 dim(c_ref) = "[L][T]^-1"、dim(n_eff) = "[1]"、dim(d ell) = "[L]"。
• 语法展开：将表达式转为乘幂范式；对派生单位先还原至基本单位。
• 运算传播：按 P90-4…P90-10 自底向上传播量纲；对 log/exp/trig 强制无量纲自变量检查。
• 积分/导数特殊处理：应用 P90-8、P90-9；多重积分按测度逐次乘入。
• 归并与比对：化简得到 dim(lhs) 与 dim(rhs) 并比较；不一致时报错定位到最浅违规节点。
• 报告与修复建议：给出需引入之参考量（如 x0、L0、t0）或应使用之无量纲映射（如 bar_x、zscore(x; mu, sigma)）。

V. check_dim 典型用例（通过/拒绝混合示例 ≥ 20）

• v = d x / d t → "[L][T]^-1"（通过）。
• a = d^2 x / d t^2 → "[L][T]^-2"（通过）。
• T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_gamma n_eff d ell ) → "[T]"（通过）。
• T_arr = ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell ) → "[T]"（通过）。
• L_gamma = ∫_gamma 1 d ell → "[L]"（通过）。
• bar_ell = ell / L0 → "[1]"（通过）。
• bar_t = t / t0 → "[1]"（通过）。
• avg_t[f; Δt] = ( 1 / Δt ) * ( ∫ f d t ) → dim(avg_t) = dim(f)（通过）。
• log( x )，若 dim(x) != "[1]" → 拒绝，需改为 log( x / x0 ) 或 log( bar_x )。
• sin( ω * t )，dim(ω) = "[T]^-1"、dim(t) = "[T]" → 自变量无量纲（通过）。
• exp( E / (k_B * Temp) )，若 dim(E) = "[M][L]^2[T]^-2" 与 dim(k_B*Temp) 一致 → 无量纲（通过）。
• zscore(x; mu, sigma) = ( x - mu ) / sigma → "[1]"（通过）。
• logit(p) 要求 dim(p) = "[1]" 且 0 < p < 1 → （通过）；若 p 为带单位比率 → 拒绝。
• softplus(x) 仅接受无量纲 x → 若 dim(x) != "[1]" 拒绝。
• Q_total = Q1 + Q2，dim(Qi) = "[Qe]" → （通过）；Q1 + t → 拒绝。
• Power = ∫ f * v d t，若 dim(f) = "[M][L][T]^-2"、dim(v) = "[L][T]^-1" → 积分测度 "[T]"，得 "[M][L]^2[T]^-3"（即 W）（通过）。
• grad(phi)，若 dim(phi) = "[M][L]^2[T]^-2[Qe]^-1"、坐标 x 为 "[L]" → dim(∂phi/∂x) = dim(phi)*[L]^-1（通过）。
• div(J)，若 dim(J) = "[something]*[L]^-2[T]^-1" → dim(div(J)) = dim(J)*[L]^-1（通过）。
• delta(ell) → "[L]^-1"；∫ f(ell) * delta(ell - ell0) d ell = f(ell0)，量纲守恒（通过）。
• rho(x,t) * c_ref^2，若 dim(rho) = "[M][L]^-3" → "[M][L]^-1[T]^-2"（通过）。
• T_fil / T_trans：若两者物理含义不同且单位不同 → 拒绝；依据冲突名强制不得混用。
• Corr[x]、Cov[x]：dim( Corr[x] ) = "[1]"、dim( Cov[x] ) = dim(x)^2（通过）。
• Fisher(theta)：若以无量纲参数化，则 "[1]"；若参数带单位，需采用无量纲化 bar_theta 后计算（通过）。
• SNR = signal / noise：两者同量纲则 "[1]"（通过）；不同量纲 → 拒绝。
• guard_band(result, U, tol)：所有量须与被测量同量纲（通过）。

VI. 常见误用与防御性写法

• 混用零点偏移单位：degC + K 直接相加非法；应统一到 K 或用仿射形式先去偏移。
• 隐式统计权重带单位：∑ w_i x_i 中 w_i 非无量纲将改变结果量纲；应改为无量纲权重或将权重拆解为物理因子与归一化因子。
• 将 n(x,t)（数密度）误作 n_eff(x,t)（有效折射率）：dim(n) = "[L]^-3"、dim(n_eff) = "[1]"；一经混用即拒绝。
• 未声明测度：写作 ∫ f 而未给出 d ell、d t、d V 将导致量纲漂移；必须显式测度。
• 对 log/exp/trig 传入带单位量：统一先无量纲化 bar_x = x / x0 或使用本卷规范 t0 = L0 / c_ref。

VII. 与实现层对接（I40-*）

1. 在注册测量模型前调用 check_dim(expr)；未通过不得执行 register_measurement。
2. 对到达时口径，使用 enforce_arrival_time_convention() 保证
   • T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_gamma n_eff d ell ) 与
   • T_arr = ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )
     两式在量纲与无量纲化视图下均一致。
3. 对需要无量纲参数的推断模块，先以 nondim(·, L0, t0, T0) 进行映射，再调用上游统计函数（见《Core.Parameters》相关 I 段落）。