24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0 | 第2章 数学基线（流形/同伦/同调/纤维）

目录 ／ 文档-技术白皮书 ／ 24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0

第2章 数学基线（流形/同伦/同调/纤维）

一句话目标：确立拓扑图谱所依赖的最小数学基线（流形—图谱—复形—同伦/同调—纤维丛），并把“可计算不变量”的工程口径落到 P/S/M/I/C 五线框架中。

I. 范围与对象

• 对象：可定向或非定向、可带边界的流形 M 及其离散近似；局部坐标图 chi_i 与图谱 Atlas；链复形 C_k 与边界算子 ∂_k；同伦群 π_n、同调群 H_k；主丛/向量丛与联络/曲率。
• 输入：manifold_spec = {M, ∂M?, orientable?, metric? g}, 图册候选 {(U_i, chi_i)}, 系数域 coeffs，离散模型 K（simplicial/cubical 等），必要时的场 phi(x,t) 或轨迹 Gamma_i(t)。
• 输出：数学一致性校核、可计算不变量定义域、工程约束（复杂度、容差）、到 manifest.topo.* 的落盘锚点。
• 边界：本章不涉具体算法优化与运行时面板，见第14章；不含具体物理动力学，见配套白皮书《能量丝》相关章节。

II. 名词与变量

• 流形与图谱：M, U_i ⊂ M, chi_i: U_i → R^d, Atlas = { (U_i, chi_i) }。
• 复形与滤过：K（K ∈ {simplicial, cubical, rips, cech, delaunay}）, F(τ)（滤过族，F(τ1) ⊆ F(τ2)）。
• 链与边界：C_k(K; coeffs), ∂_k: C_k → C_{k-1}，H_k(K; coeffs) = ker(∂_k) / im(∂_{k+1})，β_k = rank H_k。
• 同伦：π_n(M, x0)；必要时以图近似 π_1 的生成元（最短基环）做计算代理。
• 纤维丛：主丛/向量丛 P → M，联络 A，曲率 F = dA + A∧A。
• 轨迹/世界线与测度：Gamma(t), 路径积分 ( ∫_{gamma(ell)} · d ell )，域/测度显式如 ( ∫_S · dA )、( ∫_V · dV )。
• 计量与单位：unit(field), dim(field)；拓扑不变量如 Q, β_k, Lk 默认无量纲 "[1]"。

III. 公设 P902-*

• P902-1（图谱正则）Atlas 满足覆盖 ⋃_i U_i = M，过渡 chi_j ∘ chi_i^{-1} 的正则性（连续/可微/同胚）与定向在需求级别上明确。
• P902-2（系数域一致）同调系数域 coeffs ∈ {Z, Z_p, R} 在全链路固定，不跨阶段更换。
• P902-3（边界代数一致）∂_k ∘ ∂_{k+1} = 0 必通过数值校核；若失败，阻断发布。
• P902-4（离散—连续对齐）从 M 到 K 的离散化保持连通性与基本群生成元的上界；必要时给出误差上界。
• P902-5（测度显式）任何积分需声明域与测度；概率密度与几何/物理密度分离处理。
• P902-6（可计算性）每个不变量必须给出可执行 I90-* 接口与复杂度上界。

IV. 最小方程 S902-*

1. 图谱与坐标过渡
   • S902-1 覆盖：⋃_i U_i = M。
   • S902-2 过渡链规则：D(chi_j ∘ chi_i^{-1})(p) = D chi_j (chi_i^{-1}(p)) · D(chi_i^{-1})(p)；若引入度量 g，则 g 在图间按拉回变换：g_i = (chi_i^{-1})^* g。
2. 链复形与同调
   • S902-3 链复形：… → C_{k+1} \xrightarrow{∂_{k+1}} C_k \xrightarrow{∂_k} C_{k-1} → …，且 ∂_k ∘ ∂_{k+1} = 0。
   • S902-4 同调与 Betti：H_k(K; coeffs) = ker(∂_k)/im(∂_{k+1})，β_k = rank H_k。
   • S902-5 Euler 特征：χ(K) = ∑_{k=0}^d (-1)^k β_k = ∑_{k=0}^d (-1)^k f_k（f_k 为 k-单形计数）。
3. 同伦与度数（示例）
   • S902-6 度数（二维相位场示例）：deg(φ; S^1) = ( 1 / 2π ) * ( ∮_{γ} dθ )，γ 围绕奇点的闭合路径，dθ 为相位增量。
   • S902-7 结/链的联络数（Gauss 积分）：
     Lk(Γ1, Γ2) = ( 1 / 4π ) * ( ∬_{Γ1×Γ2} ( ( (r1 - r2) / |r1 - r2|^3 ) ⋅ ( dr1 × dr2 ) ) )，r1, r2 为参数化位置。
4. 纤维丛与拓扑荷（示例）
   • S902-8 第一 Chern 数：c1 = ( 1 / 2π ) * ( ∫_{S} F )，F 为曲率 2-形式，S ⊂ M 为闭曲面。
   • S902-9 Pontryagin/Chern–Simons（体积分示例）：CS(A) = ( 1 / 4π ) * ( ∫_{V} tr( A ∧ dA + (2/3) A ∧ A ∧ A ) )，需声明域 V 与形式运算。
5. 持续结构接口占位
   S902-10 滤过一致：F(τ1) ⊆ F(τ2)，PD_k = { (b_i, d_i) }；稳定性定理在第8章展开，此处仅确立符号与域。

V. 计量流程 M90-2（就绪→建模→校核→落盘）

1. 就绪：加载 manifold_spec 与候选图册；锁定 coeffs；声明是否使用度量 g。
2. 建模：
   • 注册图册与过渡；若为离散场景，生成 K 与 F(τ)。
   • 选择不变量集 {β_k, χ, deg, Lk, c1, …} 与计算路径/域。
3. 校核：
   • 验证 ∂_k ∘ ∂_{k+1} = 0；χ 的双重计算（β_k 与 f_k）一致。
   • 检查图册覆盖与过渡定向，随机抽样点做拉回一致性测试。
4. 落盘：
   • manifest.topo.math = { coeffs, atlas.hash, trans.check, chi, beta, euler, invariants:set, metric? }；
   • 记录 algo.ver, seed, 数值容差与诊断。

VI. 契约与断言 C90-21x（建议阈值）

• C90-2101 覆盖度：measure(⋃_i U_i)/measure(M) ≥ 0.98。
• C90-2102 过渡一致性：max_{p∈U_i∩U_j} angle( det D(chi_j ∘ chi_i^{-1})(p) ) ≤ tol_orient。
• C90-2103 边界零复合：||∂_k ∘ ∂_{k+1}|| = 0（数值上 ≤ tol_boundary）。
• C90-2104 Euler 双算一致：| χ_{β} - χ_{f} | ≤ 0（离散整数一致），若有降采样允许 ≤ 1 并标注 degrade。
• C90-2105 度数/联络数整性：dist_to_Z(deg) ≤ tol_int、dist_to_Z(Lk) ≤ tol_int。
• C90-2106 Chern 数整性：dist_to_Z(c1) ≤ tol_int；若域非闭，需补偿边界项或阻断。

VII. 实现绑定 I90-*（本章相关接口）

• I90-21 register_charts(charts) -> Atlas（返回覆盖度、交叠统计与过渡诊断）
• I90-22 align_transitions(Atlas) -> transitions（评估 chi_j ∘ chi_i^{-1} 的正则性/定向）
• I90-23 build_chain_complex(K, coeffs) -> {C_k, ∂_k}
• I90-24 compute_homology(C_k, ∂_k) -> {H_k, β_k, χ}
• I90-25 degree_curve(phi, γ) -> deg（相位解缠+闭路积分）
• I90-26 gauss_linking(Γ1, Γ2) -> Lk
• I90-27 chern_number(A, S) -> c1（离散化：格点外微分/Stokes 汇编）
• I90-28 assert_math_contracts(results, rules) -> report
• I90-29 emit_math_manifest(results, policy) -> manifest.topo.math
  不变量：∂_k ∘ ∂_{k+1} = 0；图册覆盖与定向一致；整值不变量满足 dist_to_Z(·) ≤ tol_int。

VIII. 交叉引用

• 数据→复形与滤过：见第7章；持续同调与稳定性：见第8章。
• 缺陷/编织对象与不变量实例化：见第3–5章。
• 图谱构建与过渡工程化：见第9章。
• 不确定度与误差传播（拓扑版）：见附录E。
• 运行时与发布清单：见第14章与附录C。

IX. 质量与风控

• SLO（建议）：register_charts 成功率 ≥ 99%；compute_homology 对百万单形级别在 T_budget 内完成；整值不变量偏离率 p95 ≤ tol_int。
• 回退：若 ∂∘∂ ≠ 0 或整性不通过，降级为更粗滤过/更低阶复形或缩小域；并在 manifest.topo.math 标注 fallback 与放大不确定度。
• 审计：保存输入哈希、复形摘要（f_k）、coeffs、图册覆盖与过渡诊断、整性检查报告与签名。

小结

• 本章将图谱、复形、同伦/同调与纤维丛的核心定义与可计算口径固定为 P902/S902/M90-2/C90-21x/I90-2*。
• 其结果：任意后续用例都能在明确的域/测度/系数/整性约束下计算并发布拓扑不变量，产出稳定落盘到 manifest.topo.math。