24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0 | 第3章 粒子拓扑对象与缺陷类型学

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第3章 粒子拓扑对象与缺陷类型学

一句话目标：建立“粒子/缺陷/编织/结”的对象层级与命名规范，给出与之配套的可计算不变量集合与最小判据，作为图谱与持续结构的标签源。

I. 范围与对象

1. 对象族
   • 点缺陷（codim = d）：二维相位涡旋、三维单极子/“hedgehog”。
   • 线缺陷（codim = d-1）：三维涡旋线、位错/位移线。
   • 面缺陷（codim = 1）：畴壁、界面。
   • 纹理/溶解缺陷：pi_k 非平凡但无显式空洞的场构型（如 skyrmion, Hopf 纹理）。
   • 编织/结：世界线 Gamma_i(t) 的时空交织与闭合线的结链结构。
2. 输入
   • 场与序参量：phi(x,t)（复/相位/矢量/自旋）, Xi(x,t)（张量/框架场）。
   • 离散承载：点云/体素/网格 data，几何/拓扑域 M 与边界 ∂M，系数域 coeffs。
3. 输出
   • 缺陷实例集：defects = { (type, support, invariants, u/U, tags) }。
   • 计量不变量：Q, w, Lk, Sl, β_k 与针对材料/场景的派生量（如 Burgers 向量）。
   • 图谱标签：每一 U_i 上的 inv_i，供第9章拼接。

II. 名词与变量

• 支持与邻域：supp(D)（缺陷支持），N_eps(supp)（eps 邻域）。
• 映射与靶空间：phi: M \setminus supp(D) → N，N 为序参量靶空间；deg(phi; S) 为度数。
• 维度记号：d = dim(M)；p = dim(supp(D))；codim = d - p。
• 不变量：w（绕数）、Q（拓扑荷）、Lk（联络数）、Sl（自联络）、Tw/Wr（扭转/撓曲）。
• 线性缺陷学：位移场 u(x) 与 b = ( ∮_{gamma} ( ∇u · d l ) ) 的 Burgers 向量。
• 诊断：u(x), U = k * u_c, nu_eff；事件时间/处理时间 ts, tau_mono。

III. 公设 P903-*

• P903-1（类别由余维决定）在 d 维空间中，p 维缺陷的同伦分类由 pi_{codim-1}(N) 决定；分类不依赖坐标图选择。
• P903-2（整性）w, Q, Lk, Sl 等整值不变量在理想连续极限为整数；数值实现允许 tol_int 内偏差。
• P903-3（局域—整体一致）局部计算（小球/管）与整体计算（包围曲/面/体）得到的不变量一致。
• P903-4（边界与相对同调）若 ∂M ≠ ∅，采用相对同调或添加边界项，使不变量在相对类中良定义。
• P903-5（可计算性）每一类别须映射到可执行 I90-* 接口与复杂度上界；缺陷定位与不变量估计互相独立但可交叉验证。
• P903-6（稳健性）分类必须在 d_B（持续同调瓶颈距离）与能量/噪声扰动的小邻域内保持不变。

IV. 最小方程 S903-*

• S903-1（同伦分类判据）
  class(D_p) ↔ pi_{d-p-1}(N)，其中 D_p 为 p 维缺陷；N 为序参量靶空间。
• S903-2（二维点涡旋绕数）
  w = ( 1 / ( 2*pi ) ) * ( ∮_{gamma} d θ )，gamma 环绕缺陷的闭合路径，θ = arg( phi )。
• S903-3（三维单极子拓扑荷）
  Q = ( 1 / ( 4*pi ) ) * ( ∫_{S^2} ( n_hat · ( ∂_θ n_hat × ∂_φ n_hat ) d Ω ) )，n_hat = phi / |phi|。
• S903-4（Skyrmion 数，二维 O(3) 纹理）
  Q_sk = ( 1 / ( 4*pi ) ) * ( ∫_{A ⊂ R^2} ( n_hat · ( ∂_x n_hat × ∂_y n_hat ) dA ) )。
• S903-5（Gauss 联络数）
  Lk(Γ1, Γ2) = ( 1 / ( 4*pi ) ) * ( ∬_{Γ1×Γ2} ( ( (r1 - r2) / |r1 - r2|^3 ) · ( d r1 × d r2 ) ) )。
• S903-6（White 公式—自联络分解）
  Sl(Γ) = Tw(Γ, f_hat) + Wr(Γ)，f_hat 为管状邻域的参考框架。
• S903-7（位错 Burgers 向量）
  b = ( ∮_{gamma} ( ∇u · d l ) )，u 为位移场，gamma 环绕位错线。
• S903-8（Hopf 不变量，示意）
  Q_hopf = ( 1 / ( 4*pi ) ) * ( ∫_{R^3} ( A · B dV ) )，B = ∇ × A 为 n_hat 的拉回联络对应的“磁场”；需声明规范与边界衰减。
• S903-9（局部 Jacobian 计数）
  对 phi: R^d → R^d 的孤立零点，Q = sign( det( ∂ phi / ∂ x ) )；体积分表达：Q = ( 1 / C_d ) * ( ∫_{∂V} J(phi) · dS )，常数 C_d 与选择的拓扑电流规范相关。

V. 计量流程 M90-3

1. 就绪：选择序参量 phi 与靶空间 N；声明 coeffs、工作维度 d、边界策略（闭域/相对）。
2. 候选支持检测：
   • 点/线/面候选由阈值与形态学运算获得：|phi| < τ_amp、|∇θ| 峰、sign-change(phi) 等。
   • 产出候选集 S0 = { cells/edges/faces }。
3. 邻域构建：为每个候选生成 gamma（环路）、S^2（小球）、管状邻域 Tube(Γ, ρ) 或跨域曲面 Σ。
4. 不变量估计：
   • 应用 S903-* 对应公式，计算 w/Q/Lk/Sl/b/... 与 u_c/U/nu_eff。
   • 并行做局部—整体一致性核验（P903-3）。
5. 稳健校核：对窗口/扰动做 PD_k 局部比较，阈值化 d_B ≤ tol_PD。
6. 成分合并与去重：联通分量合并；按 Sl = Tw + Wr 拆分或重组；消除数值重影。
7. 落盘与标注：
   • 生成 defects 列表（类型、支持、invariants、u/U、tags、quality）。
   • 将局部 inv_i 写入对应图册 U_i 的元数据，供第9章拼接。

VI. 契约与断言 C90-31x（建议阈值）

• C90-3101 整值门：dist_to_Z(w) ≤ tol_int，dist_to_Z(Q) ≤ tol_int，dist_to_Z(Lk) ≤ tol_int，dist_to_Z(Sl) ≤ tol_int。
• C90-3102 邻域充分性：radius(neighborhood) ≥ κ * grid_spacing（建议 κ ≥ 2.5）。
• C90-3103 一致性：| Q_local - Q_global | ≤ tol_glue；| Sl - (Tw+Wr) | ≤ tol_glue。
• C90-3104 分离度：不同缺陷支持的最小间距 ≥ sep_min；否则打 merge_or_ambiguous 标签。
• C90-3105 新鲜度与覆盖：ts_now - ts_data ≤ T_max 且 coverage(M \setminus N_eps(supp)) ≥ cov_min。
• C90-3106 复杂度上界：单帧/窗口内 compute_invariants 的运行时间 ≤ T_budget；超限触发降采样或稀疏化。
• C90-3107 边界合规：若 ∂M ≠ ∅，需显式采用相对同调/边界补偿；缺失则阻断发布。

VII. 实现绑定 I90-3*

• I90-31 detect_defect_candidates(field, rules) -> S0（阈值/形态/梯度环流/零集追踪）
• I90-32 build_neighborhood(S0, kind, params) -> {loops, spheres, tubes}
• I90-33 compute_winding(phi, loops) -> {w_i, u/U}（包含相位解缠与路径方向一致化）
• I90-34 compute_skyrmion(n_field, patch) -> {Q_sk, u/U}
• I90-35 gauss_linking_lines(lines) -> {Lk, Sl, Tw, Wr}（利用离散线积分与 White 公式）
• I90-36 burgers_vector(u_field, loops) -> {b_i}
• I90-37 consolidate_defects(cands, invariants, policy) -> defects
• I90-38 assert_defect_contracts(defects, rules) -> report
• I90-39 emit_defect_manifest(defects, policy) -> manifest.topo.defects
  不变量：路径/域与测度显式；dist_to_Z 合格；局部—整体一致性通过；边界策略记录在案。

VIII. 交叉引用

• 场→拓扑密度与拓扑电流构建：见第4章。
• 世界线跟踪、编织字与结：见第5章（I90-51/52）。
• 持续同调稳定性与 d_B/d_W：见第8章。
• 图谱拼接与过渡一致性：见第9章。
• 不确定度与偏置校正：见第10章与附录E。
• 运行时与面板发布：见第14章；清单键规范：见附录C。

IX. 质量与风控

• SLO：缺陷整值判定通过率 ≥ 99%；d_B 稳定性 p95 ≤ tol_PD；运行时 p99 ≤ T_budget。
• 回退路径：full-res → decimated → coarse-neighborhood → summary-tags，并逐级增大 U。
• 审计：保存候选掩膜、邻域构造参数、路径/域离散化摘要、整性/一致性报告与签名；复现需保证随机种子与解缠策略落盘。

小结

• 本章确立了缺陷类型学与其配套不变量的数学—工程桥接：P903/S903/M90-3/C90-31x/I90-3*。
• 由此，任一数据集可在明确的邻域构造、整值门与稳健性度量下提取并发布缺陷标签，作为第9章图谱拼接与第13章检索的基础。