24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0 | 第4章 场→拓扑密度的构建（相位/梯度/雅可比）

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第4章 场→拓扑密度的构建（相位/梯度/雅可比）

一句话目标：将原始场 phi(x,t) 与其导数（相位、梯度、雅可比）稳定映射为局部拓扑密度与电流 q(x), j_topo(x)，为第3章缺陷识别与后续图谱拼接提供可积分的不变量源层。

I. 范围与对象

1. 输入：栅格/网格场 phi(x,t)（复/相位/向量/自旋），可选单位法向量场 n_hat(x)；离散载体 K（cubical/simplicial）；度量 g?；采样窗口与滤波策略。
2. 输出：
   • 相位密度与涡量：θ(x), ∇θ, q_wind_2D(x), j_topo^θ(x)；
   • 雅可比/三重积密度：q_sk_2D(x), q_mono_3D(x)；
   • 质量字段：u(q), U, 掩膜与质量标签。
3. 边界与约束：显式声明积分域与测度 ( ∮_{γ} · d l ), ( ∫_{A} · dA ), ( ∫_{V} · dV )；概率密度与几何/物理密度分离；边界条件（闭域/相对）一致落盘。

II. 名词与变量

• 相位与梯度：θ = arg(phi), ∇θ；unit(θ) = rad, dim(θ) = "[1]"，dim(∇θ) = "[L^-1]"。
• 拓扑密度：q_wind_2D, q_sk_2D, q_mono_3D；dim(q_d) = "[L^-d]" 使其在 d 维域上积分为 "[1]"。
• 雅可比与导数：J = ∂ phi / ∂ x；对 n_hat: R^d → S^m 使用分量导数与 Levi-Civita 张量 ε_{ijk}, ε_{abc}。
• 拓扑电流：j_topo（分布/稀疏矢量场），dim(j_topo) = "[L^-2]"（二维相位情形）。
• 质量与时间：u(·), U = k * u_c, nu_eff，ts/tau_mono。

III. 公设 P904-*

• P904-1（相位连续代表）相位运算在 S^1 上进行，数值上需经解缠算子 unwrap(·)；任何 ∇θ/环流计算必须路径无关或在闭路上执行。
• P904-2（测度显式）任何密度都以明确的域与测度构造，且在离散上给出单元级近似。
• P904-3（定向一致）用于 q_sk_2D/q_mono_3D 的面/体元必须有一致定向；若载体非定向，需在图册中过渡修正。
• P904-4（正则化先行）导数与雅可比必须在指定尺度 ℓ_reg 下计算，默认 ℓ_reg ≥ 2.5 * grid_spacing。
• P904-5（两口径并行）对每个密度提供至少两种等价口径（如环流—旋度、面元三角化—有限差分）并记录差异 delta_form_topo ≤ tol_topo。
• P904-6（可积整性）面/体积分的结果在 tol_int 内逼近整数；未通过则降级/阻断发布。

IV. 最小方程 S904-*

1. 相位与涡量（二维）
   • S904-1（环流口径）：w(γ) = ( 1 / ( 2*pi ) ) * ( ∮_{γ} dθ )。
   • S904-2（旋度口径）：q_wind_2D = ( 1 / ( 2*pi ) ) * ( ∇ × ∇θ )_z（分布意义）。
   • 离散实现：对栅格单元 P，q_wind_2D(P) = ( 1 / ( 2*pi*area(P) ) ) * ( Σ_{e∈∂P} wrap(Δθ_e) )。
2. Skyrmion 密度（二维 n_hat: R^2→S^2）
   • S904-3：q_sk_2D = ( 1 / ( 4*pi ) ) * ( n_hat · ( ∂_x n_hat × ∂_y n_hat ) )。
   • 离散三角化（Berg–Lüscher）：对像空间三角形 Δ(n1,n2,n3) 的有向面积 Ω_Δ，
     q_sk_2D(cell) = ( 1 / ( 4*pi ) ) * ( Σ_Δ Ω_Δ ) / area(cell)。
3. 单极子密度（n_hat: R^3→S^2）
   • S904-4：q_mono_3D = ( 1 / ( 8*pi ) ) * ( ε_{ijk} ε_{abc} ∂_i n_a ∂_j n_b ∂_k n_c )。
   • 离散四面体：
     q_mono_3D(tet) = ( 1 / ( 12*pi^2 ) ) * Vol_S^3( n_hat(v0),…,n_hat(v3) ) / vol(tet)（体角近似；需定向一致）。
4. 拓扑电流（相位场）
   S904-5：j_topo = ( 1 / ( 2*pi ) ) * ( ∇θ )^{⊥} 在分布意义集中于缺陷核；离散上对每个单元将 w(cell) 定位到质心并经核 K_ρ 光滑化。
5. 一致性与两口径差
   • S904-6：delta_form_topo = | w(∂A) - ( ∫_{A} ( 2*pi * q_wind_2D dA ) ) |；应满足 delta_form_topo ≤ tol_topo。
   • S904-7：check_dim( ∫_{A} q_sk_2D dA ) = "[1]"，check_dim( ∫_{V} q_mono_3D dV ) = "[1]"。

V. 计量流程 M90-4

1. 就绪：确认场类型与目标密度集合；设定 ℓ_reg, method_fd ∈ {central, sobel, spectral}, 三角化/四面体化策略与 tol_topo/tol_int。
2. 预处理：
   • 相位解缠：θ ← unwrap(arg(phi))，修复跳变与小孔洞；
   • 归一化：n_hat = phi / |phi|（阈值 |phi| ≥ τ_amp，否则打掩膜）。
3. 导数评估：在尺度 ℓ_reg 上评估 ∇θ 与 ∂_i n_a（卷积/多项式拟合/谱微分一致化）。
4. 密度构建：按 S904-* 计算 q_wind_2D/q_sk_2D/q_mono_3D/j_topo，并行计算两口径与 delta_form_topo。
5. 质量与整性校核：整值约束、边界/相对同调修正、d_B 局部稳定性抽样；失败触发降级（扩大 ℓ_reg、粗化网格）。
6. 落盘：输出密度层、掩膜、u/U、口径差、参数与诊断到 manifest.topo.density.*。

VI. 契约与断言 C90-41x（建议阈值）

• C90-4101 两口径差：delta_form_topo_p95 ≤ tol_topo（建议 tol_topo = 1e-2）。
• C90-4102 整值门：dist_to_Z( ∫_{A} q_sk_2D dA ) ≤ tol_int，dist_to_Z( ∫_{V} q_mono_3D dV ) ≤ tol_int。
• C90-4103 正则尺度：ℓ_reg ≥ 2.5 * grid_spacing；否则将标记 under_resolved 并放大 U。
• C90-4104 定向一致：三角/四面体定向冲突率 ≤ 0.1%，超限阻断。
• C90-4105 振铃控制：谱微分时 ringing_metric ≤ tol_ring，默认 tol_ring = 0.05。
• C90-4106 边界合规：若 ∂M ≠ ∅，需采用相对类或加入边界补偿项；缺失则阻断。
• C90-4107 单位/量纲：所有字段 check_dim 必通过。

VII. 实现绑定 I90-4*

• I90-41 unwrap_phase(phi, policy) -> θ, mask, diag
• I90-42 smooth_and_diff(field, ℓ_reg, method_fd) -> {grads, diag}
• I90-43 wind_density_from_loops(θ, grid) -> q_wind_2D（环流口径）
• I90-44 wind_density_from_curl(θ, grid) -> q_wind_2D（旋度口径）
• I90-45 skyrmion_density_2d(n_hat, mesh) -> q_sk_2D（Berg–Lüscher 三角化）
• I90-46 monopole_density_3d(n_hat, tetmesh) -> q_mono_3D（体角/雅可比三重积）
• I90-47 assemble_topo_current(θ, q_wind_2D, ρ) -> j_topo（稀疏—光滑融合）
• I90-48 compare_forms(q_a, q_b, domain) -> delta_form_topo
• I90-49 emit_density_layers(layers, policy) -> manifest.topo.density
  不变量：domain 与测度显式；定向一致；delta_form_topo ≤ tol_topo；整值门通过或按策略降级并放大 U。

VIII. 交叉引用

• 缺陷类型学与不变量读取：见第3章（I90-33/35 将对 q_* 做积分）。
• 持续同调稳定性与噪声稳健：见第8章与第12章（用于选择 ℓ_reg 与滤过尺度）。
• 图谱拼接与过渡一致性：见第9章（密度层在图册边界的过渡与平均）。
• 误差与不确定度传播：见附录E（导数与三角化误差、谱截断的传播）。
• 运行时面板与缓存回退：见第14章。

IX. 质量与风控

• SLO：密度层产出成功率 ≥ 99%；delta_form_topo_p95 ≤ tol_topo；整值门失败率 ≤ 1%。
• 回退路径：full-res → coarser-grid → larger ℓ_reg → loop-only summary；逐级增大 U 并标注 fallback.stage。
• 审计：保存解缠事件、导数尺度、网格定向冲突率、两口径差分布、整值/边界校核与签名。

小结

• 本章给出从场到拓扑密度/电流的可计算口径：P904/S904/M90-4/C90-41x/I90-4*。
• 通过两口径并行与整值门保证结果可审计、可集成，后续章节可直接对 q_* 与 j_topo 积分/聚合，驱动缺陷追踪与图谱拼接。