24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0 | 第5章 世界线、编织与结（时空拓扑）

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第5章 世界线、编织与结（时空拓扑）

一句话目标：将粒子/缺陷的世界线 Gamma_i(t) 提升为可计算的编织与结对象，形成从时序观测到拓扑不变量（braid word, Lk, Sl, Tw/Wr）的工程化口径，并确保在离散时空中可审计、可落盘。

I. 范围与对象

1. 输入对象
   • 世界线/轨迹：Γ = { Gamma_i: [t0, t1] → R^3 }（或 R^2 中的穿孔轨迹在 R^2×[t0,t1]）。
   • 场与密度（可选）：phi(x,t), q_*（见第4章），用于辅助定位/跟踪与整值校核。
   • 投影与视角：π_view: R^3 → R^2 或 π_axis: R^3 → R 以建立“编织顺序”。
   • 元信息：coeffs, ts/tau_mono, 采样间隔 Δt, 噪声与过滤策略。
2. 输出对象
   • 编织与结：B_n 上的 braid word w, 其置换 perm(w) 与 Garside 正则形；闭合后得到的链/结类型摘要。
   • 不变量：Lk(Γ_i, Γ_j), Sl(Γ_i) = Tw + Wr, 交叉计数与事件日志。
   • 清单：manifest.topo.braid（参数、口径差、诊断与签名）。
3. 边界与约束
   • 默认假设投影一般位置：无“瞬时三重交叉/切触”；若发生，需消歧与降级策略。
   • 闭曲线结/链分析仅对闭世界线或通过规范闭合的开放轨迹有效；闭合规则需落盘。

II. 名词与变量

• 世界线与参数化：Gamma_i: [t0,t1] → R^3，单位切向 t_hat = d Gamma_i / dt / |·|。
• 编织群与生成元：B_n = ⟨ σ_1, …, σ_{n-1} | σ_i σ_{i+1} σ_i = σ_{i+1} σ_i σ_{i+1}, σ_i σ_j = σ_j σ_i (|i-j|>1) ⟩。
• 编织词：w = σ_{k1}^{ε1} σ_{k2}^{ε2} …，ε ∈ {+1, -1}；置换映射 perm: B_n → S_n。
• 投影与交叉符号：π_view(·)；交叉 c 的符号 sgn(c) ∈ {+1, -1}。
• 链不变量：Lk, 自联络 Sl, 扭转/撓曲 Tw/Wr。
• 事件：E = {birth, death, swap, reconnection, boundary-hit}；时间 ts(e)。
• 计量：u(x), U = k * u_c, nu_eff；两口径差 delta_form_braid/link。

III. 公设 P905-*

• P905-1（时间单调）任何世界线参数用事件时间 t ∈ [t0,t1] 单调；发布时间 ts 另行记录。
• P905-2（投影一般性）计算编织词时的投影 π_view 应满足一般位置；若不满足，需以抽样扰动 π_view' 或时序抖动打破退化并记录。
• P905-3（两口径并行）Lk 必同时以 Gauss 积分与投影交叉和两口径计算，并记录 delta_form_link。
• P905-4（闭合规范）开放轨迹做结/链分析必须声明闭合规则 closure_policy ∈ {Alexander, plat, periodic, geodesic}。
• P905-5（边界与拓扑事件）除显式“重连（reconnection）/生成/湮灭”事件外，Lk 与 Sl 在连续形变下保持不变；事件必须被检测与落盘。
• P905-6（可复现）π_view、排序规则、滤波尺度、阈值、闭合规范与 algo.ver/seed 必落盘。

IV. 最小方程 S905-*

1. 交叉和与 Gauss 积分的等价
   • S905-1（交叉口径）：对两条有向分量 Γ_i, Γ_j，在正则投影 π_view 下
     Lk(Γ_i, Γ_j) = ( 1 / 2 ) * ( Σ_{c ∈ C_ij} sgn(c) )，C_ij 仅取跨分量交叉，和在离散时间窗内稳定。
   • S905-2（积分口径）：
     Lk(Γ_i, Γ_j) = ( 1 / ( 4*pi ) ) * ( ∬_{Γ_i×Γ_j} ( ( (r_i - r_j) / |r_i - r_j|^3 ) ⋅ ( d r_i × d r_j ) ) )。
   • 两口径差：delta_form_link = | Lk_cross - Lk_gauss |。
2. 编织词生成
   • S905-3：令 x_i(t) = π_axis( Γ_i(t) ) 给出瞬时顺序；当存在 t* 使 x_k(t*) = x_{k+1}(t*) 且投影交叉 sgn(c) = ±1，追加生成元 σ_k^{sgn(c)} 到 w，时间顺序相乘。
   • S905-4：置换映射 perm(w) 等于按时间累计的相邻交换的乘积。
3. 自联络分解与投影耦合
   S905-5：给定选定的框架 f_hat，Sl(Γ_i) = Tw(Γ_i, f_hat) + Wr(Γ_i)，
   其中 Wr 可用
   Wr(Γ) = ( 1 / ( 4*pi ) ) * ( ∬_{Γ×Γ} ( ( (r - r') / |r - r'|^3 ) ⋅ ( d r × d r' ) ) )（主值积分）计算。
4. 事件与守恒
   • S905-6：在无重连/边界事件的连续形变下，d Lk / dt = 0，d Sl / dt = 0。
   • S905-7：若发生重连事件 reconnection(Γ_a, Γ_b)，允许 ΔLk ≠ 0；必须记录 ΔLk, Δ|components| 与局部几何证据（曲率/最近距离）。
5. 闭合与结不变量（占位）
   S905-8：闭合 closure_policy 作用于末端，得有向链 K = closure(Γ)；可计算投影类不变量（如交叉数、Alexander 多项式的计算接口占位），并在 manifest 记录方法与参数。

V. 计量流程 M90-5

1. 就绪
   • 选择 π_view 与 π_axis；设置采样 Δt、滤波尺度与去噪策略；声明 closure_policy?。
   • 校核 Γ 的连续性与单调时间：non_decreasing(t) 与断点处理。
2. 世界线构建与排序
   由第3/4章的缺陷中心或密度峰跟踪得到分段线性 Γ_i(t)；用 π_axis 建立瞬时顺序并在 Δt 内稳定化。
3. 交叉检测与符号判定
   在 π_view 上检测交叉事件 c，用右手规则与有向切向判断 sgn(c)；去除伪交叉（深度遮挡/不同层）。
4. 编织词与置换累计
   依时间顺序追加 σ_k^{±1}，规约关系（σ_i σ_{i+1} σ_i = σ_{i+1} σ_i σ_{i+1} 与远交换）用于标准化（Garside/左规范）。
5. 不变量估计
   并行计算 Lk（交叉口径与 Gauss 口径）、Sl/Tw/Wr，并给出 u_c, U；若闭合，计算结/链投影类指标。
6. 事件编目
   识别 {birth, death, swap, reconnection, boundary-hit}，记录 ts, 局部几何与 ΔLk/ΔSl。
7. 校核与落盘
   执行契约 C90-51x；生成 manifest.topo.braid = {π_view, π_axis, Δt, w, perm, Lk, Sl, Tw, Wr, delta_form_link, events, closure_policy?, algo.ver, seed} 并签名。

VI. 契约与断言 C90-51x（建议）

• C90-5101 时间单调：任一 Gamma_i 的时间戳严格单调；缺失或倒序直接阻断。
• C90-5102 投影正则：三重交叉/切触占比 ≤ 0.1%；若超限，需采用扰动/降级并标注 projection.degenerate=true。
• C90-5103 两口径一致：delta_form_link_p95 ≤ tol_link（建议 tol_link = 0.05）。
• C90-5104 事件合规：若 ΔLk ≠ 0，必须存在 reconnection/boundary-hit 事件记录与几何证据。
• C90-5105 置换一致：perm(w) 等于最终 strand 排列的置换；失败阻断。
• C90-5106 闭合合规：采用闭合分析时，closure_policy 必填且与不变量计算器匹配。
• C90-5107 单位/量纲与哈希：check_dim(Lk)=check_dim(Sl)="[1]"；Γ、w、events、params 均有哈希与签名。

VII. 实现绑定 I90-5*

• I90-51 track_worldlines(cands, Δt, policy) -> Γ, diag（数据关联/插值/缺口修复）
• I90-52 braid_word_from_crossings(Γ, π_view, π_axis, Δt) -> {w, perm, crossings}
• I90-53 linking_matrix(Γ) -> {Lk_ij}（交叉与 Gauss 两口径并行，返回 delta_form_link）
• I90-54 self_linking_decompose(Γ, frame_policy) -> {Sl, Tw, Wr}
• I90-55 detect_topo_events(Γ, crossings, boundary, tol) -> events
• I90-56 normalize_braid_word(w, method) -> w_norm（Garside/左规范）
• I90-57 close_and_summarize(Γ, closure_policy) -> {K, invariants}（接口占位，返回投影类指标）
• I90-58 assert_braid_contracts(results, rules) -> report
• I90-59 emit_braid_manifest(results, policy) -> manifest.topo.braid
  不变量：non_decreasing(t)；delta_form_link ≤ tol_link；perm(w) 与终态一致；事件日志完整。

VIII. 交叉引用

• 缺陷定位与不变量源：见第3章与第4章（q_* 与 j_topo 提供世界线初值与整值校核）。
• 复形/持续稳定性：见第7–8章，用于事件鲁棒性与时间窗选择。
• 图谱拼接与过渡：见第9章（在交叠图上对 w/Lk/Sl 做一致化）。
• 不确定度传播：见第10章与附录E（交叉检测抖动、投影扰动、Gauss 积分离散误差）。
• 运行时与发布：见第14章；清单键位：见附录C。

IX. 质量与风控

• SLO：交叉检测 F1 ≥ 0.99；delta_form_link_p95 ≤ tol_link；编织词规范化成功率 ≥ 0.999；事件漏检率 ≤ 1%。
• 回退路径：full 3D Gauss → sparse Gauss + crossing sum → crossing-only (no Gauss) → order-only (perm)；逐级放大 U 并标注 fallback.stage。
• 审计：存储关键帧、交叉切片、π_view/π_axis、事件附近的局部几何与最小距离曲线段；附签名与校验哈希。

小结

• 本章将世界线的时序信息系统化为编织/结的可计算对象，确立 P905/S905/M90-5/C90-51x/I90-5* 链路。
• 通过两口径一致性、事件合规与规范闭合，确保 w/Lk/Sl 等不变量在离散时空中的可审计性与可复现性，并以 manifest.topo.braid.* 作为发布锚点。