24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0 | 第7章 数据→复形：构建与滤过

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第7章 数据→复形：构建与滤过

一句话目标：把观测数据（点云/场/图）稳定映射为可计算复形 K(τ) 与滤过 F = {K(τ)}，输出条形码/持久图，为缺陷识别、世界线与事件分析提供统一的拓扑骨架。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 点云与度量：X = {x_i ∈ R^d}, 度量 d(·,·) 或加权度量 d_w；密度/标量场 f(x)；可选权重 w(x)、置信 q(x)。
   • 网格/体素数据：规则/非规则网格上的标量 f: cells → R；掩膜与边界 ∂M。
   • 控制参数与策略：滤过参数网格 τ_grid，正则尺度 ℓ_reg，域系数域 F（如 Z_2, Z_p），最大维数 k_max。
2. 输出
   • 复形与滤过：K(τ)（τ 单/多参数），生成元与 grade(σ)；边界算子 ∂_k。
   • 持久同调：D = { (b_i, d_i, k) }，条形码与诊断（稳定性、口径差）。
   • 清单：manifest.topo.complex（构建口径、阈值、哈希、SLO 与签名）。
3. 边界与约束
   • 滤过单调：τ1 ≤ τ2 ⇒ K(τ1) ⊆ K(τ2)。
   • 维数预算：k ≤ k_max；算子与内存受限需可回退。
   • 载体定向一致，顶点全序可复现（哈希/排序规则固定）。

II. 名词与变量

• 复形类型：VR_ε（Vietoris–Rips），Cech_r（Čech），Alpha_α（α/功率复形），Cubical_λ（亚水平集），Witness_ε(L|X)。
• 滤过：F = { K(τ) | τ ∈ T, τ ↑ }；多参数 τ = (τ_1, …, τ_m) 以偏序。
• 链与边界：C_k(K;F)，∂_k: C_k→C_{k-1}；出生/死亡 b_i/d_i。
• 稳定性度量：瓶颈距离 d_B，Wasserstein 距离 d_W,p。
• 两口径差：delta_form_PH（边界矩阵 vs. 上同调/离散 Morse 口径）。
• 量纲：unit(ε)=unit(r)=unit(α)="[L]"，dim(D) = "[1]"。

III. 公设 P907-*

• P907-1（度量一致） 所用 d 为度量或准度量，声明其来源（欧氏/测地/各向异性）；加权情形需给出 d_w 定义与单位。
• P907-2（采样与尺度） 导数/密度计算的正则尺度 ℓ_reg 与滤过步长 Δτ 必显式；ℓ_reg ≥ 2.5 * grid_spacing（沿用第4章）。
• P907-3（单调滤过） 构建算法必须保证 K(τ) 单调嵌套；任何违反单调的边/胞将被拒收并记录。
• P907-4（顶点全序） 以确定性全序 ord(v) 与哈希 hash(v) 生成所有高维胞，确保复现性。
• P907-5（两口径并行） 持久同调需并行计算：边界矩阵约化（form=bdry）与上同调/离散 Morse（form=coho/morse），落盘 delta_form_PH。
• P907-6（边界策略） ∂M ≠ ∅ 时采用相对同调或填充策略，策略需落盘并在条形码中标注。
• P907-7（稳定性） 仅在 f 可驯或 X 有界/有限时发布 D；跨口径/采样的 d_B 必报告。

IV. 最小方程 S907-*

1. Rips/Čech/α/功率复形
   • S907-1 (VR)：σ = [v_0,…,v_k] ∈ VR_ε ⇔ max_{i,j} d(v_i,v_j) ≤ ε。
   • S907-2 (Čech)：σ ∈ Cech_r ⇔ ( ∩_{i} B(v_i,r) ) ≠ ∅，其中 unit(r) = "[L]"。
   • S907-3 (α/功率)：令 r_i(τ) = sqrt( τ + w_i )，σ ∈ Alpha_τ ⇔ ∩_{i} B(v_i,r_i(τ)) 非空且其 Delaunay 条件满足。
   • S907-4 (Witness)：σ ⊂ L 被 ε-见证：∀ witness x ∈ X, max_{v∈σ} d(x,v) - min_{u∈L} d(x,u) ≤ ε。
2. Cubical 复形与亚水平滤过
   • S907-5 (Sublevel)：K(λ) = { cell c | f(c) ≤ λ }；λ 单调上升给出滤过。
   • S907-6 (测度显式)：( ∫_{cells(λ)} 1 dN ) 表示细胞计数，dN 为计数测度。
3. 持久同调定义
   • S907-7：包含映射 i_{τ1→τ2}: H_k(K(τ1)) → H_k(K(τ2))；出生/死亡由像核确定。
   • S907-8：持久对 p = (b,d) 的稳定性：d_B(D_f, D_g) ≤ || f - g ||_∞（对驯函数）。
4. 两口径一致性差
   S907-9：delta_form_PH = dist_intervals( D_bdry , D_coho )（可用匹配后 L_∞ 误差或多重集对称差）。
5. Rips–Čech 互嵌（常用一致性门）
   S907-10：Cech_r ⊆ VR_{2r} ⊆ Cech_{2r}（用于阈值一致性断言）。
6. 单位与量纲校核
   S907-11：check_dim(ε) = check_dim(r) = check_dim(α) = "[L]"；check_dim(D) = "[1]"；check_dim(∂_k)= "[1]"。

V. 计量流程 M90-7

1. 就绪
   • 选择复形类型 type ∈ {VR, Cech, Alpha, Cubical, Witness} 与系数域 F；设 k_max、τ_grid、ℓ_reg、Δτ。
   • 清洗与对齐（见配套《EFT.WP.Methods.Cleaning v1.0》）：去重/去异常、度量选择与标准化。
2. 载体与邻接构建
   • 点云：构建 kNN/ε 邻接与（可选）Delaunay；网格：生成细胞与 f 的单调延拓。
   • 记录顶点全序与哈希；对权重 w(x) 归一与单位声明。
3. 复形生成
   • 按 S907-1…S907-6 构建 K(τ0) 并增广到 τ_grid；对 Witness 使用地标 L ⊂ X 与最邻近索引。
   • 对 α/功率复形，验证 Delaunay 条件与球面半径的单位一致。
4. 滤过与打分
   • 为每个胞元赋 grade(σ)（首次出现的 τ）；保证 grade 单调。
   • 输出 F = {K(τ)} 与 ∂_k(τ) 稀疏结构。
5. 持久同调计算（两口径并行）
   • form=bdry：边界矩阵列约化；
   • form=coho/morse：上同调或离散 Morse 压缩；
   • 比较生成 delta_form_PH、d_B、d_W,p。
6. 稳定性与一致性校核
   • 变动性评估：对重采样/扰动的 X' 或 f'，估计 d_B(D, D')；
   • Rips–Čech 门：抽查 S907-10 的互嵌一致性。
7. 落盘与签名
   产出 manifest.topo.complex = {type, metric, F, k_max, τ_grid, grade.hash, D, d_B, delta_form_PH, params, algo.ver, seed, boundary.policy}。

VI. 契约与断言 C90-71x（建议阈值）

• C90-7101 单调性：任意 σ 若 σ ∈ K(τ2) 且 τ1 ≤ τ2，则 σ ∈ K(τ1)；否则阻断。
• C90-7102 顶点复现：hash(v) 与 ord(v) 在同一数据上重复运行一致（哈希冲突率≈0）。
• C90-7103 两口径一致：delta_form_PH_p95 ≤ tol_PH（建议 tol_PH = 1e-3 对 Z_2）。
• C90-7104 稳定性门：对轻微扰动 ||δX||_∞ ≤ η 或 ||δf||_∞ ≤ η，d_B(D, D') ≤ η + tol_stab。
• C90-7105 Rips–Čech 一致：随机抽样子图满足 Cech_r ⊆ VR_{2r} 检验通过率 ≥ 99%。
• C90-7106 边界合规：采用相对同调时，条形码中标注 relative=true 且边界掩膜落盘。
• C90-7107 资源门：峰值内存与耗时不越过配额；越界则触发回退并放大 U。
• C90-7108 单位/量纲：check_dim(ε,r,α)="[L]"；check_dim(D)="[1]" 全部通过。

VII. 实现绑定 I90-7*

• I90-71 build_knn_graph(X, k, metric) -> G
• I90-72 build_vr_filtration(G_or_X, ε_grid) -> {K(τ), grade}
• I90-73 build_cech_filtration(X, r_grid) -> {K(τ), grade}
• I90-74 build_alpha_power_complex(X, w?, τ_grid) -> {K(τ), grade}
• I90-75 build_cubical_filtration(f, grid, λ_grid, boundary_policy) -> {K(λ), grade}
• I90-76 persistent_homology_boundary(K(τ), F, k_max) -> D_bdry, diag
• I90-77 persistent_homology_cohomology(K(τ), F, k_max) -> D_coho, diag
• I90-78 compare_persistence(D_bdry, D_coho) -> {delta_form_PH, d_B, d_Wp}
• I90-79 assert_complex_contracts(ds, rules) -> report
• I90-7A emit_complex_manifest(results, policy) -> manifest.topo.complex
  不变量：non_decreasing(τ)；K(τ1) ⊆ K(τ2)；顶点全序与定向一致；delta_form_PH ≤ tol_PH；check_dim 全通过。

VIII. 交叉引用

• 缺陷与密度源层：见第3–4章（q_* 与 j_topo 可驱动 f 的亚水平滤过）。
• 世界线与事件：见第5–6章（在 K(τ) 上追踪连通与环类的出生/死亡事件）。
• 图谱拼接与过渡：见第9章（子域复形对齐与过渡）。
• 不确定度传播：见第10章与附录E（grade 抖动、边界策略与两口径误差传播）。
• 运行时与面板：见第14章；清单键位：见附录C。

IX. 质量与风控

• SLO：delta_form_PH_p95 ≤ tol_PH；构建/持久计算成功率 ≥ 99%；d_B 在重采样下的 p95 ≤ 设定门限。
• 回退路径：full complex → sparsified (landmarks) → VR on kNN → H0-only (MST)；逐级降低维数与复杂度并放大 U。
• 审计：落盘 ord/hash、grade 直方、资源曲线、随机种子；抽样重跑并记录 d_B 分布。

小结

• 本章提供 数据 → 复形 → 滤过 → 持久同调 的工程化链路：P907/S907/M90-7/C90-71x/I90-7*。
• 通过单调滤过、两口径并行与稳定性校核，确保条形码/持久图可复现、可审计，并与缺陷/事件/图谱拼接流程无缝对接。