24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0 | 第8章 持续同调与稳定性

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第8章 持续同调与稳定性

一句话目标：建立从复形滤过到持续同调不变量的稳定性口径，给出图像/景观/核嵌入的可复现向量化与度量，并以两口径并行与自举评估保证跨噪声/采样扰动的一致性。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 滤过 F = { K(τ) } 与维度上限 k_max（见第7章）。
   • 持久图集 D = { D_k | k=0..k_max }（来自两口径：form=bdry 与 form=coho/morse）。
   • 对照数据或扰动样本：{F'}, {D'}，噪声幅度与界 η_noise，网格步长 Δτ。
   • 向量化与核参数：grid, σ, weight(·), dirs（切片方向集合）。
2. 输出
   • 稳定性度量：d_B, d_W,p, d_I（切片或单参近似），ρ_rank（秩相关）。
   • 向量化产物：Λ（persistence landscape），PI_σ（persistence image），Φ_K（diagram kernel 嵌入）。
   • 报告与清单：manifest.topo.stability（门限、分布、delta_form_*、签名）。
3. 边界与约束
   • 单参稳定性定理适用需 f 驯化或 K 有限；多参情形采用切片或匹配距离近似。
   • 所有距离/核在单位上与滤过标度一致；需声明缩放与归一策略。

II. 名词与变量

• 持久图：D_k = { (b_i, d_i) }（b_i ≤ d_i），对角线 Δ = { (t,t) }。
• 距离：d_B(D,D')（bottleneck），d_W,p(D,D')（p-Wasserstein）。
• 模块与互嵌：M_f, M_g（持久模），d_I(M_f,M_g)（interleaving distance）。
• 景观：Λ = { λ_r(t) }_{r≥1}；图像：PI_σ(u,v) 在 (birth,persistence) 坐标上栅格化。
• 核嵌入：Φ_K(D)，常用 K ∈ {PSSK, SWK}。
• 两口径差：delta_form_PH（图计算两法差），delta_form_vec（景观/图像对齐差）。
• 统计：u(x), U = k * u_c, nu_eff，以及自举样本数 B。

III. 公设 P908-*

• P908-1（可驯/有限性）：F 由有限复形与单调 grade(σ) 构成，或 f 为分段线性/可驯函数，D_k 局部有限。
• P908-2（比较一致）：跨数据比较必须满足 type/metric/coeff-field/k_max/grade.policy 一致；不一致禁止对比。
• P908-3（两口径并行）：D 必以 form=bdry 与 form=coho/morse 并行计算并记录 delta_form_PH。
• P908-4（尺度声明）：任何距离或核均声明 unit(τ) 与缩放 scale_τ；禁止隐式单位变更。
• P908-5（向量化可复现）：grid/σ/weight/dirs、插值与离散化策略固定并落盘；随机过程需 seed。
• P908-6（稳定性评估）：对 B≥20 的自举/扰动样本估计分布与置信区间；发布 p95 与 U。
• P908-7（切片充分）：多参滤过采用 dirs（≥32 个均匀方向）近似匹配/互嵌距离，并标注误差模型。

IV. 最小方程 S908-*

1. 单参稳定性与互嵌
   • S908-1（瓶颈稳定）：对可驯 f,g，( ∥ f - g ∥_∞ ) 有
     d_B( D(f), D(g) ) ≤ ( ∥ f - g ∥_∞ )。
   • S908-2（互嵌距离）：d_I(M_f, M_g) = inf { ε | M_f, M_g ε-互嵌 }，并满足
     d_B( D(f), D(g) ) = d_I(M_f, M_g)（单参）。
2. 图距离
   • S908-3（bottleneck）：
     d_B(D,D') = inf_{γ} ( sup_{x∈D} ( ∥ x - γ(x) ∥_∞ ) )，其中 γ 允许与 Δ 配对。
   • S908-4（p-Wasserstein）：
     d_W,p(D,D') = ( inf_{γ} ( Σ_{x∈D} ∥ x - γ(x) ∥_∞^p ) )^{1/p}。
3. 景观与图像向量化
   • S908-5（景观）：对每点对 (b,d) 定义 λ_{(b,d)}(t) = max( 0, min(t-b, d-t) )，则
     λ_r(t) 为所有 λ_{(b_i,d_i)} 的第 r 大值，Λ = {λ_r}。
   • S908-6（图像）：坐标变换 ψ: (b,d) → (u=b, v=d-b)，权重 w(u,v) 与核 ρ_σ，
     ( PI_σ )(ξ) = ( Σ_{p∈D} w(ψ(p)) * ρ_σ( ξ - ψ(p) ) )，ξ 为栅格中心。
4. 核嵌入与相似性
   • S908-7（PSSK 示例）：将图视作带符号测度，经热核扩散到时间 σ^2 后在 L_2 内点积：
     K_{PSS}(D,D'; σ) = ⟨ Φ_{σ}(D), Φ_{σ}(D') ⟩_{L_2}。
   • S908-8（切片Wasserstein核）：
     K_{SW}(D,D') = exp( - ( ( 1/|dirs| ) * Σ_{θ∈dirs} W_2^2( π_θ D, π_θ D' ) ) / (2σ^2) )。
5. 向量化稳定界（Lipschitz 形）
   S908-9：存在常数 L_Λ, L_PI 使
   ∥ Λ(D) - Λ(D') ∥_{L_q} ≤ L_Λ * d_B(D,D')，
   ∥ PI_σ(D) - PI_σ(D') ∥_{L_1} ≤ L_PI(σ,weight) * d_B(D,D')。
6. 两口径差与对齐
   S908-10：delta_form_PH = dist_intervals( D_bdry , D_coho )；
   delta_form_vec = ( ∥ Λ(D_bdry) - Λ(D_coho) ∥_{L_2(grid)} + ∥ PI_σ(D_bdry) - PI_σ(D_coho) \|_{L_1} ) / 2。
7. 多参近似
   S908-11：匹配距离近似
   d_match(D, D') ≈ max_{θ∈dirs} ( d_B( π_θ D , π_θ D' ) )；
   互嵌距离近似
   d_I^{slice}(M,N) = max_{θ∈dirs} d_I( M_θ, N_θ )。

V. 计量流程 M90-8

1. 就绪：选择 k_max、form∈{bdry,coho/morse}、p ∈ {1,2}、dirs、σ/grid/weight；设自举次数 B 与门限 tol_*。
2. 图计算（两口径）：由 F 计算 D_bdry, D_coho 并得 delta_form_PH；若超阈值，回溯第7章构建。
3. 距离评估：
   • 计算 d_B, d_W,p（单参）；
   • 多参采用切片得到 d_match 与 d_I^{slice}。
4. 向量化：生成 Λ 与 PI_σ，并输出 Φ_K（K∈{PSSK,SWK}）；计算 delta_form_vec 与 ρ_rank（与 d_B 的秩相关）。
5. 稳定性估计：
   • 自举/扰动生成 {D^{(b)}}_{b=1..B}；
   • 统计 d_B(D, D^{(b)}) 与向量化差的分布，给出 u/U 与 p95。
6. 一致性与门限：检查 d_B ≤ η_noise + tol_stab、delta_form_PH ≤ tol_PH、delta_form_vec ≤ tol_vec、ρ_rank ≥ ρ_min。
7. 落盘：生成 manifest.topo.stability = {k_max, forms, dists, kernels, Λ, PI_σ, delta_form_PH, delta_form_vec, dirs, B, p95, U, params, algo.ver, seed} 并签名。

VI. 契约与断言 C90-81x（建议阈值）

• C90-8101 计算一致：type/metric/coeff-field/k_max/grade.policy 完全一致方可比对。
• C90-8102 图合法定：∀(b,d)∈D, b≤d；对角配对充分，|D|<∞。
• C90-8103 瓶颈稳定：若标注扰动界 η_noise，则 d_B_p95 ≤ η_noise + tol_stab（建议 tol_stab = 0.05 * scale_τ）。
• C90-8104 两口径差：delta_form_PH_p95 ≤ tol_PH（建议 tol_PH = 1e-3 对 Z_2）。
• C90-8105 向量化一致：delta_form_vec_p95 ≤ tol_vec（建议 tol_vec = 0.02 * scale_Λ）；ρ_rank ≥ 0.9。
• C90-8106 切片覆盖：|dirs| ≥ 32 且均匀；若不足则标注 slice.sparse=true 并放大 U。
• C90-8107 资源与可复现：超配额触发回退；seed 与 grid/hash 必落盘。
• C90-8108 单位/量纲：check_dim(d_B)=unit(τ)；check_dim(Λ,PI,Φ_K)="[1]"。

VII. 实现绑定 I90-8*

• I90-81 persistence_diagram(F, k_max, form) -> D
• I90-82 bottleneck_distance(D1, D2) -> d_B
• I90-83 wasserstein_distance(D1, D2, p) -> d_Wp
• I90-84 interleaving_distance_sliced(F1, F2, dirs) -> d_I_slice
• I90-85 persistence_landscape(D, grid?) -> Λ
• I90-86 persistence_image(D, grid, σ, weight) -> PI_σ
• I90-87 diagram_kernel(D1, D2, kind, params) -> K_val
• I90-88 bootstrap_stability(D, B, noise_policy) -> {dist_stats, u/U}
• I90-89 compare_vectorizations(Λ, PI_σ) -> {delta_form_vec, ρ_rank}
• I90-8A assert_stability_contracts(results, rules) -> report
• I90-8B emit_stability_manifest(results, policy) -> manifest.topo.stability
  不变量：non_decreasing(τ)；delta_form_PH ≤ tol_PH；seed/params 落盘；check_dim 全通过。

VIII. 交叉引用

• 复形与滤过：见第7章（K(τ), grade）。
• 世界线/事件：见第5–6章（稳定阈值决定事件鲁棒性）。
• 图谱拼接与过渡一致化：见第9章（跨域稳定性与门限共享）。
• 查询与索引：见第10章（景观/图像/核的索引与检索）。
• 运行时与面板：见第14章；清单键位：见附录C；误差传播：见附录E。

IX. 质量与风控

• SLO：d_B 计算成功率 ≥ 99.5%；delta_form_PH_p95 ≤ tol_PH；ρ_rank ≥ 0.9；自举 B 达标率 100%。
• 回退路径：full diagrams → sliced-matching → H0-only (MST差) → thresholded features，层层放大 U 并标注 fallback.stage。
• 审计：落盘最优匹配 γ* 的配对、未配对到对角线的权重、切片方向集、核/景观/图像参数、随机种子与资源曲线；附签名与哈希。

小结

• 本章给出持续同调稳定性的工程化口径：P908/S908/M90-8/C90-81x/I90-8*。
• 通过两口径并行、距离与向量化的双重稳定校核以及自举分布报告，保障持久特征在噪声与采样扰动下的可复现与可审计；结果以 manifest.topo.stability.* 统一发布。