24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0 | 第9章 图谱（Atlas）构建与坐标过渡

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第9章 图谱（Atlas）构建与坐标过渡

一句话目标：以局部图册覆盖 M 并在重叠区定义过渡映射 T_ab，将复形/持久特征与缺陷世界线在全域上无缝拼接，产出可查询、可审计的拓扑图谱 Atlas。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 载体与覆盖：流形（或分片流形）M，边界 ∂M，良好覆盖 U = { U_a }（M = ⋃_a U_a）。
   • 局部产物：每个 U_a 的复形滤过 K_a(τ)、持久图 D_a、局部缺陷/世界线 Γ_a(t) 与事件 G_{event,a}（见第5–7章）。
   • 对齐证据：几何锚点、特征对应、d_B(D_a, D_b)、ρ_rank 等（见第8章）。
2. 输出
   • 图谱 Atlas = { (U_a, phi_a, K_a, D_a) } 与过渡族 T = { T_ab : U_a∩U_b → Aut(Chart) }。
   • 全域拼接产物：全局段 Γ(t)、全局事件图 G_event、全域持久摘要 D_global、场/密度拼接 q_global。
   • 合规清单：manifest.topo.atlas（覆盖、过渡、度量、两口径差、审计哈希）。
3. 边界与约束
   • 覆盖“良好”：任意有限交 U_{a_1…a_k} 连通或可处理为有限分量；三重交上满足余环条件。
   • 单位/尺度一致：unit(τ), unit(x) 与 metric 在所有图上显式声明并对齐。
   • ∂M 策略（相对同调/填充）一致（见第7–8章）。

II. 名词与变量

1. 局部坐标：phi_a : U_a → R^d；局部滤过标定 grade_a(σ)。
2. 过渡映射三元组：T_ab = ( g_ab, r_ab, π_ab )，其中
   • g_ab：几何对齐（刚体/仿射/测地映射）；
   • r_ab：滤过重标定 τ_a = s_ab * τ_b + b_ab（s_ab>0）；
   • π_ab：胞/生成元的匹配与重标定（上同调基切换）。
3. 余环与一致性量：Δ_cyc(a,b,c) = || T_ab ∘ T_bc ∘ T_ca - id ||；
   两口径差：delta_form_glue（“先全局再分解”与“先分解再拼接”的差异）。
4. 权重与拼接：分片单位分解 ψ_a(x), Σ_a ψ_a(x)=1，ψ_a≥0，supp(ψ_a)⊂U_a。
5. 质量门：κ_overlap = inf_x max_{a,b} 1_{x∈U_a∩U_b}（覆盖冗余度指标）。

III. 公设 P909-*

1. P909-1（良好覆盖）：U 为良好覆盖；若非，则引入细分 U' 直至交集连通。
2. P909-2（过渡保拓扑）：在 U_a∩U_b 上，T_ab 保持同调等价与度量缩放的一致性，d_B(D_a, T_ab# D_b) 最小化。
3. P909-3（滤过单调与标定一致）：r_ab 单调且可逆，s_ab>0；各图 grade_a 经过对齐。
4. P909-4（两口径并行）：全域量可由两条路径获得并记录差异：
   • global-by-glue：局部→过渡→拼接；
   • global-by-recompute：在合成坐标上重建 K(τ) 与 D；
     记 delta_form_glue。
5. P909-5（三角一致）：任意三重交上 Δ_cyc(a,b,c) ≤ tol_cyc；若超限，禁止发布。
6. P909-6（边界一致）：∂M 的相对同调策略在过渡下不改变边界通量记账。
7. P909-7（可审计）：T_ab 的估计证据（对应点/配对/能量）与随机种子落盘。

IV. 最小方程 S909-*

1. 过渡一致性
   • S909-1：在 U_a∩U_b 上有 phi_a = g_ab ∘ phi_b；对滤过标度 τ_a = s_ab * τ_b + b_ab。
   • S909-2（同调自然性）：H_k(K_b(τ)) --(T_ab#)--> H_k(K_a(r_ab(τ))) 与包含映射交换。
   • S909-3（三角余环）：Δ_cyc(a,b,c) = || T_ab ∘ T_bc ∘ T_ca - id ||，需 ≤ tol_cyc。
2. 局部到全域的拼接
   • S909-4（单位分解）：对任意标量/密度场 q，
     q_global(x) = Σ_a ψ_a(x) * ( q_a ∘ phi_a^{-1} )(x)。
   • S909-5（图/特征拼接）：对向量化 PI_σ 或 Λ，
     V_global = Σ_a W_a ⊙ V_a，其中 W_a = norm(ψ_a) 在特征坐标上延拓。
3. 持久图运输与一致性度量
   S909-6：D_{b→a} = T_ab#(D_b)；
   d_B^{ab} = d_B( D_a , D_{b→a} )，门限 d_B^{ab} ≤ tol_match。
4. 两口径差
   S909-7：delta_form_glue = dist_intervals( D_global^recomp , D_global^glue )（可用瓶颈或 L_1 景观差）。
5. 世界线/事件拼接
   • S909-8：轨迹在交叠区以最近邻与速度/曲率约束匹配：
     match(Γ_a, Γ_b) = argmin Σ_t ( || g_ab(Γ_b(t)) - Γ_a(t) ||_2^2 + λ * |κ_a - κ_b| )，得映射 Π_ab。
   • S909-9：事件图合并：同一事件若 d_t ≤ tol_t 且 d_B^{ab} ≤ tol_match，则判为同一节点并并合跳变量。
6. 单位/量纲
   S909-10：check_dim(s_ab) = "[1]"，check_dim(b_ab)=unit(τ)；check_dim(Δ_cyc)= "[1]"；check_dim(d_B)=unit(τ)。

V. 计量流程 M90-9

1. 就绪：规划覆盖 U（网格/自适应/基于密度），设 tol_match/tol_cyc/tol_glue 与 ψ_a 生成策略；固定 metric/coeff/k_max。
2. 局部构建：在每个 U_a 上完成 K_a(τ)、D_a、Γ_a/G_{event,a}（见第7章、第5–6章）。
3. 过渡估计：
   • 估计 g_ab（ICP/特征/测地拟合）；
   • 回归 r_ab: τ_a = s_ab τ_b + b_ab 以最小化 d_B^{ab}；
   • 计算基切换 π_ab（上同调基对齐/Smith 归约）。
4. 一致性校核：评估 Δ_cyc、d_B^{ab}、相对同调边界一致性；失败则细化覆盖或更新模型。
5. 拼接合成：用 ψ_a 拼接 q/PI_σ/Λ；用 Π_ab 合并 Γ/事件；构造 Atlas 与 G_event 全域版。
6. 两口径比对：
   • global-by-glue：由局部与 T_ab 合成 D_global^glue；
   • global-by-recompute：在参考坐标上全域重建 K(τ) 与 D_global^recomp；
   • 计算 delta_form_glue。
7. 落盘：manifest.topo.atlas = {U, ψ, T_ab, r_ab, π_ab, κ_overlap, Δ_cyc, d_B^{ab}, delta_form_glue, policy, algo.ver, seed, signatures} 并签名。

VI. 契约与断言 C90-91x（建议阈值）

• C90-9101（覆盖冗余）：κ_overlap ≥ 1 且 p99 ≥ 2（关键区域至少双覆盖）。
• C90-9102（配准质量）：d_B^{ab}_p95 ≤ tol_match；推荐 tol_match = 0.05 * scale_τ。
• C90-9103（三角一致）：Δ_cyc_p95 ≤ tol_cyc；推荐 tol_cyc = 1e-3。
• C90-9104（两口径一致）：delta_form_glue_p95 ≤ tol_glue；推荐 tol_glue = 0.02 * scale_τ。
• C90-9105（边界合规）：∂M 相对同调策略一致且通量差 ≤ tol_boundary。
• C90-9106（单位与量纲）：check_dim(s_ab)="[1]"，check_dim(b_ab)=unit(τ) 全通过。
• C90-9107（追踪连贯）：跨图 Γ 的速度与曲率跳变 p95 ≤ tol_geom，否则标注 break 并回溯配准。
• C90-9108（审计充分）：每个 T_ab 必有证据与哈希；缺失即拒收。

VII. 实现绑定 I90-9*

• I90-91 plan_cover(M, policy) -> {U_a, ψ_a}
• I90-92 build_local_charts(data, U_a, policy) -> {phi_a, K_a(τ), D_a, Γ_a, G_{event,a}}
• I90-93 estimate_transition(U_a∩U_b, K_a, K_b, D_a, D_b) -> T_ab=(g_ab, r_ab, π_ab)
• I90-94 align_filtrations(D_a, D_b, model) -> {s_ab, b_ab, d_B^{ab}}
• I90-95 transport_diagram(D_b, T_ab) -> D_{b→a}
• I90-96 stitch_sections({q_a, ψ_a}, {T_ab}) -> q_global
• I90-97 merge_tracks_events({Γ_a, G_{event,a}}, {T_ab}) -> {Γ, G_event}
• I90-98 check_cocycle({T_ab}) -> {Δ_cyc, report}
• I90-99 compare_glue_vs_recompute(Atlas) -> delta_form_glue
• I90-9A assert_atlas_contracts(ds, rules) -> report
• I90-9B emit_atlas_manifest(results, policy) -> manifest.topo.atlas
  不变量：non_decreasing(τ)；Σ_a ψ_a ≡ 1（数值容差内）；Δ_cyc ≤ tol_cyc；delta_form_glue ≤ tol_glue；check_dim 全通过。

VIII. 交叉引用

• 复形与滤过构建：见第7章；稳定性与距离：见第8章。
• 世界线与事件：见第5–6章（拼接与全域事件图合成）。
• 查询与索引：见第10章（图谱级签名与近邻查询）。
• 运行时与面板：见第14章；清单键位：见附录C。
• 误差传播与不确定度：见附录E（s_ab/b_ab 与 T_ab 的不确定度注入）。

IX. 质量与风控

• SLO：d_B^{ab}_p95 ≤ tol_match；Δ_cyc_p95 ≤ tol_cyc；delta_form_glue_p95 ≤ tol_glue；拼接成功率 ≥ 99%。
• 回退路径：full atlas → 区域簇 atlas → H0-only (连通类) → 网格块并置，逐级降维并放大 U。
• 审计：保存交叠区对齐证据（特征对应、最优配对 γ*、残差直方）、T_ab 参数、单位分解、资源曲线与随机种子；产出可复现实验脚本哈希与签名。

小结

• 本章明确了图册构建与过渡映射的工程口径：P909/S909/M90-9/C90-91x/I90-9*。
• 通过良好覆盖、过渡保拓扑、单位分解拼接与两口径比对，形成可查询、可复现、可审计的全域拓扑图谱，并以 manifest.topo.atlas.* 统一发布。