24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0 | 第10章 不变量的计量与校准

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第10章 不变量的计量与校准

一句话目标：对拓扑不变量（β_k, χ, W, deg, Lk, Q_Hopf, TP_q, H_p 等）给出可复现的计量与校准口径，建立两口径并行（积分/组合）与偏差闭环，使不同图册与采样条件下的不变量可比对、可审计。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 复形与滤过：F = {K(τ)}、参考层 τ*、系数域 F_field、k_max（见第7–8章）。
   • 场与世界线：相位/取向场 θ(x), n(x) ∈ S^2，闭合曲线族 Γ = {Γ_i}，边界策略 boundary.policy。
   • 稳定性与对齐：dirs/σ/grid、Δτ、ℓ_reg、过渡映射 T_ab 与单位分解 ψ_a（见第8–9章）。
2. 输出
   • 不变量估计：Inv = { β_k , χ , W , deg , Lk , Q_Hopf , TP_q , H_p , ring_* } 与不确定度 u(x)。
   • 校准项：离散化/边界/配准引入的 corr_disc(inv; RefCond) 与残差。
   • 清单：manifest.topo.invariants（方法口径、两口径差、门限与签名）。
3. 边界与约束
   • 定向与系数域固定；闭合条件或相对同调策略显式；所有不变量 dim = "[1]"，unit = "[1]"。
   • 两口径并行且落盘差异。

II. 名词与变量

• β_k = rank H_k(K;F_field)；χ（Euler 特征）；W（S^1→S^1 绕数）；deg（度/次数）；
  Lk(Γ_i,Γ_j)（Gauss 链环数）；Q_Hopf（Hopf 指数）；TP_q（总持续度）；H_p（持续熵）。
• 离散微分算子：d（外微分）、⋆（Hodge）、∧（楔积）；拉普拉斯 Δ；测度 dℓ/dS/dV。
• 两口径差：delta_form_inv(formA, formB)；容差：tol_int, tol_link, tol_hopf。
• 参考条件：RefCond = {grid, ℓ_reg, τ*, F_field, boundary.policy, dirs, σ}。

III. 公设 P910-*

• P910-1（定向与系数域一致）：在全流程固定 orientation 与 F_field；不同则禁止比对。
• P910-2（闭合或相对条件声明）：Γ_i 闭合或边界处理（相对同调/填充）需显式；W/deg 的圈与像域必须闭合。
• P910-3（两口径并行）：每个不变量同时以 form=int（积分/DEC）与 form=comb（组合/同调）估计并记录 delta_form_inv。
• P910-4（尺度与滤波固定）：ℓ_reg、Δτ、grid、σ 等影响量度的参数必须落盘并用于校准。
• P910-5（图谱一致）：图册拼接后全域不变量采用单位分解与 Mayer–Vietoris 一致化（见第9章）。
• P910-6（整数守恒）：量子化不变量对闭合条件应为整数，发布前执行邻近取整偏差检查。
• P910-7（可审计）：所有参考案例与校准曲线、随机种子与求解容差落盘。

IV. 最小方程 S910-*

1. 同调型不变量
   • S910-1：β_k = rank H_k( K(τ*); F_field )。
   • S910-2（Euler）：χ = ( Σ_{k=0}^{k_max} (-1)^k f_k ) = ( Σ_{k=0}^{k_max} (-1)^k β_k )。
   • S910-3（Mayer–Vietoris）：χ(U∪V) = χ(U) + χ(V) - χ(U∩V)，推广至有限覆盖。
2. 相位/度/绕数
   • S910-4（绕数）：W = ( 1 / (2π) ) * ( ∮_{γ} dθ )，γ ⊂ R^2 闭合曲线。
   • S910-5（Skyrmion/度，2D）：设 n: R^2→S^2，
     deg = ( 1 / (4π) ) * ( ∬ ( n · ( ∂_x n × ∂_y n ) ) dS )。
3. 链环与 Hopf
   • S910-6（Gauss 链环数）：
     Lk(Γ_1, Γ_2) = ( 1 / (4π) ) * ( ∬ ( ( r_1 - r_2 ) · ( d r_1 × d r_2 ) / | r_1 - r_2 |^3 ) )。
   • S910-7（Hopf 指数）：存在 A 使 B = ∇×A = n^*ω（ω 为 S^2 面元），则
     Q_Hopf = ( 1 / (4π)^2 ) * ( ∭ ( A · B ) dV )。
4. 持续统计不变量
   • S910-8（总持续度）：TP_q(D) = ( Σ_i ( d_i - b_i )^q )，q ≥ 1。
   • S910-9（持续熵）：令 pers_i = d_i - b_i，p_i = pers_i / ( Σ_j pers_j )，
     H_p(D) = ( - Σ_i p_i * log p_i )。
5. 两口径差与量纲
   • S910-10：delta_form_inv = | inv_int - inv_comb | 或对图 dist_intervals/景观范数差。
   • S910-11（量纲）：check_dim(β_k, χ, W, deg, Lk, Q_Hopf, TP_q, H_p) = "[1]"。

V. 计量流程 M90-10

1. 就绪
   选定 τ*（优先使用第8章稳定性建议）、F_field、k_max、ℓ_reg/Δτ/grid/σ、boundary.policy；定义目标不变量集合 Inv_set。
2. 预处理
   对场 θ/n 做尺度 ℓ_reg 平滑与幅值裁剪；检查曲线闭合与顶点全序；修复法向一致性。
3. 组合口径（form=comb）
   由 K(τ*) 计算 β_k、χ；基环/杯积结构 ring_*（可选，上同调算法）。
4. 积分/DEC 口径（form=int）
   • W/deg：用 DEC 或有限差分计算 ( ∮ dθ ) 与 n · (∂_x n × ∂_y n) 的离散积分；
   • Lk：对折线 Γ 用 Gauss 双重求积（自适应分段）；
   • Q_Hopf：构造 B = n^*ω，求解 ∇×A=B, ∇·A=0（FFT/Poisson）并积分 A·B。
5. 两口径并行与对齐
   计算 inv_int 与 inv_comb，输出 delta_form_inv；对 χ 用两式（胞计数/Betti 和）交叉校核。
6. 图谱拼接一致化
   • 在覆盖 {U_a} 上计算局部不变量并用 ψ_a 拼接；χ 按 S910-3 的包含-排除合成；
   • 曲线/事件的跨图链接采用 T_ab（见第9章）。
7. 校准与修正
   • 运行基准案例（见下）测得偏差曲线 corr_disc(inv; RefCond) 并应用到目标数据；
   • 对量子化不变量执行最近整数逼近并记录残差。
8. 不确定度评估
   • 自举与参数扰动（grid/ℓ_reg/σ）生成样本，估计 u_c 与 U = k * u_c；
   • 报告 p50/p95 与覆盖度。
9. 落盘
   manifest.topo.invariants = {Inv, delta_form_inv, corr_disc, u/U, RefCond, τ*, algo.ver, seed, boundary.policy, evidence} 并签名。

VI. 契约与断言 C90-101x（建议阈值）

• C90-10101（整数门）：闭合/紧支撑条件下，| round(χ) - χ_int | ≤ tol_int，同理 W/deg/Lk/Q_Hopf；建议 tol_int = 1e-3。
• C90-10102（两口径一致）：delta_form_inv_p95 ≤ tol_inv；建议 tol_inv = 0.02（维度无关）。
• C90-10103（边界合规）：若非闭合，必须标注 relative=true 且给出边界通量修正；未标注即拒收。
• C90-10104（Hopf/链环一致）：对 Hopf 纤维的两条预像 C_1,C_2，|Lk(C_1,C_2) - Q_Hopf| ≤ tol_hopf；建议 tol_hopf = 0.05。
• C90-10105（稳定性门）：对 η 级扰动，|inv^{(b)} - inv|_p95 ≤ η + tol_stab；建议 tol_stab = 0.05。
• C90-10106（资源门）：内存/时间不越配额；越界需降阶或稀疏并放大 U。
• C90-10107（量纲门）：check_dim(all) = "[1]" 全通过。
• C90-10108（图谱一致）：包含-排除与单位分解合成的差 ≤ tol_glue_inv（建议 0.02）。

VII. 实现绑定 I90-10*

• I90-101 compute_betti(K, F_field, k_max) -> {β_k}
• I90-102 compute_euler(f_counts?, β_k?) -> χ（两口径：胞计数与 Betti 差分）
• I90-103 compute_winding(theta, gamma) -> W
• I90-104 compute_degree(n_field, domain) -> deg
• I90-105 compute_linking(curves) -> {Lk_ij}（Gauss 双重积分 + 几何健壮化）
• I90-106 compute_hopf(n_field, solver) -> Q_Hopf
• I90-107 persistence_stats(D, q) -> {TP_q, H_p}
• I90-108 calibrate_invariants(cases, RefCond) -> corr_disc
• I90-109 atlas_aggregate_invariants(local_results, ψ, overlaps) -> Inv_global
• I90-10A compare_invariant_forms(inv_int, inv_comb) -> delta_form_inv
• I90-10B bootstrap_invariant(inv, policy) -> {u, U, p95}
• I90-10C assert_invariant_contracts(ds, rules) -> report
• I90-10D emit_invariant_manifest(results, policy) -> manifest.topo.invariants
  不变量：non_decreasing(τ)；orientation/F_field 固定；delta_form_inv ≤ tol_inv；check_dim 全通过。

VIII. 交叉引用

• 复形/滤过与稳定性：见第7–8章（选择 τ* 与向量化门）。
• 图谱拼接与过渡：见第9章（ψ_a, T_ab 与包含-排除）。
• 世界线与事件：见第5–6章（Γ 的闭合性与事件合并对 Lk/Q_Hopf 的影响）。
• 清单与运行：见第14章；清单键位：见附录C；误差传播：见附录E。

IX. 质量与风控

• SLO：delta_form_inv_p95 ≤ tol_inv；整数门通过率 ≥ 99%（闭合样本）；Hopf–链环一致门通过率 ≥ 98%。
• 回退路径：full DEC → 稀疏网格/降阶 → 仅组合不变量 (β_k, χ) → H0-only，逐级放大 U 并标注 fallback.stage。
• 审计：保存积分细节（求积点数、容差）、Poisson/FFT 求解残差、边界掩膜、参考案例对照表、随机种子与资源曲线。

小结

• 本章给出拓扑不变量的工程化计量与校准闭环：P910/S910/M90-10/C90-101x/I90-10*。
• 通过两口径并行、基准校准与图谱一致化，确保 Inv 在不同采样/覆盖/噪声下的可比性与可审计性，并以 manifest.topo.invariants.* 统一发布。