24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0 | 第12章 噪声、清洗与稳健性

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第12章 噪声、清洗与稳健性

一句话目标：建立从“信号域清洗→复形/滤过稳健化→不变量稳定发布”的一体化口径，使拓扑图谱在噪声与异常下保持稳定、可审计与可回溯。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 原始数据：标量/向量/取向场 f(x), v(x), n(x)（n ∈ S^1/S^2）、轨迹/世界线 Γ、事件流。
   • 噪声与异常模型：noise ∈ {Gaussian, Poisson, speckle, salt&pepper, bias, drift}, 异常 outlier。
   • 现有产物：K(τ), D（持久图）、Atlas 与 T_ab, ψ_a（见第7–9章）。
2. 输出
   • 清洗后数据与稳健复形：f' , n' , Γ' , K'(τ) 与 D'；稳健参数 σ, λ, TV, iters。
   • 稳健度评估：d_B(D, D'), η_stab（扰动响应）、u_clean。
   • 清单：manifest.topo.cleaning（方法、超参、证据、两口径差、签名）。
3. 边界与约束
   • 取向场保持单位模：||n'||=1；non_decreasing(τ) 保持；Σ_a ψ_a ≡ 1 不变（见第9章）。
   • 两口径并行：clean→build vs build→simplify 必比对并记录差异。

II. 名词与变量

• 噪声规模与度量：σ（强度），SNR/PSNR，ε（扰动半径），p_out（离群比例）。
• 清洗算子族：平滑核 G_σ，热方程 ∂_t f = Δ f，各向异性扩散 ∂_t f = div(g(|∇f|) ∇f)，TV 去噪，双边 B_σ，非局部均值 NLM，图拉普拉斯 L = D - W。
• 圆/球值平均：circmean（S^1），projmean（S^2，向量均值后归一）。
• 稳健损失：ρ_Huber(r;δ), ρ_Cauchy(r; c)；加权 w = ψ( r )。
• 两口径差：delta_form_clean = dist_intervals( D(clean(data)) , simplify(D(raw)) )。
• 参考条件：RefCond = {σ, model, TV, λ, iters, grid, τ_policy}。

III. 公设 P912-*

• P912-1（取向守恒）》：清洗对 S^1/S^2 场采用流形内运算（圆/球均值或指数映射），保持单位模。
• P912-2（拓扑优先）》：清洗过程不得改变 H_k` 的秩超过允许门限，默认以持久度阈值进行拓扑保护（见第8章）。
• P912-3（两口径并行）》：formA = clean→build与formB = build→simplify并行计算并记录delta_form_clean`。
• P912-4（Atlas 一致）》：在重叠区清洗参数一致或经 T_ab 重标定；Σ_a ψ_a` 不被破坏。
• P912-5（可审计）》：滤波核、权重、掩膜与迭代轨迹全部落盘；随机性固定 seed`。
• P912-6（量纲与单位）》：check_dim(all params) = "[1]"`（除空间步长/时间步长外）。

IV. 最小方程 S912-*

1. 信号域清洗
   • S912-1（各向同性核）》：f' = G_σ * f，G_σ(x) = (1/( (2πσ^2)^{d/2} )) exp( -|x|^2/(2σ^2) )`。
   • S912-2（热扩散）》：∂_t f = Δ f，离散化 f^{t+1} = (I - αL) f^t，α>0`。
   • S912-3（各向异性）》：∂_t f = div( g(|∇f|) ∇f )，如 g(s)=1/(1+(s/κ)^2)`。
   • S912-4（TV-ROF）》：min_u ( (1/2) ||u - f||_2^2 + λ ||∇u||_1 )`。
   • S912-5（双边/NLM）》：u(x) = ( Σ_y f(y) w_s(x,y) w_r(f(x),f(y)) ) / ( Σ_y w_s w_r )`。
2. 取向场稳健化
   • S912-6（S^1 场）》：复数相位表示 z = exp(iθ)，z' = (Σ_y w(x,y) z(y)) / |Σ_y w(x,y) z(y)|，θ' = arg z'`。
   • S912-7（S^2 场）》：n' = normalize( Σ_y w(x,y) n(y) )`。
3. 复形与滤过稳健化
   • S912-8（稳健阈值）》：τ' = r(τ; σ) = a τ + b以最小化d_B(D, D')，a>0`。
   • S912-9（持久简化）》：删除 pers < τ_pers 的配对；τ_pers由σ` 与稳定定理给出。
   • S912-10（图拉普拉斯平滑）》：K'(τ) = smooth(K(τ), L_K, iters)，保持 k`-邻接不变。
4. 异常与稳健拟合
   • S912-11（Huber）》：ρ_Huber(r)= { (1/2)r^2, |r|≤δ ; δ(|r|-δ/2), |r|>δ }，w = ψ(r)=min(1, δ/|r|)`。
   • S912-12（RANSAC）》：在 Γ拟合过程中，内点集合I* = argmax_I |I|使残差 <ε`。
5. 两口径差与稳定性
   • S912-13：delta_form_clean = d_B( D_{clean→build}, D_{build→simplify} )。
   • S912-14（扰动响应）》：η_stab(ε) = sup_{||δ||≤ε} d_B( D(f+δ), D(f) )`。
6. 单位/量纲
   S912-15：check_dim(σ)=unit(x)（若以像素则无量纲），check_dim(λ)="[1]"，check_dim(d_B)=unit(τ)。

V. 计量流程 M90-12

• 就绪：估计噪声与异常（残差谱/马氏距离/空域一致性），设 σ/λ/iters 与 τ_pers 初值，锁定 RefCond。
• 信号/取向清洗：对 f/n/Γ 分别应用 G_σ/TV/各向异性 与 S^1/S^2 场平均，保存掩膜与权重。
• 复形稳健化：在 Atlas 图上按 r(τ;σ) 重标定滤过，执行持久简化并保 k_max。
• 两口径并行：计算 D_{clean→build} 与 D_{build→simplify}，得到 delta_form_clean。
• 稳健拟合与异常处理：对 Γ/事件 运行 Huber/RANSAC，标注剔除样本并回写证据。
• 评估与调参：基于 d_B/η_stab/SNR 网格搜索或贝叶斯优化，直至契约满足。
• 落盘：manifest.topo.cleaning = {method, params, masks, τ_pers, r(·), d_B, η_stab, delta_form_clean, RefCond, algo.ver, seed, evidence} 并签名。

VI. 契约与断言 C90-121x（建议阈值）

• C90-12101（拓扑守恒）》：|β_k' - β_k|_p95 ≤ tol_beta（默认 tol_beta=1`）或解释性证据到位。
• C90-12102（两口径一致）》：delta_form_clean_p95 ≤ tol_clean（建议 0.02 * scale_τ`）。
• C90-12103（稳定门）》：η_stab(ε) ≤ ε + tol_stab（建议 tol_stab=0.05`）。
• C90-12104（Atlas 一致）》：sup_x |Σ_a ψ_a - 1| ≤ 1e-6；Δ_cyc` 无劣化（见第9章）。
• C90-12105（取向守恒）》：||n'||=1数值误差≤ 1e-6`；相位跳变处跟踪连续分支。
• `C90-12106（资源/SLO）》：清洗阶段耗时与内存不越配额；越界触发降阶策略。

VII. 实现绑定 I90-12*

• I90-121 estimate_noise(data, policy) -> {σ, model, SNR}
• I90-122 denoise_scalar(field, method, params) -> f'（method ∈ {Gaussian, Heat, Aniso, TV, Bilateral, NLM, Graph}）
• I90-123 denoise_orientation_S1(theta, W) -> theta'
• I90-124 denoise_orientation_S2(n, W) -> n'
• I90-125 robust_tracks(Γ, loss, eps) -> Γ', tags（loss ∈ {Huber, Cauchy, RANSAC}）
• I90-126 stabilize_filtration(K(τ), σ, policy) -> K'(τ), r(τ)
• I90-127 simplify_persistence(D, τ_pers) -> D'
• I90-128 compare_clean_forms(D_clean_build, D_build_simplify) -> delta_form_clean
• I90-129 evaluate_stability(data, ε_grid) -> η_stab
• I90-12A assert_cleaning_contracts(ds, rules) -> report
• I90-12B emit_cleaning_manifest(results, policy) -> manifest.topo.cleaning
  不变量：non_decreasing(τ)；Σ ψ ≡ 1；||n'||=1；delta_form_clean ≤ tol_clean；check_dim 全通过。

VIII. 交叉引用

• 复形构建与滤过：见第7章；稳定与距离：见第8章。
• 图谱与过渡一致：见第9章（T_ab, ψ_a, Δ_cyc）。
• 不变量计量：见第10章（清洗前后 Inv 的两口径比对）。
• 增量维护：见第11章（清洗参数变更以补丁提交）；误差传播：见附录E。

IX. 质量与风控

• SLO：delta_form_clean_p95 ≤ tol_clean；η_stab 门通过率 ≥ 99%；取向守恒失败率 ≤ 1e-6。
• 回退路径：TV/各向异性 → 热扩散 → 高斯核 → 仅持久简化 → H0-only，逐级放宽并标注 fallback.stage。
• 审计：保存核/权重场、掩膜、迭代曲线、被删持久对列表、异常样本 ID、随机种子与资源曲线；对关键区域生成对比快照与哈希。

小结

• 本章给出噪声、清洗与稳健性的工程闭环：P912/S912/M90-12/C90-121x/I90-12*。
• 通过“信号域清洗 + 复形稳健化 + 两口径比对 + 契约门”，保证拓扑图谱在噪声与异常下的稳定可用与可审计，并以 manifest.topo.cleaning.* 统一发布。