24-EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0 | 第13章 图谱对比、度量与检索

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第13章 图谱对比、度量与检索

一句话目标：定义拓扑图谱相似性度量与检索管线，建立“精确度量↔近似嵌入”两口径并行与偏差闭环，支撑跨数据源、跨图册的快速对比与可审计检索。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 图谱与要素：Atlas = { (U_a, phi_a, K_a(τ), D_a, Γ_a, G_{event,a}), T_ab, ψ_a }（见第9–11章）。
   • 查询与库：Q（查询图谱/子域/不变量集）、DB = {Atlas_i}。
   • 度量策略：metric.policy = {on={D, λ, β_seq, Inv, Γ, G_event}, align={τ, trans}, norm, kernel, approx}。
2. 输出
   • 相似度与排名：score( Q, Atlas_i )，前 K 检索集 TopK。
   • 两口径差：delta_form_retr = | d_exact - d_approx | 或景观/核空间范数差。
   • 清单：manifest.topo.search（度量口径、索引摘要、证据、签名）。
3. 边界与约束
   • non_decreasing(τ)、Σ_a ψ_a ≡ 1 需保持；跨图比较需声明 align 与归一化 norm。
   • 所有度量与相似度的 unit(·) 与 dim(·) 必显式。

II. 名词与变量

• 持久图与景观：D = {(b_i, d_i)}，λ_D(t,k)（第 k 大 t-切片高度）。
• 典型距离：d_B（bottleneck）、W_p（p-Wasserstein），||λ_D - λ_E||_p。
• 核函数：k_PSS（persistence scale-space），k_SW（sliced Wasserstein）。
• 图谱级距离：d_Atlas（见第11章 S911-5），这里扩展为跨图册对齐后的距离 d_Atlas^align。
• 轨迹/曲线距离：d_F（Fréchet），d_DTW（动态时间规整）；事件图距离 d_GED（graph edit）。
• 嵌入与索引：Φ(·) → R^m（景观/图核/图谱签名），Z = Φ(Atlas)，Index ∈ {HNSW, PQ, IVFPQ}。
• 两口径：form=exact（精确度量）与 form=approx（嵌入/索引近似）。

III. 公设 P913-*

• P913-1（对齐先行）：任意跨图册度量前，需给出 align={τ, T_ab, norm}；未对齐的距离只可作粗筛。
• P913-2（两口径并行）：对每个候选返回 d_exact 与 d_approx，记录 delta_form_retr 并用于阈值门。
• P913-3（分解与汇总）：局部距离按单位分解权重 ψ_a 汇总；重叠区重复计数须校正。
• P913-4（量纲合规）：unit(d_B)=unit(τ)，unit(W_p)=unit(τ)，unit(d_F)=unit(x)；核相似度无量纲。
• P913-5（可审计）：查询副本、索引版本、随机种子与候选证据（匹配对、最短路、配对条目）落盘。
• P913-6（稳定窗口）：在第8章建议的稳定窗口内比较，避免尺度外伪差异。

IV. 最小方程 S913-*

1. 持久图距离与核
   • S913-1（bottleneck）：d_B(D,E) = inf_γ sup_{p∈D} || p - γ(p) ||_∞，γ 为到对角线扩展的双射。
   • S913-2（Wasserstein）：W_p(D,E) = ( inf_γ Σ_{p∈D} || p - γ(p) ||_∞^p )^{1/p}。
   • S913-3（景观 L_p）：||λ_D - λ_E||_p = ( ∬ | λ_D(t,k) - λ_E(t,k) |^p dt dk )^{1/p}。
   • S913-4（PSS 核）：k_PSS(D,E;σ) = ( Σ_{p∈D} Σ_{q∈E} exp( - ||p - q||_2^2 / (8σ^2) ) ) / (4πσ^2)。
   • S913-5（SW 核）》：对角度 θ切片投影并积分相应一维W_1，k_SW = exp( - SW^2 / (2σ^2) )`。
2. 图谱级汇总与对齐
   • S913-6（局部→全局）》：d_{topo}(Q, A) = ( Σ_a w_a * d_loc(D_Q^a, D_A^{π(a)}) )， 其中 w_a = ( ∫{U_a} ψ_a dV ) / ( Σ_b ∫{U_b} ψ_b dV )，π(a)` 为过渡映射与最近邻匹配。
   • S913-7（τ 对齐）》：τ_Q = s τ_A + b，(s,b) = argmin Σ_a d_loc( D_Q^a(τ_Q), D_A^a(τ_A) )，约束 s>0`。
   • S913-8（d_Atlas^align）》：d_Atlas^align = max( d_{topo}, sup_x |Σ_a ψ_a - 1| )`（继承第11章一致性项）。
3. 轨迹与事件
   • S913-9（Fréchet）》：d_F(Γ_1, Γ_2) = inf_α,β sup_t || Γ_1(α(t)) - Γ_2(β(t)) ||_2`。
   • S913-10（事件图）》：d_GED(G_1,G_2) = min_{edit seq} cost(seq)`，节点以事件拓扑标签/时间窗加权。
4. 多通道融合与评分
   • S913-11（融合）》：score = σ( - Σ_c λ_c * d_c + Σ_k μ_k * k_k )，σ为单调映射（如softplus/sigmoid`）。
   • S913-12（两口径差）》：delta_form_retr = | d_exact - d_approx |或|| Φ_exact - Φ_approx ||_2`。
5. 单位与量纲
   S913-13：check_dim(d_B)=unit(τ)，check_dim(W_p)=unit(τ)，check_dim(d_F)=unit(x)，check_dim(k_*)="[1]"。

V. 计量流程 M90-13

• 就绪：解析 Q 与 DB，锁定 metric.policy、align 与 RefCond = {τ_window, σ, p, weights}。
• 对齐：估计 s,b 执行 τ 重标定；构建跨图册局部匹配 π(a) 与权重 w_a。
• 精确距离：计算 d_exact（组合 d_B/W_p/景观/轨迹/事件），输出多通道分解。
• 嵌入与索引：计算 Z_Q = Φ(Q)、Z_i = Φ(Atlas_i)；在 Index 上检索候选 Cand。
• 重排与两口径比对：对 Cand 计算 d_exact 与 d_approx 并重排，记录 delta_form_retr。
• 质量门与回溯：若门未过（见 VI），调整 align/weights/σ/p 或扩展 τ_window 后重算。
• 落盘：
  manifest.topo.search = {Q.hash, Index.ver, Φ.ver, policy, align, TopK, d_breakdown, delta_form_retr_stats, RefCond, evidence, signature}。

VI. 契约与断言 C90-131x（建议阈值）

• C90-13101（对齐门）》：|s-1| ≤ tol_s且|b| ≤ tol_b；建议 tol_s ≤ 0.1、tol_b ≤ 0.05*range(τ)`。
• C90-13102（两口径门）》：delta_form_retr_p95 ≤ tol_retr；建议 tol_retr = 0.03 * scale_τ`。
• C90-13103（一致性门）》：sup_x |Σ_a ψ_a - 1| ≤ 1e-6，并且 Δ_cyc` 不劣化（见第9章）。
• `C90-13104（证据门）》：TopK 每条结果至少包含三类证据（配对条、匹配图、轨迹比对或核相似度）。
• C90-13105（性能门）》：近似检索召回 R@K ≥ R_min（建议 R_min=0.95），且 P95` 延迟在预算内。
• C90-13106（量纲门）》：check_dim(all d/k)全通过；跨域比较前必须声明norm`。

VII. 实现绑定 I90-13*

• I90-131 build_persistence_distance(D1, D2, policy) -> {d_B, W_p, landscape_p}
• I90-132 atlas_align_tau(Q, A) -> {s, b}
• I90-133 atlas_local_match(Q, A, T_ab, ψ) -> {π, w}
• I90-134 atlas_distance(Q, A, π, w, policy) -> d_exact, breakdown
• I90-135 embed_atlas(Atlas, Φ_policy) -> Z（景观/核特征/图核拼接）
• I90-136 build_index({Z_i}, index_policy) -> Index
• I90-137 query_index(Index, Z_Q, K) -> Cand
• I90-138 rerank_with_exact(Q, Cand, policy) -> TopK, delta_form_retr_stats
• I90-139 compare_tracks_events(Q, A) -> {d_F, d_DTW, d_GED}
• I90-13A assert_search_contracts(results, rules) -> report
• I90-13B emit_search_manifest(results, policy) -> manifest.topo.search
  不变量：non_decreasing(τ)；Σ ψ ≡ 1；delta_form_retr ≤ tol_retr；check_dim 全通过；索引/嵌入版本落盘可追溯。

VIII. 交叉引用

• 复形/滤过与稳定窗口：见第7–8章。
• 图谱构建与过渡：见第9章（T_ab, ψ_a, Δ_cyc）。
• 不变量与计量：见第10章（Inv 作为检索通道之一）。
• 增量维护：见第11章（索引增量更新与 patch 触发）。
• 清洗稳健：见第12章（对噪声的度量稳定性与 τ 重标定）。
• 误差传播：见附录E（度量与嵌入的不确定度合成）。

IX. 质量与风控

• SLO：R@K ≥ R_min，delta_form_retr_p95 ≤ tol_retr，TopK 证据完备率 ≥ 99%。
• 回退路径：近似检索 → 扩大候选集 → 仅局部度量 → H0/β_seq 快速筛 → 人工审阅，逐级放宽并放大 U。
• 审计：保留候选配对、匹配代价矩阵、核相似度热图、轨迹比对曲线、索引动态与随机种子；对外发布摘要脱敏并签名。

小结

• 本章给出图谱对比与检索的工程闭环：P913/S913/M90-13/C90-131x/I90-13*。
• 通过跨图对齐、精确度量与近似嵌入两口径并行、证据化重排与契约门，保障检索结果可解释、可复现、可审计；发布以 manifest.topo.search.* 统一落盘。