25-EFT.WP.STG.Dynamics v1.0 | 第2章 数学基线（图/谱/动力系统）

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第2章 数学基线（图/谱/动力系统）

一句话目标：给出 STG 上算子-谱-动力学的一致化基线，形成连续/离散两口径的可计算与可审计闭环。

I. 范围与对象

1. 对象与域
   • 图与测度：G=(V,E)，节点测度 dμ_V 与边测度 dμ_E 明确；时变图写作 G(t)。
   • 算子族：A（adjacency），D（degree），L=D-A，L_norm = I - D^{-1/2} A D^{-1/2}，关联矩阵 B。
   • 半群与算子函数：exp(-tL)、cos(t√L)、g(L)（谱滤波核）。
2. 适用范围
   • 扩散/传输/波动/共识类系统；线性与非线性状态方程的线性化与谱近似。
   • 连续时间 t∈R_+ 与离散时间 k∈N 的两口径并行比较与落盘。
3. 边界
   • unit(field), dim(field) 必显式；check_dim( y - f(x) ) 必通过。
   • 负权/有向图需声明处理：对称化或磁拉普拉斯扩展（见第4章），本章默认无向、非负权。

II. 名词与变量

• 图与谱：A, D, L, L_norm, U, Λ=diag(λ_i)（升序）。
• 场与算子：节点场 x(t)∈R^N，边流 f(t)∈R^{|E|}，grad = B^T φ，div = B f。
• 动力学：dx/dt = F(x,u,t;θ)；离散传播 x_{k+1} = Φ_{Δt}(x_k,u_k;θ)。
• 噪声：w(t)（过程），η(t)（观测）；SDE: dx = f dt + G dB_t。
• 数值：Δt, T_s, ρ(·)（谱半径），cond(U)（条件数）。
• 两口径差：delta_form = || x(t+Δt) - x_{k+1} ||；容限 tol_Tarr。

III. 公设 P702-*

• P702-1（谱正定性）：无向非负权图的 L 为对称半正定，λ_1=0 与重数等于连通分量数。
• P702-2（半群契约）：K_t = exp(-tL) 为收缩半群，||K_t||_2 ≤ 1，K_{t+s}=K_t K_s。
• P702-3（两口径并行）：连续 x(t+Δt) = x(t) + ( ∫_{t}^{t+Δt} F dt ) 与离散 x_{k+1} = Φ_{Δt}(x_k,·) 并行计算并记录 delta_form。
• P702-4（测度显式）：任意求和/积分需显式域与测度：( ∑_{v∈V} · dμ_V )、( ∑_{e∈E} · dμ_E )、( ∫_{t0}^{t1} · dt )。
• P702-5（符号合规）：T_fil 与 T_trans 不可混用；n 与 n_eff 严格区分；公式/符号/定义禁用中文。

IV. 最小方程 S702-*

• S702-1（Laplacian 定义）：L = D - A；L_norm = I - D^{-1/2} A D^{-1/2}。
  check_dim(L) = "[1]"（无量纲），若权重具单位则需经由 A' = A / s_unit 归一化。
• S702-2（谱分解）：L = U Λ U^T，U^T U = I，Λ = diag(λ_i ≥ 0)。
  spectral_gap = λ_2（连通度度量）。
• S702-3（热方程/扩散）：dx/dt = - L x + Bu，解为
  x(t) = K_t x(0) + ( ∫_{0}^{t} K_{t-τ} B u(τ) dτ )，其中 K_t = exp(-tL)。
• S702-4（波方程图版）：d^2x/dt^2 + L x = 0，解可写
  x(t) = cos(t √L) x(0) + ( √L )^{-1} sin(t √L) ẋ(0)（在 L 的谱上定义函数演算）。
• S702-5（共识动力学）：dx/dt = -L x ⇒ lim_{t→∞} x(t) = ( (1 1^T)/N ) x(0)（连通图）。
• S702-6（能量与耗散）：E(x) = (1/2) x^T L x，则 dE/dt = - || ∇_G x ||^2 ≤ 0，其中 || ∇_G x ||^2 = x^T L x。
• S702-7（离散传播近似）：Euler：x_{k+1} = ( I - Δt L ) x_k + Δt B u_k；
  稳定条件：ρ( I - Δt L ) < 1，充分条件 Δt < 2 / λ_max(L)。
• S702-8（两口径差）：delta_form = || [K_{Δt} - (I - Δt L)] x_k ||（零输入时），一般含 u 的差异并行评估。
• S702-9（边-节点守恒）：div = B f，dρ/dt + div = s；离散时间 ( ρ_{k+1} - ρ_k )/Δt + B f_k = s_k。

V. 计量流程 M7-2（算子→谱→传播→校核→落盘）

1. 就绪
   由原始边集构建 A/D/L/L_norm；异常权裁剪与单位归一；检查连通分量与自环/重边。
2. 谱计算
   选择求谱策略（全谱/近似谱、Lanczos/Chebyshev），得到 {U,Λ} 或仅 λ_max, λ_2。
3. 传播与核
   根据任务生成 K_t = exp(-tL) 或谱滤波 g(L)；时间卷积 ( ∫ K_{t-τ} B u(τ) dτ )。
4. 两口径校核
   并行计算连续解与离散步近似；记录 delta_form、能量耗散与谱稳定条件是否满足。
5. 落盘
   • manifest.stg.operator = { L.hash, λ_max, spectral_gap, cond(U), method.spectrum, method.kernel, tol_Tarr }；
   • 保存 RefCond、数据来源哈希、数值误差评估与 contracts.*。

VI. 契约与断言 C70-2xx

• C70-201（谱合法性）：λ_i ≥ 0；L_norm 的 λ_i ∈ [0,2]。
• C70-202（谱上界估计）：λ_max ≤ 2 * max_v D_v（保守界）；实测 λ_max_est 的相对误差 ≤ 5%。
• C70-203（半群收缩）：||K_t||_2 ≤ 1 + ε（数值容差 ε ≤ 1e-6）。
• C70-204（离散稳定）：若采用 Euler，要求 Δt ≤ α / λ_max（建议 α=1.8）；违背则降步长或切换 BDF。
• C70-205（两口径差阈）：p95(delta_form) ≤ tol_Tarr（建议 tol_Tarr = 1e-3 * ||x||）。
• C70-206（能量耗散）：扩散类 ΔE_k = E(x_{k+1}) - E(x_k) ≤ 0；连续/离散均需满足，违背触发回退。
• C70-207（单位一致）：check_dim( L x ) = check_dim( dx/dt ) 成立。

VII. 实现绑定 I70-*

• I70-21 compute_laplacian(G, mode) -> {L, L_norm, U, Λ}（mode ∈ {exact, lanczos, cheby}）。
• I70-22 heat_kernel(L, t, method) -> K_t（method ∈ {pade, krylov, cheby}）。
• I70-23 wave_propagator(L, t, method) -> {cos(t√L), sin(t√L)}。
• I70-24 spectral_filter(L, spec) -> H（spec = {g_type, params, approx}）。
• I70-25 discretize_dynamics(F, Δt, scheme) -> Φ_Δt（scheme ∈ {Euler, RK4, BDF, Splitting}）。
• I70-26 estimate_spectral_bounds(L, k) -> {λ_min_est, λ_max_est}（k 次迭代）。
• I70-27 check_operator_contracts(L, U, Λ, rules) -> report。
  不变量：sym(L)；λ_i ≥ 0；non_decreasing(time)；delta_form ≤ tol_Tarr；RefCond/method 可追溯。

VIII. 交叉引用

• 图核与滤波实现细节：见第4章。
• 可控/可观与谱关系：见第8章。
• 数值积分稳定域：见第9章。
• 合规模块与面板字段：见第14章；清单结构：见附录C。
• 拓扑复形与谱连接：参见《EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0》 第7/9章。

IX. 质量与风控

• SLO/SLI：spectral_gap 稳定区间、λ_max 估计误差 ≤ 5%、delta_form_p95、energy_dissipation_rate ≥ 0。
• 回退路径：谱估计不稳→切换 Krylov/切比雪夫近似；离散不稳→缩小 Δt 或改 BDF；权异常→权裁剪与再归一。
• 审计：L.hash、谱近似参数、随机种子、误差报告与契约通过率落盘。

小结

• 本章确立了 STG 数学基线：从 L 的构建与谱性质，到 exp(-tL) 等传播核与能量耗散，再到连续/离散两口径一致性与契约化发布。
• 产出键：manifest.stg.operator.*（L.hash, λ_max, spectral_gap, method.*, tol_Tarr），以及 contracts.C70-2xx 的合规结果，为后续图核、识别与控制奠定算子级基线。