25-EFT.WP.STG.Dynamics v1.0 | 第4章 图算子与核（扩散/波/滤波）

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第4章 图算子与核（扩散/波/滤波）

一句话目标：统一定义并实现 G=(V,E) 上的扩散/波/频域滤波核 g(L)，给出连续/离散两口径与数值近似的可验证闭环。

I. 范围与对象

1. 对象
   • 节点算子：L = D - A, L_norm = I - D^{-1/2} A D^{-1/2}，随机游走 L_rw = I - D^{-1}A。
   • 边/一阶算子（可选）：L_1 = B^T B（Hodge-1 拉普拉斯，仅作接口预留）。
   • 核与滤波：K_t = exp(-t L)（扩散），W_t = {cos(t √L), (√L)^{-1} sin(t √L)}（波），H = g(L)（一般图滤波）。
2. 适用范围
   连续时间核与离散步传播的并行对照；多种数值近似（Padé/Krylov/切比雪夫/Lanczos）。
3. 边界与合规
   • unit(field) 与 dim(field) 必显式；若 A 含单位，则先归一化后构造 L（见第2章）。
   • 有向/负权需在接口处声明变体（磁拉普拉斯/对称化），本章默认无向非负权。

II. 名词与变量

• 算子与谱：L, L_norm, L_rw, U, Λ=diag(λ_i)；λ_max = max_i λ_i。
• 核与滤波：K_t, W_t, g(L), H；多项式系数 c_m，Krylov 维度 m。
• 时标与步长：t ∈ R_+, Δt, 步数 K；离散传播 Φ_{Δt}。
• 误差与两口径差：ε_approx = || H_true - H_approx ||_2，delta_form_kernel（定义见 S704-7）。
• 环境与参考：RefCond, corr_env(x; RefCond)。

III. 公设 P704-*

• P704-1（谱域函数演算）：g(L) = U g(Λ) U^T，其中 g(Λ) = diag(g(λ_i))。
• P704-2（扩散收缩）：K_t = exp(-tL) 为收缩半群，||K_t||_2 ≤ 1 且 K_{t+s}=K_t K_s。
• P704-3（波能量守恒）：在无阻尼且连通图上，||x(t)||_2^2 + ||(√L)^{-1}ẋ(t)||_2^2 守恒。
• P704-4（两口径并行）：连续核 K_t 与离散步传播 Φ_{Δt}^K 并行计算并记录 delta_form_kernel。
• P704-5（测度显式）：任何时间/谱积分均显式域与测度：( ∫_{0}^{t} · dτ )，( ∑_{i} · )。
• P704-6（符号与冲突名）：T_fil 与 T_trans 不可混用；n 与 n_eff 严格区分；公式/符号/定义禁用中文。

IV. 最小方程 S704-*

1. S704-1（扩散核）：K_t = exp(-t L)，作用于场 x：x(t) = K_t x(0)。
   单位校核：若 L 无量纲，则 dim(t) = "[1]"；若 L 具 "[1/T]"，须声明 unit(t) = "[T]" 并 check_dim。
2. S704-2（波核）：W_t x = cos(t √L) x + (√L)^{-1} sin(t √L) v0，v0 = ẋ(0)。
3. S704-3（随机游走/解吸核）：H_α = (1-α)(I - α D^{-1} A)^{-1} 或个性化 H = (1-α) (I - α P)^{-1}，P=D^{-1}A。
4. S704-4（一般图滤波）：y = g(L) x，例如 g(λ) = exp(-tλ)、(1+βλ)^{-p}、带通核 g(λ)=exp( - ( (log λ - μ)^2 / 2σ^2 ) )（在 (0,λ_max] 上定义）。
5. S704-5（切比雪夫近似）：将谱缩放至 [-1,1]，\tilde{L} = (2L/λ_max) - I，
   g(L) x ≈ ∑_{m=0}^{M} c_m T_m(\tilde{L}) x，T_m 为切比雪夫多项式，c_m 由 ( ∫_{-1}^{1} g(·) T_m(·) dμ ) 得。
6. S704-6（Lanczos/Krylov 近似）：在 K_m(L,x) = span{x, Lx, …, L^{m-1}x} 上，
   g(L)x ≈ ||x|| Q_m g(T_m) e_1，其中 Q_m^T L Q_m = T_m 三对角。
7. S704-7（两口径差定义）：
   • 连续核 vs 离散步：delta_form_kernel = || K_{KΔt} x - ( I - Δt L )^K x ||_2。
   • 真核 vs 近似核：ε_approx = || g(L) - \hat{g}_M(L) ||_2。
8. S704-8（能量与单调）：扩散能量 E(t) = (1/2) x(t)^T L x(t) 满足 dE/dt = - || ∇_G x ||^2 ≤ 0；离散步 E_{k+1} ≤ E_k。

V. 计量流程 M7-4（就绪→建模→校核→落盘）

1. 就绪
   载入 L 并估计 λ_max；若采用切比雪夫，构造 \tilde{L}；固化 RefCond 与单位体系。
2. 建模/近似
   • 选核族 g（扩散/波/解吸/带通），确定参数 {t, α, β, p, μ, σ}；
   • 选择近似器（Padé/Krylov/切比雪夫/Lanczos）与阶次 M 或子空间维度 m。
3. 校核
   • 采样 S 个向量 x_s 评估 ε_approx(s) = || g(L)x_s - \hat{g}(L)x_s || / ||x_s||；统计分位；
   • 连续/离散两口径 delta_form_kernel；扩散能量单调与半群收缩；
   • 随机游走核行随机性：row_sum(H) ≈ 1 与非负。
4. 落盘/发布
   manifest.stg.kernel = {type:g, params, approx:{method, M|m}, λ_max, eps_p95, delta_form_p95, energy_test, RefCond, seed, method.hash}。

VI. 契约与断言 C70-4xx

• C70-401（近似误差）：eps_p95 ≤ 1e-3（默认扩散/解吸），波核建议 ≤ 1e-2。
• C70-402（两口径差）：delta_form_kernel_p95 ≤ tol_Tarr_kernel（建议 tol_Tarr_kernel = 1e-3）。
• C70-403（收缩/能量）：扩散核 ||K_t||_2 ≤ 1 + ε（ε ≤ 1e-6）；ΔE_k ≤ 0。
• C70-404（随机游走合法性）：H ≥ 0 且 H 1 = 1；偏差 ≤ 1e-6。
• C70-405（谱域支撑）：滤波器支撑与 λ_max 匹配；带通核在目标带外衰减 ≥ 40 dB（数值等效阈）。
• C70-406（单位一致）：check_dim( g(L)*x - y ) = "[0]" 通过；t 与 L 的量纲配平。

VII. 实现绑定 I70-4*

• I70-41 build_operator(G, mode) -> {L, L_norm, L_rw}
• I70-42 heat_kernel(L, t, method) -> K_t（method ∈ {pade, krylov, cheby, scaling-squaring}）
• I70-43 wave_kernel(L, t, method) -> {C_t, S_t}（返回 cos(t√L) 与 (√L)^{-1} sin(t√L) 的乘子）
• I70-44 spectral_filter_apply(L, x, spec) -> y（spec = {g_type, params, approx:{method,M|m}}）
• I70-45 random_walk_kernel(A, α) -> H（确保行随机与非负）
• I70-46 cheby_coeffs(g, λ_max, M) -> {c_0..c_M}
• I70-47 lanczos_apply(L, x, g, m) -> y
• I70-48 estimate_spectral_bounds(L, k) -> {λ_min_est, λ_max_est}
• I70-49 check_kernel_contracts(K_or_spec, rules) -> report
  不变量：sym(L)；λ_i ≥ 0；收缩/守恒契约通过；delta_form_kernel ≤ tol_Tarr_kernel；RefCond/method/params 可追溯。

VIII. 交叉引用

• 算子与谱性质：见本卷第2章。
• 状态/观测与噪声映射到滤波：见第3章（H 与 Σ 的谱参数化）。
• 数值稳定与时间步策略：见第9章。
• 运行面板与发布字段：见第14章；清单结构：见附录C。
• 路径修正的两口径与契约思路：见《EFT.WP.Metrology.PathCorrection v1.0》 第10/11章。

IX. 质量与风控

• SLO/SLI：eps_p95, delta_form_kernel_p95, energy_dissipation_rate ≥ 0, row_stochastic_bias, runtime_per_apply。
• 回退：若 eps_p95 超阈→提升 M/m 或切换近似器；||K_t||_2 > 1+ε→缩放 t 或改 method；
  随机游走不合法→重归一化 A 或切换 α；谱界不稳→重估 λ_max（I70-48）。
• 审计：落盘 method.hash/params/seed、λ_max 估计过程、误差分位与契约通过率。

小结

• 本章在 STG 上确立了图算子与核的统一口径：g(L) 的定义、扩散/波/解吸核的连续-离散并行与误差度量，给出 M7-4 流程、C70-4xx 契约与 I70-4* 接口。
• 产出键：manifest.stg.kernel.*（核类型、参数、近似方法、误差与契约结果），作为后续识别、控制与运行时发布的算子级依托。