25-EFT.WP.STG.Dynamics v1.0 | 第5章 互耦/同步与一致性

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第5章 互耦/同步与一致性

一句话目标：在 G=(V,E) 上统一刻画一致性/同步的动力学口径（共识、Kuramoto、MSF、钉扎/延迟），并给出连续/离散两口径的可验证实现与契约。

I. 范围与对象

1. 对象
   • 共识类：dx/dt = - ( L ⊗ I_d ) x + Bu；离散 x_{k+1} = ( I - α L ⊗ I_d ) x_k + B u_k。
   • 相位同步（Kuramoto）：dθ_i/dt = ω_i + K ∑_j A_{ij} sin( θ_j - θ_i )。
   • 一般网络耦合（MSF 模式）：ẋ_i = f(x_i) + σ ∑_j A_{ij} H( x_j - x_i )。
   • 钉扎/领导者跟随：在子集 S 施加反馈 - κ Π_S ( x - x_ref )。
   • 延迟/异步：通信延迟 τ_d、采样错位 τ 与随机丢包（用掩码 M_k 表示）。
2. 适用范围
   节点标量/向量态 x_V ∈ R^{N×d}；可选边流 f_E 与守恒耦合；有向/负权另见第9章数值与稳定补充，本章默认无向非负权。
3. 量纲与单位
   unit(θ) = "[1]"；unit(x) 由业务域定；unit(K) = "[1/T]"（若 A 无量纲）；check_dim( y - f(x) ) 必通过。

II. 名词与变量

• 图算子：A, D, L = D - A, U, Λ = diag(λ_i)，λ_1=0 ≤ λ_2 ≤ … ≤ λ_N。
• 状态/输入：x, θ, u；相对相位 δ = B^T θ。
• 同步指标：不一致能量 E = x^T (L ⊗ I_d) x；相位序参量 r e^{iψ} = (1/N) ( ∑_i e^{i θ_i} )。
• 步长/耦合：α, K, σ, κ；延迟 τ_d；两口径差 delta_form_sync。
• 参考/环境：RefCond, τ_mono, ts，以及 offset/skew/J（见 配套白皮书《能量丝》）。

III. 公设 P705-*

• P705-1（共识不变子空间）：连通图上，共识子空间 span{1 ⊗ v} 不变；(1^T ⊗ I_d) x(t) 守恒（无输入/无钉扎）。
• P705-2（能量单调）：共识扩散 E(t) 非增；离散步满足 E_{k+1} ≤ E_k。
• P705-3（两口径并行）：连续传播与离散步并行计算，记录 delta_form_sync。
• P705-4（测度显式）：时间积分显式 ( ∫_{0}^{t} · dτ )；谱求和显式 ( ∑_{i=1}^{N} · )。
• P705-5（符号合规）：T_fil 与 T_trans 不混用；n 与 n_eff 严格区分；公式/符号/定义禁用中文。
• P705-6（时基一致）：所有传播/采样在同一 tau_mono 上结算，发布于 ts（见第1/2章及《能量丝》）。

IV. 最小方程 S705-*

• S705-1（共识连续/离散）：
  连续：dx/dt = - ( L ⊗ I_d ) x ⇒ x(t) = ( exp( - t L ) ⊗ I_d ) x(0)。
  离散：x_{k+1} = ( I - α L ⊗ I_d ) x_k，充分稳定条件 0 < α < 2 / λ_max(L)。
• S705-2（不一致能量导数）：
  E(x) = x^T ( L ⊗ I_d ) x，dE/dt = - 2 x^T ( L^2 ⊗ I_d ) x ≤ 0。
• S705-3（Kuramoto 锁相条件与序参量）：
  dθ/dt = ω + K B sin( B^T θ )（以 B 写作）。若存在锁相解，则稳态满足 0 = ω + K B sin(δ*)，
  充分条件（小角近似）|| B^T L^† ω ||_∞ < K；同步度 r(t) = | (1/N) ( ∑ e^{i θ_i(t)} ) |。
• S705-4（MSF 主稳定函数）：
  ẋ_i = f(x_i) + σ ∑_j A_{ij} H( x_j - x_i )；沿 U 变换后模态方程 ẋ^(k) = f'(x^*) x^(k) - σ λ_k H x^(k)；
  若存在 Λ(·) 使 Λ( σ λ_k ) < 0, ∀ k≥2，则同步轨道稳定。
• S705-5（钉扎/领导者跟随）：
  dx/dt = - L x - κ Π_S ( x - x_ref )，其中 Π_S 为在 S 上的对角投影；
  收敛条件：λ_min( L + κ Π_S ) > 0 且输入有界。
• S705-6（延迟影响）：
  x_{k+1} = ( I - α L ) x_k + ( I - α L_d ) x_{k-τ_k} 或连续 dx/dt = - L x(t-τ_d)；
  保守稳定界：α < π / ( 2 τ_d λ_max(L) )（当 τ_d>0 且 Euler 步进）。
• S705-7（两口径差定义）：
  delta_form_sync = || ( exp( - K Δt L ) ⊗ I_d ) x_0 - ( I - Δt L ⊗ I_d )^K x_0 ||_2。
• S705-8（一致误差与方差）：
  x̄ = ( (1 1^T)/N ⊗ I_d ) x，误差 e = x - x̄，||e||_2^2 = var(x)；契约以 e 的衰减率度量。

V. 计量流程 M7-5（就绪→建模→校核→落盘）

1. 就绪
   构建/校核 L 与 λ_max, λ_2；对输入 ω、x_ref、S、延迟 τ_d/τ 与步长 Δt/α 完整声明 unit()、dim() 与 RefCond。
2. 建模/参数化
   选择耦合族（共识/Kuramoto/MSF/钉扎），设定 {α, K, σ, κ}；如用 MSF，导入 Λ(·) 或数值估计稳定区。
3. 校核
   • 能量/误差单调：E_{k+1} ≤ E_k、||e_{k+1}|| ≤ ||e_k||；
   • 步长/谱约束：α < 2/λ_max 与延迟稳定界；
   • Kuramoto：记录 r(t) 与锁相残差 || ω + K B sin(B^T θ) ||；
   • 两口径差：评估 delta_form_sync 分位。
4. 落盘/发布
   manifest.stg.sync = {model, α, K, σ, κ, λ_2, λ_max, r_p50/p95, energy_drop, delta_form_p95, delay:τ_d, RefCond, method.hash}。

VI. 契约与断言 C70-5xx

• C70-501（步长稳定）：α ≤ 1.8 / λ_max（默认 Euler 共识），越界则拒绝发布或自动降步长。
• C70-502（能量单调）：p99( E_{k+1} - E_k ) ≤ 0。
• C70-503（Kuramoto 同步度）：稳定期 r_p95 ≥ r_min（建议 r_min=0.9），且锁相残差 p95 ≤ ε_lock。
• C70-504（MSF 稳定域）：max_{k≥2} Λ( σ λ_k ) < 0；无法评估时以数值李雅普诺夫证据替代。
• C70-505（钉扎可控）：λ_min( L + κ Π_S ) ≥ λ_pin_min（建议 > 0.05）。
• C70-506（延迟稳定）：若 τ_d>0，则 α < π / ( 2 τ_d λ_max )；观测 oscillation_rate 不得超阈。
• C70-507（两口径差）：delta_form_sync_p95 ≤ tol_Tarr_sync（建议 1e-3 * ||x||）。
• C70-508（单位一致）：check_dim( dx/dt + L x ) = "[0]"、check_dim( ω + K·sin(·) ) 通过。

VII. 实现绑定 I70-5*

• I70-51 simulate_consensus(L, x0, Δt, Ksteps, scheme) -> {traj, energy}（scheme ∈ {Euler, RK4, BDF}）。
• I70-52 kuramoto_integrate(A, ω, K, θ0, Δt, Ksteps, noise=None) -> {θ_traj, r_traj}。
• I70-53 msf_check(U, Λ, f_lin, H, σ) -> {Λ_vals, is_stable}。
• I70-54 pinning_design(L, S, κ_range, goal) -> {κ*, report}（goal ∈ {min_energy_rate, max_margin}）。
• I70-55 delay_stability_margin(L, α, τ_d) -> margin。
• I70-56 sync_metrics(traj) -> {E_traj, e_norm, r_stats, lock_resid}。
• I70-57 check_sync_contracts(ds, rules) -> report。
  不变量：sym(L)；λ_i ≥ 0；non_decreasing(time)；delta_form_sync ≤ tol_Tarr_sync；RefCond/method 可追溯。

VIII. 交叉引用

• 算子/谱与核：见本卷第2/4章。
• 状态-观测-噪声与掩码：见第3章；延迟与数值稳定：见第9章。
• 运行面板与 SLO 发布：见第14章；清单结构：见附录C。
• 路径与对时偏移（offset/skew/J）：参见《EFT.WP.Metrology.TimeBase v1.0》与《能量丝》。

IX. 质量与风控

• SLI/SLO：energy_drop_rate, r_p95, ||e|| 衰减常数、delta_form_sync_p95, oscillation_rate, violated_steps_ratio。
• 回退策略：步长不稳→降 α/Δt 或改 scheme；同步差→增 K/σ/κ 或改拓扑（提升 λ_2）；延迟大→预测补偿或异步更新；MSF 不满足→降耦合或重设 H。
• 审计：落盘 method.hash/params/seed、谱与稳定域证据、契约通过率与异常窗口切片。

小结

• 本章形成互耦/同步与一致性的统一可计算口径：共识、Kuramoto、MSF 与钉扎/延迟的方程、稳定与指标，并用两口径 delta_form_sync 保障数值一致性。
• 产出键：manifest.stg.sync.*（λ_2/λ_max, α/K/σ/κ, r_stats, energy_drop, delta_form_p95, delay 与契约结果），支撑后续识别/控制与运行时面板发布。