25-EFT.WP.STG.Dynamics v1.0 | 第7章 动力学识别（SINDy/Koopman/PINN/GN-ODE）

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第7章 动力学识别（SINDy/Koopman/PINN/GN-ODE）

一句话目标：在 G=(V,E) 上给出从观测数据识别节点/边/全局动力学的统一口径，覆盖 SINDy/Koopman/PINN/GN-ODE，并以连续/离散两口径并行与契约化校核保障可追溯发布。

I. 范围与对象

1. 对象
   • 节点态 x_V(t) ∈ R^{N×d}，边态（可选）z_E(t) ∈ R^{|E|×q}，全局量 y(t) ∈ R^{r}。
   • 采样与噪声：t_k = t_0 + k Δt，观测 x_k = x(t_k) + η_k。
   • 拓扑与算子：A, B, L（见第2/4章），可用作先验或特征。
2. 输入
   数据窗 D = { (t_k, x_k) }、图 G、特征库与物理先验、RefCond、单位体系。
3. 输出
   • 连续时模型 dx/dt = f_θ(x, G) 或离散步模型 x_{k+1} = Φ_θ(x_k, G)；
   • 校核报告（误差、稳定性、物理约束）、delta_form_ident、manifest.stg.ident。
4. 约束与边界
   • unit(x), unit(t) = "[T]"，unit(dx/dt) = unit(x)/[T] 显式；check_dim 必过。
   • 若声明守恒/非负/能量单调，识别时需将其纳入损失或契约。

II. 名词与变量

• 采样与导数：Δt, x_k, ẋ_k（由数值微分估计），噪声 η_k。
• 模型族与参数：f_θ, Φ_θ, 稀疏系数 ξ，字典 Θ(x)，Koopman 字典 Ψ(x)，算子 K。
• 损失与度量：数据损失 L_data，物理残差 L_phys，正则 Ω(θ)，两口径差 delta_form_ident。
• 参考字段：tau_mono, ts, RefCond, offset/skew/J（见《EFT.WP.Metrology.TimeBase v1.0》）。

III. 公设 P707-*

• P707-1（两口径并行）：对任一识别结果，同时给出连续口径 f_θ 与离散口径 Φ_θ 的预测，记录差异。
• P707-2（测度显式）：时间/谱/样本上的积分与和均显式：( ∫_{t} · dt )、( ∑_{k} · )。
• P707-3（单位一致）：进入方程字段一律声明 unit(field) 与 dim(field)，并通过 check_dim( y - f(x) )。
• P707-4（可解释优先）：若业务需要，优先选择稀疏/线性于字典的模型（如 SINDy/EDMD），其系数、谱与不变量可审计。
• P707-5（拓扑一致）：若模型涉及图算子，应与第2/4章定义的 B/L 等保持一致并落盘版本与哈希。
• P707-6（符号与冲突名）：T_fil 与 T_trans 不混用；n 与 n_eff 严格区分；公式/符号/定义禁用中文。

IV. 最小方程 S707-*

• S707-1（SINDy 稀疏回归）：
  构造字典 Θ(x) = [ϕ_1(x), …, ϕ_M(x)]，ẋ ≈ Θ(x) ξ，
  稀疏解 ξ* = argmin_{ξ} ( || ẋ - Θ(x) ξ ||_2^2 + λ ||ξ||_1 ) 或 STLSQ。
  若引入图特征：可扩展 Θ(x, Lx, …)。
• S707-2（Koopman/EDMD）：
  选取观测映射 g(x) = Ψ(x)，拟合线性步进 g(x_{k+1}) ≈ K g(x_k)，
  K* = ( ∑_k g(x_{k+1}) g(x_k)^T ) ( ∑_k g(x_k) g(x_k)^T )^{†}。
  连续化：A_c = (1/Δt) * log(K*)（分支选择与谱半径约束见契约）。
• S707-3（PINN）：
  设参数函数 x̂(t; θ) 或向量场 f_θ(x)，定义残差
  r(t) = d x̂ / dt - f_θ( x̂ ) 或 PDE 残差；
  损失 L = w_d L_data + w_p ( ∑_t || r(t) ||_2^2 ) + Ω(θ)，并可加入边界/守恒项。
• S707-4（Graph Neural ODE, GN-ODE）：
  连续时间消息传递
  dx_i/dt = φ_vθ( x_i, ∑_{j} φ_eθ( x_i, x_j, e_{ij} ) )，
  或含 L 的谱先验 dx/dt = f_θ(x) + Γ_θ(L)x。
  数值解 x(t) = solver( f_θ, x(0), t )。
• S707-5（导数估计）：
  ẋ_k ≈ ( 1 / Δt ) * SavGol( x_{k-w..k+w} ) 或 TV-正则导数：
  min_{ẋ} ( ∑_k || x_{k+1} - x_k - Δt ẋ_k ||_2^2 + α TV(ẋ) )。
• S707-6（两口径差定义）：
  x̂_cont(t_{k+1}) = Integrate( x_k, f_θ, Δt )，x̂_step(t_{k+1}) = Φ_θ(x_k)，
  delta_form_ident = || x̂_cont(t_{k+1}) - x̂_step(t_{k+1}) ||_2。
• S707-7（物理/拓扑约束项示例）：
  守恒：L_cons = || 1^T x̂(t_{k+1}) - 1^T x̂(t_k) - Δt 1^T s_k ||_2^2（见第6章）；
  同步：L_sync = max(0, r_min - r(x̂))（见第5章）；
  扩散能量：d/dt ( x^T L x ) ≤ 0 以软约束实现。

V. 计量流程 M7-7（就绪→建模/估计→校核→落盘）

1. 就绪
   • 对齐 tau_mono/ts，声明 unit(x), unit(t) 与 RefCond；
   • 数据清洗与插值：缺测、离群、去噪（见附录/第12章面板规则）；
   • 估计导数 ẋ 并落盘导数方法与窗口。
2. 建模/估计
   • 选择模型族 {SINDy, EDMD, PINN, GN-ODE} 与先验（守恒/同步/扩散）；
   • 超参搜索：λ、字典规模 M、网络宽深、w_d/w_p、求解器容差；
   • 训练/求解并得到 θ* / ξ* / K*。
3. 校核
   • 数据拟合：RMSE, R2, 时序残差自相关；
   • 泛化：留出/滚动验证、扰动敏感度；
   • 物理与拓扑契约（守恒/能量/同步）；
   • 谱与稳定：ρ(K*) < ρ_max，eig(A_c) 处于稳定域（按系统类型）；
   • 两口径差：delta_form_ident 的 p50/p95。
4. 落盘/发布
   manifest.stg.ident = {model, dict|arch, params_hash, Δt, deriv:{method,win,α}, metrics:{rmse,val_rmse,delta_p95}, physics:{contracts_pass}, spectra:{rhoK,maxReAc}, RefCond, seed, method.hash}。

VI. 契约与断言 C70-7xx

• C70-701（单位一致）：check_dim( ẋ - f_θ(x) ) = "[0]" 或 check_dim( x_{k+1} - Φ_θ(x_k) ) = "[0]"。
• C70-702（导数质量）：snr(ẋ) ≥ snr_min 且导数残差 p95 ≤ ε_diff（建议 ε_diff = 0.05·IQR(ẋ)）。
• C70-703（拟合/泛化）：val_rmse ≤ τ_val，且 overfit_gap = val_rmse - train_rmse ≤ τ_gap。
• C70-704（稀疏性/可解释）：SINDy 非零比率 ≤ r_sparsity_max（默认 ≤ 0.2），同类项库相干度 μ(Θ) ≤ μ_max。
• C70-705（谱稳定）：EDMD ρ(K*) ≤ ρ_max（默认 ≤ 1+1e-3）；连续化 A_c 的实部约束按物理类型（扩散 ≤ 0，振子成对）。
• C70-706（两口径差）：delta_form_ident_p95 ≤ tol_ident（建议 tol_ident = 1e-3·||x||_2）。
• C70-707（物理约束）：被声明的守恒/单调/同步指标全部通过阈值；违约需标注 tags.violation.*。
• C70-708（可追溯）：数据切片、清洗、导数与训练随机种必须可复现（seed/hash）。

VII. 实现绑定 I70-7*

• I70-71 estimate_derivative(ds, Δt, method, cfg) -> xdot, meta
• I70-72 sindy_fit(x, xdot, dict_spec, λ, solver) -> {ξ*, model, report}
• I70-73 edmd_fit(X, dict_spec, Δt) -> {K*, A_c, spectra, report}
• I70-74 pinn_train(data, phys_spec, arch, weights, solver) -> {θ*, loss_curve, report}
• I70-75 gnode_fit(G, X, arch, solver) -> {θ*, solver_meta, report}
• I70-76 stepper_from_cont(f_θ, solver, Δt) -> Φ_θ
• I70-77 check_ident_contracts(model, data, rules) -> report
• I70-78 emit_ident_manifest(results, policy) -> manifest.stg.ident
  不变量：non_decreasing(time)；RefCond/method/hash 可追溯；delta_form_ident ≤ tol_ident；check_dim 通过；若声明守恒则质量平衡可闭合。

VIII. 交叉引用

• 图算子/核与能量：见第2/4章（为字典与先验提供构件）。
• 同步与守恒契约：见第5/6章（可作为 L_phys 的约束项）。
• 数值稳定与时间步策略：见第9章。
• 运行发布与面板字段：见第14章；清单结构：见附录C。
• 数据清洗、两口径思想与契约风格：参考《EFT.WP.Metrology.PathCorrection v1.0》 第10/11章与附录B。

IX. 质量与风控

1. SLI/SLO：val_rmse, delta_form_ident_p95, contracts_pass_rate, ρ(K*), maxRe(A_c), sparsity_rate, runtime_per_epoch。
2. 回退策略
   • 噪声高→增强去噪/导数稳健化（TV/SavGol），缩小字典或提高正则；
   • 过拟合→增 Ω(θ)、早停、交叉验证、简化架构或降低字典阶；
   • 谱不稳→缩小步长或对 K* 做谱裁剪，再连续化；
   • 物理违约→强化物理损失权重或改先验（例如加入 L 扩散项）。
3. 审计：落盘数据切片、清洗与导数参数、训练曲线与契约证据；对可解释模型输出项级报告与不确定度条形图。

小结

• 本章构建了在图结构系统上进行动力学识别的统一方法学：SINDy/EDMD/PINN/GN-ODE 的方程、损失与实现绑定，
  以两口径 delta_form_ident、谱/物理契约与单位校核组成的闭环保障可发布性与跨场景复用。
• 产出键：manifest.stg.ident.*（模型族/结构、参数哈希、导数方法、误差与契约结果、谱与物理指标、RefCond）。