25-EFT.WP.STG.Dynamics v1.0 | 第8章 可控与可观（结构/能控）

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第8章 可控与可观（结构/能控）

一句话目标：在 G=(V,E) 上建立可控性/可观性的结构与能量两口径，给出从图先验到 Gramian 与 PBH 的可计算流程、契约与运行时面板字段。

I. 范围与对象

1. 对象
   • 连续/离散网络动力学：dx/dt = A x + B u, y = C x + n；或 x_{k+1} = A_d x_k + B_d u_k, y_k = C x_k + n_k。
   • 图先验：A 可由 -L, A_sym, A_norm 或识别模型（见第7章）给出；B 的驱动集、C 的观测集由选点策略决定。
2. 输入
   G, A/L, B?, C?, 采样 Δt, 窗口 [t_0,t_1]，RefCond，单位体系。
3. 输出
   结构可控/可观判定与最小驱动/观测集建议；能量型指标（Gramian、平均/模态可控）；delta_form_ctrl/obs；manifest.stg.ctrlobs。
4. 约束
   • unit(x), unit(u), unit(y)；unit(dx/dt) = unit(x)/[T]；check_dim 必过。
   • 稳定性假设：无穷时域 Gramian 需 A Hurwitz（或 ρ(A_d)<1）。

II. 名词与变量

• 图与算子：B_inc（入射矩阵），L（拉普拉斯），A（系统矩阵），A_d = expm(A Δt)。
• 集与选择：驱动节点集 U ⊆ V，观测节点集 S ⊆ V；选择矩阵 B = S_U, C = S_S^T。
• Gramian：可控 W_c(T) = ( ∫_{0}^{T} e^{A τ} B B^T e^{A^T τ} dτ )；可观 W_o(T) = ( ∫_{0}^{T} e^{A^T τ} C^T C e^{A τ} dτ )。
• 结构量：最大匹配 M*，未匹配节点集 U*（结构可控驱动需求）；SCC（强连通分量）。
• 指标：平均可控性 AC, 模态可控性 MC，条件数 κ(W)，能量 E_min。

III. 公设 P708-*

• P708-1（两口径并行）：结构口径（图匹配/SCC）与能量口径（Gramian/PBH）必须并行评估并记录差异。
• P708-2（PBH 基线）：可控性以 PBH 判据为准：对任一 λ ∈ spec(A)，rank([λI - A, B]) = N；可观性对偶。
• P708-3（测度与域显式）：Gramian 必写明 ( ∫_{0}^{T} · dτ ) 与时间测度；离散情形写为 ( ∑_{k=0}^{K-1} · )。
• P708-4（单位/量纲）：unit(W_c) = unit(x)^2·[T]；unit(E_min) = unit(u)^2·[T]；check_dim 必通过。
• P708-5（拓扑一致）：若采用 L/A 来自第2/4/7章，其构造与哈希必须落盘一致。
• P708-6（稳健性）：优先使用正则化/截断逆来计算 W^{-1}，并报告 κ(W) 与伪逆阈值。

IV. 最小方程 S708-*

• S708-1（Kalman 矩阵）：
  连续：Ctrb = [ B, A B, A^2 B, …, A^{N-1} B ]，rank(Ctrb)=N ⇔ 可控。
  可观：Obsv = [ C^T, A^T C^T, …, (A^T)^{N-1} C^T ]^T，rank(Obsv)=N。
• S708-2（PBH）：
  可控：rank([λI - A, B]) = N, ∀λ ∈ spec(A)；可观：rank([λI - A; C]) = N。
• S708-3（Gramian 与 Lyapunov 等价）：
  无穷时域、A Hurwitz：
  A W_c + W_c A^T + B B^T = 0，A^T W_o + W_o A + C^T C = 0；
  有限时域：W_c(T) 与 W_o(T) 按上式积分定义。
  两口径差：delta_form_ctrl = || W_c(T) - W_c^{Lyap}(T) ||_F（离散同理）。
• S708-4（最小能量）：
  E_min(x_0→x_T) = r^T W_c(T)^{-1} r，r = x_T - e^{A T} x_0。
  仅到原点：E_min(x_0→0) = x_0^T W_c(T)^{-1} x_0。
• S708-5（平均/模态可控性）：
  平均：AC = trace(W_c(T)) 或单输入 AC_i = trace(W_c(B=e_i))。
  模态（离散 A_d = V Λ V^{-1}，标准化后）：
  MC_i = ∑_{j=1}^N (1 - |λ_j|^2) |v_{ij}|^2；连续型用 -2 Re(λ_j) 替换权重。
• S708-6（结构可控/可观近似）：
  最小驱动数 N_D = |U*|（U* 为 G 的最大匹配未匹配节点）；
  观测最小数 N_S = |U*| 对 G^T 或不小于源 SCC 数。
• S708-7（选择优化）：
  驱动点选择：max_{U:|U|=m} f(trace(W_c(U))) 或 min trace(W_c(U)^{-1})，可用贪心近似（次模性质场景）。
  观测点选择对偶。

V. 计量流程 M7-8（就绪→建模/估计→校核→落盘）

1. 就绪
   • 确定 A/L 来源（解析/识别），对齐 Δt 与 RefCond；声明单位。
   • 选择候选驱动/观测集合与容量约束（通道数/成本）。
2. 建模/估计
   • 结构口径：计算最大匹配/SCC，给出 N_D/N_S 与候选集。
   • 能量口径：解 Lyapunov/离散 Lyapunov 得 W_c/W_o；或积分求 W(T)。
   • 点位优化：贪心或混合整数（小规模）选择 U/S。
3. 校核
   • PBH/Kalman 排名；κ(W)、λ_min(W)；
   • 能量可达性：抽样 x_0,x_T 计算 E_min 分位；
   • 两口径差：delta_form_ctrl/obs；
   • 稳定性：spec(A) 或 ρ(A_d) 报告；
   • 单位/量纲 check_dim。
4. 落盘/发布
   manifest.stg.ctrlobs = {A_hash, source:{struct|ident}, Δt, U,S, metrics:{rankCtrb,rankObsv,PBH_ok, κc, κo, λmin_c, AC, MC_p50, E_min_p95}, delta:{ctrl,obs}, RefCond, method.hash}。

VI. 契约与断言 C70-8xx

• C70-801（PBH 通过）：所有本征值满足 rank([λI-A,B])=N 与对偶条件。
• C70-802（Gramian 正定）：λ_min(W_c) ≥ τ_c、λ_min(W_o) ≥ τ_o（默认 τ_* = 1e-9·scale）。
• C70-803（条件数）：κ(W_c) ≤ κ_max、κ(W_o) ≤ κ_max（默认 κ_max = 1e8，超界需伪逆与注记）。
• C70-804（两口径差）：delta_form_ctrl_p95 ≤ tol_ctrl，delta_form_obs_p95 ≤ tol_obs（建议 1e-6·||W||_F）。
• C70-805（结构下界）：实际驱动/观测点数满足 |U| ≥ N_D、|S| ≥ N_S；若未达，需风险注记与回退策略。
• C70-806（稳定域）：能量口径使用无穷时域时要求 A Hurwitz 或 ρ(A_d)<1。
• C70-807（单位一致）：check_dim( dx/dt - (A x + B u) ) = "[0]"、check_dim( y - C x ) = "[0]"。

VII. 实现绑定 I70-8*

• I70-81 build_selection(G, policy) -> {U0,S0}
• I70-82 structural_controllability(G) -> {N_D, drivers, scc, matching_meta}
• I70-83 gramian(A, B, C, Δt, horizon, mode) -> {W_c, W_o}（mode ∈ {lyap, integral}）
• I70-84 pbh_test(A, B, C) -> {ok_ctrl, ok_obs, details}
• I70-85 energy_reach(A, B, x0, xT, T) -> E_min
• I70-86 select_actuators(A, G, m, criterion) -> U*（criterion ∈ {traceWc, minTraceInv, MC}）
• I70-87 select_sensors(A, G, m, criterion) -> S*（criterion ∈ {traceWo, maxDet, observ_rank}）
• I70-88 compare_forms(W_int, W_lyap) -> delta_form
• I70-89 emit_ctrlobs_manifest(results, policy) -> manifest.stg.ctrlobs
  不变量：non_decreasing(time)；method/hash/RefCond 可追溯；delta_form_* ≤ tol_*；check_dim 全通过。

VIII. 交叉引用

• 图算子与谱：见第2章；核与扩散能量：见第4章。
• 传输守恒与源汇：见第6章（用于能量与可达性解释）。
• 动力学识别之 A 来源：见第7章。
• 数值稳定与时间步：见第9章；运行发布与面板字段：见第14章；清单结构：见附录C。
• 时基/发布与合规模块：见 配套白皮书《能量丝》 时基卷 S/P/M/I 条目。

IX. 质量与风控

1. SLI/SLO：PBH_pass_rate, rankCtrb/Obsv, κ(W_c/W_o), λ_min(W_c/W_o), AC, MC_p95, E_min_p95, delta_form_*_p95。
2. 回退
   • PBH 未通过：增驱动/传感点，或改 A（加阻尼/重标度）；
   • Gramian 病态：正则化 W + εI、缩短时域、归一化 A;
   • 结构下界过高：重排拓扑（边增广）或分块控制（SCC 分治）；
   • 能量过大：更换驱动位置（提升 AC/MC）或修改权重与物理耦合。
3. 审计：落盘 A/L/B/C 哈希、匹配与 SCC 证明、PBH 细节、κ/λ_min、两口径差、点位选择过程与随机种。

小结

• 本章构建了结构—能量两口径的可控/可观评估与优化：图匹配/SCC 给出下界与选点先验，PBH/Gramian 提供能量与数值证据；
• 通过 C70-8xx 契约、两口径差 delta_form_* 与清单 manifest.stg.ctrlobs.*，实现从建模到发布的可追溯与可审计闭环。