25-EFT.WP.STG.Dynamics v1.0 | 第9章 数值积分与稳定（刚性/分裂/事件）

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第9章 数值积分与稳定（刚性/分裂/事件）

一句话目标：为 G=(V,E) 上的网络动力学提供刚性识别、稳态保持、算子分裂与事件驱动的统一数值口径，并以两口径并行与契约化校核保证可发布性。

I. 范围与对象

1. 对象
   • 连续时：( d x / d t ) = f(t, x; G, θ)，可分解为线性-图算子与非线性项：f = A x + g(t, x)，其中 A ≈ -κ L 或识别自第7章。
   • 离散步：x_{k+1} = Φ_{Δt}(x_k)，由数值积分器诱导。
   • 事件/混杂系统：守恒面/阈值/拓扑切换 g_event(x,t)=0 触发重置 x ← R(x,t) 或 G ← G'。
2. 输入
   A/L、g(t,x)、初值/边界、时间窗 [t0,t1]、误差容限 rtol/atol、事件函数集、RefCond、单位体系。
3. 输出
   状态轨迹 x(t_k)、事件序列、能量/守恒量跟踪、两口径差 delta_form_ode、稳定性与刚性报告、manifest.stg.ode。
4. 约束与边界
   • unit(t) = "[T]"；check_dim( x_{k+1} - x_k - Δt f(t_k,x_k) ) = "[0]"。
   • 若声明扩散/质量守恒/非负性，积分器需匹配（SSP/隐式/投影/对数变换）。

II. 名词与变量

• 算子与谱：A, L, ρ(M)（谱半径）, λ_max(L)；雅可比 J = ∂f/∂x。
• 步长与误差：Δt, rtol/atol, 局部误差估计 e_loc，步拒指标 rej_rate。
• 刚性与指标：stiff_sensor = Δt * ρ(J)、Newton 步数 n_nwt、线性解残差 r_lin。
• 事件：根函数 g_i(x,t), 触发时间 t_i, 重置映射 R_i。
• 两口径：连续口径与离散步口径的差 delta_form_ode。

III. 公设 P709-*

• P709-1（两口径并行）：对任意步长策略，同时给出连续口径近似 x̂_cont(t_{k+1}) = Integrate(f, x_k, Δt) 与离散步实现 x̂_step = Φ_{Δt}(x_k)，记录 delta_form_ode = || x̂_cont - x̂_step ||_2。
• P709-2（测度显式）：时间积分一律显式 ( ∫_{t} · d t )；事件根搜索在子区间 ( [t_k, t_{k+1}] ) 明确测度。
• P709-3（单位与量纲）：进入方程之 x,t,f,Δt 需声明 unit(·) 并 check_dim 通过。
• P709-4（稳性优先）：检测到刚性则切换至 A-/L-稳定家族（BE/BDF/Rosenbrock/IMEX）；扩散型优先能量衰减守恒。
• P709-5（拓扑一致）：若 A/L 来自第2/4/7章，数值核中的离散化与哈希必须一致。
• P709-6（事件原子性）：事件定位-重置-再步进为一个原子事务，若多事件同窗触发，采用时间顺序与可交换性检查。

IV. 最小方程 S709-*

• S709-1（稳定性与 CFL）：
  扩散型 dx/dt = -κ L x，显式 Euler 稳定条件
  Δt ≤ ( 2 / ( κ * λ_max(L) ) )；一般线性系统前向 Euler 稳定条件 |1 + Δt λ_i(A)| < 1，∀ i。
• S709-2（IMEX-Euler）（线性隐式、非线性显式）：
  ( I - Δt A ) x_{k+1} = x_k + Δt g(t_k, x_k)。
  适用于 A 刚性、g 平滑。
• S709-3（Rosenbrock–W 一步法）：
  解线性系统 ( I - γ Δt J_k ) k_1 = f(t_k, x_k)，更新 x_{k+1} = x_k + Δt * b_1 k_1；嵌入式系数组合给出 e_loc。
• S709-4（BDF-k 隐式多步）：
  ∑_{j=0}^{k} α_j x_{n+j} = Δt β f(t_{n+k}, x_{n+k})，α_j, β 为 BDF 系数；k≥2 A-稳定区域有限，k=1 L-稳定。
• S709-5（对称/辛方法）（波动/哈密顿）：
  梯形（Crank–Nicolson）：x_{k+1} = x_k + (Δt/2) [ f(t_k,x_k) + f(t_{k+1},x_{k+1}) ]（A-稳定、能量近守恒）。
  分裂-辛 Euler/Velocity Verlet 适用于 f = S(x) + H(x) 的可分系统。
• S709-6（算子分裂）：
  一阶 Godunov：x^{(1)} = Φ_A^{Δt}(x_k), x_{k+1} = Φ_g^{Δt}(x^{(1)})；
  二阶 Strang：x_{k+1} = Φ_A^{Δt/2} ∘ Φ_g^{Δt} ∘ Φ_A^{Δt/2} (x_k)，分裂误差 O(Δt^2)。
  对 A=-κL：Φ_A^{Δt} = exp(-κ Δt L) 可用谱分解或 Chebyshev 逼近。
• S709-7（自适应步长与误差控制）：
  嵌入式对 p/(p-1)：e_loc = || x^{(p)} - x^{(p-1)} || / ( atol + rtol * ||x^{(p)}|| )；
  接受判据 e_loc ≤ 1，步长更新 Δt_new = safety * Δt * e_loc^{-1/(p)}。
• S709-8（事件定位）：
  若 g(x_k,t_k) * g(x_{k+1},t_{k+1}) ≤ 0，在 [t_k,t_{k+1}] 以弦/二分求根 t_*，
  先回滚到 t_*，应用重置 x ← R(x,t_*)，再以剩余步长推进。
• S709-9（非负/守恒投影）：
  扩散或概率流：
  非负投影 x^{+} = max(x, 0) 或对数变量 x=exp(z)；
  质量守恒：x ← x - ( 1^T x - m ) * 1 / N 或解最小二乘投影 min ||x'-x|| s.t. 1^T x' = m。
• S709-10（两口径差定义）：
  x̂_cont(t_{k+1}) = Integrate( f, x_k, Δt )（高阶参考步/更严容限），
  x̂_step(t_{k+1}) = Φ_{Δt}(x_k)，
  delta_form_ode = || x̂_cont - x̂_step ||_2。

V. 计量流程 M7-9（就绪→建模/估计→校核→落盘）

1. 就绪
   • 对齐 tau_mono/ts；声明 unit(x), unit(t), RefCond；
   • 识别刚性：试算 stiff_sensor = Δt * ρ(J)、显式步拒率、Newton 迭代数等；
   • 声明物理约束（非负/守恒/能量）。
2. 建模/选择
   • 选择积分族：{RK-emb, IMEX, BE/BDF, Rosenbrock, splitting, symplectic}；
   • 为扩散型绑定 A=-κL 的谱/Chebyshev 核；为混杂系统列出事件集与重置映射。
3. 推进/事件
   • 自适应步：误差估计→接受/拒绝→步长更新；
   • 事件检测→定位→重置→子步推进；
   • 隐式步的线性解器与预条件（L 的多重网格/IC/AMG）。
4. 校核
   • 稳定性：ρ(A_d) 或单步放大因子；能量/守恒曲线；
   • 两口径差：delta_form_ode 的 p50/p95；
   • 单位/量纲与物理契约（非负率、质量闭合误差）；
   • 性能：rej_rate, n_nwt 分布、平均线性求解时间。
5. 落盘/发布
   manifest.stg.ode = {solver, order, atol, rtol, Δt_init, mode:{explicit|implicit|imex|split|sympl}, A_hash|L_hash, precond, events, metrics:{rej_rate, delta_p95, energy_drift, mass_err_p95}, RefCond, method.hash}。

VI. 契约与断言 C70-9xx

• C70-901（误差容限）：delta_form_ode_p95 ≤ tol_ode（建议 tol_ode = 5 * (atol + rtol·||x||_2)）。
• C70-902（稳定域）：显式在扩散型满足 Δt ≤ 2 / ( κ λ_max(L) )；隐式/IMEX 报告 n_nwt ≤ n_nwt_max 与收敛标志。
• C70-903（非负/守恒）：若声明，则 min(x) ≥ -ε_neg、|1^T x(t) - m| ≤ ε_mass 全时窗通过。
• C70-904（能量单调/近守恒）：扩散 d/dt ( x^T L x ) ≤ 0 的离散对应不增；哈密顿能量漂移 |ΔH|/H_0 ≤ ε_H。
• C70-905（事件完整性）：事件定位误差 |g(t_*)| ≤ ε_evt，并无重复触发抖振（chattering 次数 ≤ N_evt_max）。
• C70-906（单位一致）：check_dim( x_{k+1} - Φ_{Δt}(x_k) ) = "[0]" 通过；所有记录字段具 unit(·)。
• C70-907（病态防护）：κ(solver_matrix) ≤ κ_max 或使用预条件与伪逆并落盘注记。

VII. 实现绑定 I70-9*

• I70-91 select_solver(model, stiff_sensor, physics, events) -> solver_spec
• I70-92 step_embedded_rk(f, x, t, Δt, atol, rtol) -> {x_next, err, stats}
• I70-93 step_imex_euler(A, g, x, t, Δt, lin_solver) -> {x_next, stats}
• I70-94 step_rosenbrock(f, J, x, t, Δt, γ, lin_solver) -> {x_next, err, stats}
• I70-95 step_bdf(f, x_hist, t, Δt, k, newton_cfg) -> {x_next, stats}
• I70-96 split_strang(A_op, g_op, x, t, Δt) -> x_next
• I70-97 detect_and_handle_events(gset, xk, tk, xk1, tk1, reset_map) -> {x_seq, t_seq, events}
• I70-98 compare_two_forms(f, Φ, xk, Δt, tighter_tol) -> delta_form_ode
• I70-99 emit_ode_manifest(results, policy) -> manifest.stg.ode
  不变量：non_decreasing(time)；delta_form_ode ≤ tol_ode；check_dim 通过；事件处理原子性；RefCond/method/hash 可追溯。

VIII. 交叉引用

• 图算子/谱与核逼近：见第2章与第4章（λ_max(L)、Chebyshev/谱滤波）。
• 动力学识别提供的 A/g/J：见第7章。
• 传输与守恒约束、源汇一致性：见第6章。
• 运行时与面板、回退策略与缓存：见第14章。
• 清单与契约落盘键：见附录C 与附录B。

IX. 质量与风控

1. SLI/SLO：delta_form_ode_p95, rej_rate, n_nwt_p90, κ_matrix_p95, energy_drift, mass_err_p95, evt_count.
2. 回退路径
   • 显式 CFL 受限：切换 IMEX/隐式或谱/Chebyshev 步进；
   • Newton 不收敛：减步长、改线性解器/预条件、使用稳健 Rosenbrock；
   • 非负/守恒违约：启用投影或变量重参数化；
   • 事件抖振：加入滞环带或事件去抖（时间/幅值阈）；
   • 病态线性系统：W = W + εI 正则、重排/重缩放、分块求解。
3. 审计：落盘选择理由、失败重试轨迹、参数曲线（Δt、误差、能量）、事件时间轴、矩阵谱与条件数快照。

小结

• 本章提供了网络动力学数值推进的稳定—精度—物理约束三位一体口径：显/隐/IMEX/分裂/辛方法、事件处理与自适应步；
• 以 C70-9xx 契约、delta_form_ode 与 manifest.stg.ode.* 形成从检测刚性到可审计发布的闭环，保障跨场景复用与运行时稳健。