25-EFT.WP.STG.Dynamics v1.0 | 第11章 多尺度与粗化（谱保持/重整化）

目录 ／ 文档-技术白皮书（V5.05） ／ 25-EFT.WP.STG.Dynamics v1.0

第11章 多尺度与粗化（谱保持/重整化）

一句话目标：在 G=(V,E) 上建立谱保持与**重整化（RG）**的一体化粗化口径，给出从算子/状态映射到动力学参数缩放的可计算流程，并以两口径并行与契约化校核保障跨尺度一致性。

I. 范围与对象

1. 对象
   • 图—算子：A（邻接）、L（拉普拉斯或归一化拉普拉斯）。
   • 状态—动力学：( d x / d t ) = f(x,t) = -κ L x + g(x,t; θ) 或离散 x_{k+1} = Φ_{Δt}(x_k)。
   • 多尺度映射：限制 R: R^{|V|} → R^{|V_c|}，延拓/升尺度 P: R^{|V_c|} → R^{|V|}。
2. 输入
   原图/算子 {G, A, L}，粗化目标规模 |V_c| 或比率 b，保谱目标（λ 前 k 阶、热核、有效电阻）与动力学守恒约束，RefCond 与单位。
3. 输出
   粗化图 G_c、粗化算子 L_c、升/降尺度映射 {P,R}、参数缩放 θ'、跨尺度误差与delta_form_ms、manifest.stg.ms。
4. 约束与边界
   • unit(x) 与 unit(t) 必填；若声明质量/能量守恒或非负性，则粗化算子与时间步进需保持离散对应。
   • 仅在连通分量内粗化；孤立点另行合并或剔除并落盘注记。

II. 名词与变量

• 谱对象：σ(L) = {λ_i}, U（特征向量矩阵），谱距离 d_spec；热核 H(t)=exp(-t L)；有效电阻 R_eff(i,j)。
• 多重网格/Galerkin：R（restriction），P（prolongation），L_c = R L P（Galerkin 口径）。
• 聚合与匹配：重边聚合 Agg、重边匹配 HEM、Kron 化简 Kron(G,S)。
• RG 缩放：空间尺度 b>1，时间重标度 t' = b^{z} t，参数映射 θ' = RG_b(θ)。
• 两口径差：细网格仿真降采样与粗网格直接仿真的偏差 delta_form_ms。

III. 公设 P711-*

• P711-1（两口径并行）：对任意刺激与时窗，同时计算
  x̂_fine↓(t) = R * Solve(L, θ) 与 x̂_coarse(t) = Solve(L_c, θ')，记录
  delta_form_ms = ( ∫ || x̂_fine↓(t) - x̂_coarse(t) ||_2 d t )。
• P711-2（测度与域显式）：谱与热核误差以 ( ∑_{i∈Ω_k} · ) 或 ( ∫_{t∈T_ref} · d t ) 明确求和/积分域；动力学以 ( ∫_{t} · d t )。
• P711-3（单位与量纲）：check_dim( d x / d t + κ L x - g ) = "[0]"；unit(P)=unitless，unit(R)=unitless。
• P711-4（守恒一致）：若原系统满足 1^T L = 0（质量守恒），则粗化后 1^T L_c = 0；若能量半正则 x^T L x ≥ 0，则保持 x_c^T L_c x_c ≥ 0。
• P711-5（谱目标优先级）：优先保持低频本征对（λ_1…λ_k 与子空间角度）与热核在 T_ref 上的 Frobenius 范数。
• P711-6（映射稳定）：R P ≈ I_{|V_c|} 且 ||P R||_2 有界；cond(L_c) 不劣化超过阈值。

IV. 最小方程 S711-*

• S711-1（Galerkin 粗化）：
  L_c = R L P；若使用对称限制 R = P^T W（W 为权矩阵），则 L_c 保持对称正定（当 L 为 SPD）。
• S711-2（Kron 化简）：
  对保留集 S 与消元集 F=V\\S，
  L_c = L_{SS} - L_{SF} L_{FF}^{-1} L_{FS}（Schur 补），G_c 为 Kron 化简图。
• S711-3（谱距离）：
  设 Ω_k 为目标本征索引，
  d_spec = ( ∑_{i∈Ω_k} | λ_i(L) - λ_i(L_c) | / max(ε, |λ_i(L)|) ) / |Ω_k|；
  子空间夹角 Θ = || U_k U_k^T - P U_{c,k} U_{c,k}^T R ||_2。
• S711-4（热核匹配）：
  E_H = ( ∫_{t∈T_ref} || R e^{-t L} P - e^{-t L_c} ||_F^2 d t )；
  以此反推 θ' 或调优 P,R。
• S711-5（参数重整化）：
  对扩散核不变要求 e^{-κ t L} ≈ R^† e^{-κ' t' L_c} P^†，得
  κ' = κ * b^{2 - z}（若 L 近似二阶算子），t' = b^{z} t。
  对非线性项 g，以等效响应匹配：
  θ' = argmin_{θ'} ( ∫ || R Φ_{Δt}(x; θ) - Φ'_{Δt'}(R x; θ') ||_2 d μ(x,t) )。
• S711-6（能量与守恒）：
  能量缩并 E_c(t) = x_c^T L_c x_c ≈ x^T L x（通过 x ≈ P x_c 近似）。
• S711-7（两口径差定义）：
  delta_form_ms = ( ∫_{t0}^{t1} || R x_fine(t) - x_coarse(t) ||_2 d t )；
  窗口平均 \bar{δ} = delta_form_ms / (t1 - t0)。

V. 计量流程 M7-11（就绪→建模/估计→校核→落盘）

1. 就绪
   • 选择粗化策略：{HEM, Agg, Kron, AMG/Galerkin, Learning-based}；设定谱/热核/有效电阻的权重；指定 T_ref、Ω_k。
   • 声明物理约束（质量/能量/非负）与运行上限（|V_c|、内存/实时）。
2. 建模/估计
   • 构造聚合与 R,P：如 R_{ij}=1/|Agg(j)| 映射到簇心；或学习 P=argmin E_H + α d_spec。
   • 生成 L_c（Galerkin 或 Kron）；同步构造 G_c 的边权与自环以维持度量。
   • 参数 RG：根据 b 与 z 初设 κ'，用 T_ref 热核/脉冲响应校正得到 θ'。
3. 校核
   • 频域：d_spec, 子空间角 Θ，热核误差 E_H，有效电阻误差 E_R。
   • 时域：对一组标准激励（脉冲、稳态步进、随机白噪）计算 delta_form_ms、能量曲线差、守恒闭合误差。
   • 数值性：cond(L_c)、ρ(exp(-κ'Δt' L_c)) 与稳定域。
4. 落盘/发布
   manifest.stg.ms = {method, R_hash, P_hash, L_c_hash, G_c_meta, targets:{Ω_k,T_ref}, errors:{d_spec,Θ,E_H,E_R}, dynamics:{κ',θ',z,b}, deltas:{δ̄,δ_p95}, constraints, RefCond, units}。

VI. 契约与断言 C70-11xx

• C70-1101（谱保持）：d_spec ≤ tol_spec 且 Θ ≤ tol_subspace（建议 tol_spec ≤ 0.1, tol_subspace ≤ 0.2）。
• C70-1102（热核一致）：E_H / |T_ref| ≤ tol_heat。
• C70-1103（动力学两口径）：delta_form_ms_p95 ≤ tol_ms（建议 tol_ms = 5·(atol + rtol·||x||)）。
• C70-1104（守恒/非负）：若声明，则 1^T L_c = 0 且 min(x_c) ≥ -ε_neg 全窗通过。
• C70-1105（条件数上界）：cond(L_c) ≤ γ · cond(L)（建议 γ ≤ 5）；若违反则禁止发布。
• C70-1106（拓扑一致）：连通分量数保持，孤立点处理须有 tags.isolated 注记。
• C70-1107（单位一致）：check_dim(L_c)= "[1]"，check_dim(κ') = "[1/T]"，通过后方可发布。

VII. 实现绑定 I70-11*

• I70-111 build_aggregates(G, target_size, method) -> {Agg, R, P}
• I70-112 kron_reduce(L, keep_set) -> L_c
• I70-113 galerkin_coarsen(L, R, P, mode) -> L_c（mode ∈ {std, normalized}）
• I70-114 rg_rescale_params(θ, b, z, criteria) -> θ'
• I70-115 match_heat_kernel(L, L_c, R, P, T_ref) -> {κ', tune_log}
• I70-116 simulate_multiscale(fine_model, coarse_model, R, P, stimuli) -> {traj_fine↓, traj_coarse, delta_form_ms}
• I70-117 eval_spectral_metrics(L, L_c, Ω_k) -> {d_spec, Θ}
• I70-118 eval_resistance_metrics(G, G_c, pairs) -> E_R
• I70-119 emit_ms_manifest(results, policy) -> manifest.stg.ms
  不变量：RP ≈ I；L_c SPD/半正定与原型一致；delta_form_ms ≤ tol_ms；RefCond/method/hash 可追溯。

VIII. 交叉引用

• 图算子与核：见第4章（扩散/波/滤波的核与谱近似）。
• 数值积分与稳定：见第9章（在粗化模型上的稳定推进与事件）。
• 因果与干预：见第10章（跨尺度 do 效应的一致性）。
• 运行时与面板：见第14章（多分辨率缓存与自适应切换策略）。
• 清单与契约键集：见附录C、附录B。

IX. 质量与风控

1. SLI/SLO：d_spec, Θ, E_H/|T_ref|, E_R, delta_form_ms_p95, cond(L_c), runtime_speedup。
2. 回退
   • 谱/热核不达标：增大小簇、切换 Kron→Galerkin、学习型 P,R；
   • 动力学偏差大：调 z/κ'，扩充 T_ref，引入非线性闭合（如 g_c = R g(P·) 的回归校正）；
   • 条件数恶化：谱修正 L_c ← L_c + ε I 或重构聚合；
   • 守恒破坏：修正对角至行和为零或投影到守恒子空间。
3. 审计：保存 Agg/R/P、L_c/G_c 哈希、谱与热核曲线、两口径残差时间序列与面板截图。

小结

• 本章给出Galerkín/Kron/学习型三类粗化路径、谱—热核—电阻三套一致性指标与RG 参数缩放口径。
• 以 C70-11xx 契约与 manifest.stg.ms.* 落盘，确保多尺度模型在频域与时域同时可用、可审计、可部署。