25-EFT.WP.STG.Dynamics v1.0 | 第12章 同化与滤波（KF/UKF/PF on Graphs）

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第12章 同化与滤波（KF/UKF/PF on Graphs）

一句话目标：在 G=(V,E) 上给出线性/非线性状态估计的统一同化口径（KF/UKF/PF），将图算子与观测融合，形成可审计的预测→更新→发布闭环与契约化质量控制。

I. 范围与对象

1. 对象
   • 图动力学：( d x / d t ) = f(x,u; L, θ) + w(t)；离散化 x_{k+1} = Φ_{Δt}(x_k,u_k; L, θ) + w_k。
   • 观测模型：y_k = h(x_k; H, ψ) + v_k，其中 H 可为采样/聚合/路径积分算子。
   • 传感融合：多源 y_k^{(s)}，多率 Δt_s，异构噪声 R_s，跨尺度 R,P（见第11章）。
2. 输入
   图与算子 {G, A, L}；离散推进核（如 A = exp(-κ Δt L) 或数值近似）；Q,R 或其先验；传感器元数据（位置、延时、单位、RefCond）。
3. 输出
   估计 x̂_{k|k}, 协方差 P_{k|k} 或粒子集 {x^{(i)}, w^{(i)}}；残差与统计检验；manifest.stg.filter。
4. 约束与边界
   • unit(x), unit(y), unit(u) 必填；若存在非负/守恒约束，滤波需投影或约束化。
   • 时间语义：计算在 tau_mono，发布在 ts，见《EFT.WP.Metrology.TimeBase v1.0》。

II. 名词与变量

• 状态与观测：x_k ∈ R^{|V|}, y_k ∈ R^{m}，控制 u_k。
• 图算子：L（拉普拉斯）、A（传递核），κ（扩散率）。
• 噪声：w_k ~ N(0,Q)，v_k ~ N(0,R) 或一般分布；协方差 P。
• 观测映射：线性 H，非线性 h(·)；选择矩阵 S 表示子采样。
• 多尺度映射：R（restriction），P（prolongation）。
• 两口径差（预测 vs 同化）：delta_form_assim。

III. 公设 P712-*

• P712-1（两口径并行）：对每步 k 并行计算预测口径 x̂_{k|k-1} 与同化口径 x̂_{k|k}，记录
  delta_form_assim = || x̂_{k|k} - x̂_{k|k-1} ||_2 与测量域残差 r_k = y_k - h(x̂_{k|k-1})。
• P712-2（测度与域显式）：任何期望/积分写作 ( ∫ p(x) · d x )；时间累计写作 ( ∑_{k∈𝕂} · ) 或 ( ∫_{t} · d t )。
• P712-3（PSD 不变）：P_{k|k-1}, P_{k|k} 必半正定；若数值误差破坏 PSD，应用修正（对称化+谱截断）。
• P712-4（单位一致）：check_dim( y_k - h(x̂) ) = unit(y)，check_dim(P) = unit(x)^2。
• P712-5（时间与延迟）：传感延迟/时标偏差以 offset/skew/J 字段记录并在更新时对齐，见《…TimeBase》与《…Sync》。
• P712-6（图先验一致）：若模型由第7章/第4章识别与算子构建获得，则 L.hash/A.hash 必与滤波引用一致。

IV. 最小方程 S712-*

• S712-1（图上线性 KF）：
  动力学 x_{k+1} = A x_k + B u_k + w_k，y_k = H x_k + v_k。
  预测：
  x̂_{k|k-1} = A x̂_{k-1|k-1} + B u_{k-1}；
  P_{k|k-1} = A P_{k-1|k-1} A^T + Q。
  更新：
  S_k = H P_{k|k-1} H^T + R；
  K_k = P_{k|k-1} H^T S_k^{-1}；
  x̂_{k|k} = x̂_{k|k-1} + K_k ( y_k - H x̂_{k|k-1} )；
  P_{k|k} = ( I - K_k H ) P_{k|k-1} ( I - K_k H )^T + K_k R K_k^T。
  若 A = exp(-κ Δt L)，可用 ( I + κ Δt L )^{-1} 或分裂积分近似（见第9章）。
• S712-2（UKF on Graphs）：
  非线性 x_{k+1} = f(x_k,u_k; L, θ) + w_k，y_k = h(x_k) + v_k。
  构造 2n+1 Sigma 点 χ_i，权重 {W_m,W_c}；
  传播 ( ∑_i W_m f(χ_i) ) 与协方差 ( ∑_i W_c (f(χ_i)-x̄)(f(χ_i)-x̄)^T + Q )；
  量测同理，用 h(χ_i) 计算交叉协方差与增益。
  建议在 f 中对图项使用稀疏乘 L x 或卷积核，保证 O(|E|) 复杂度。
• S712-3（PF on Graphs）：
  粒子传播：x_k^{(i)} ~ p( x_k | x_{k-1}^{(i)}, u_{k-1} )；
  权重更新：w_k^{(i)} ∝ w_{k-1}^{(i)} · p( y_k | x_k^{(i)} )；
  归一化与重采样（系统/残差/多项式）；
  有效样本数 ESS = 1 / ( ∑_i (w_k^{(i)})^2 )。
  对高维图状态，采用簇粒子或 Rao-Blackwellized PF：对高斯子模块做 KF，非高斯子模块做 PF。
• S712-4（多源/多率融合）：
  对每源 s，当 k ∈ 𝕂_s 到达时执行局部更新 H_s,R_s，序贯或批量更新：
  K_s = P H_s^T ( H_s P H_s^T + R_s )^{-1}，循环 s 并更新 P ← (I-K_s H_s)P(I-K_s H_s)^T + K_s R_s K_s^T。
• S712-5（NIS 与白噪检验）：
  归一化创新平方 NIS_k = r_k^T S_k^{-1} r_k；NIS_k 在 χ^2_m 区间内的覆盖率用于一致性校核。
  残差自相关 ( ∑_{k} r_k r_{k-τ}^T ) 近似零以验证白性。
• S712-6（RTS 平滑与图约束投影）：
  RTS：C_k = P_{k|k} A^T P_{k+1|k}^{-1}，x̂_{k|T} = x̂_{k|k} + C_k ( x̂_{k+1|T} - x̂_{k+1|k} )。
  物理约束：求解 min_{z} || z - x̂_{k|k} ||_2^2 s.t. z ≥ 0, 1^T z = c（若声明守恒）。
• S712-7（两口径差定义）：
  delta_form_assim = || x̂_{k|k} - x̂_{k|k-1} ||_2；窗口积分
  Δ̄ = ( ∑_{k∈𝕂} delta_form_assim ) / |𝕂|。

V. 计量流程 M7-12（就绪→建模/估计→校核→落盘）

1. 就绪
   对齐时基与延迟；加载 L/A 与哈希；声明 unit(*)/RefCond；选择滤波族 {KF, UKF, PF, RBPF} 与多源策略。
2. 建模/估计
   • 构建 A/B 或 f(·) 与 h(·)；初始化 x̂_0,P_0；设置 Q,R（先验或 EM/ML 估计）。
   • 跨尺度：若在 |V_c| 上滤波，使用 R,P 下采样/升尺度（见第11章）。
3. 同化执行
   预测→更新（或粒子传播→加权→重采样）；多源顺序更新；必要时投影到物理可行域。
4. 校核
   • 统计一致性：NIS 覆盖率、残差白性；ESS 下界；P 的 PSD 与条件数；delta_form_assim 的 p95。
   • 数值稳定：步长与刚性处理见第9章；不稳定则通告与回退。
5. 落盘/发布
   manifest.stg.filter = {algo, L/A.hash, H.hash, Q/R.meta, x̂, P/ESS, nis:{p_quantile,window}, resid:{acorr}, deltas:{Δ̄,p95}, constraints, RefCond, units, method.hash}。

VI. 契约与断言 C70-12xx

• C70-1201（NIS 区间覆盖）：Pr( χ^2_{m,α/2} ≤ NIS_k ≤ χ^2_{m,1-α/2} ) ≥ 1-β（建议 α=0.05, β=0.1）。
• C70-1202（协方差 PSD）：P_{k|k} ≽ 0 且 cond(P_{k|k}) ≤ γ_P（建议 γ_P ≤ 1e8）。
• C70-1203（残差白性）：|acorr(τ)| ≤ tol_resid 对 τ∈{1..τ_max}。
• C70-1204（粒子退化）：ESS / N ≥ ρ_min（建议 ρ_min=0.5），低于阈值触发重采样。
• C70-1205（两口径差）：delta_form_assim_p95 ≤ tol_assim（建议 tol_assim = 5·(atol + rtol·||x̂||)）。
• C70-1206（单位与守恒）：check_dim(r_k)=unit(y) 通过；若声明守恒，则 |1^T x̂_{k|k} - 1^T x̂_{k|k-1}| ≤ tol_cons。
• C70-1207（拓扑一致）：滤波引用的 L/A 与运行模型版本一致，否则拒绝发布。

VII. 实现绑定 I70-12*

• I70-121 kf_predict_update(A,B,Q,H,R,u,y,x̂,P) -> {x̂',P',S,r,K}
• I70-122 ukf_predict_update(f,h,Q,R,u,y,x̂,P,ukf_cfg) -> {x̂',P',S,r}
• I70-123 pf_step(transition,likelihood,u,y,Particles,Resampler) -> {Particles',ESS}
• I70-124 rts_smoother(A,Q,seq{x̂,P}) -> {x̂_s,P_s}
• I70-125 project_physical(x̂,constraints) -> x̂_proj（非负/守恒/区间）
• I70-126 multi_sensor_update(H_list,R_list,y_list,x̂,P,mode) -> {x̂',P'}
• I70-127 adaptive_qr_tuning(resid_stats,method) -> {Q',R'}（EM/Innovation matching）
• I70-128 ms_bridge(R,P,x̂_c,P_c,dir) -> {x̂_f/P_f 或 x̂_c/P_c}
• I70-129 assert_filter_contracts(state,stats,rules) -> report
• I70-12A emit_filter_manifest(results,policy) -> manifest.stg.filter
  不变量：P ≽ 0；non_decreasing(time)；RefCond/method/hash 可追溯；异常触发回退策略。

VIII. 交叉引用

• 图算子与核：见第4章；用于 A=exp(-κ Δt L) 与卷积实现。
• 数值积分与稳定：见第9章；UKF/PF 的推进器与事件处理。
• 因果与干预：见第10章；在 do(·) 情景下评估滤波鲁棒性。
• 多尺度与粗化：见第11章；R,P 映射与跨尺度滤波。
• 清洗与稳健：见《EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0》与《EFT.WP.Metrology.PathCorrection v1.0》的 Cleaning 规则复用。

IX. 质量与风控

1. SLI/SLO：nis_p95, resid_white_rate, ESS_p10, delta_form_assim_p95, latency_p95, runtime_per_step, drop_rate.
2. 回退策略
   • 一致性失败：增大 Q 或减小 R（创新匹配），启用协方差膨胀；
   • 粒子退化：系统/残差重采样，启用簇粒子或 RBPF；
   • 数值不稳：切换刚性积分或缩短 Δt；
   • 观测异常：基于马氏距离门限剔除并降权；
   • 拓扑漂移：在线更新 L 的低秩校正或回退到上一个通过版本。
3. 审计：落盘 NIS 轨迹、残差自相关、ESS 曲线、delta_form_assim、Q/R 变更与面板快照。

小结

• 本章将 KF/UKF/PF 与图算子深度结合，给出从建模→同化→校核→发布的闭环。
• 通过 C70-12xx 契约、delta_form_assim 两口径指标与 manifest.stg.filter.*，确保网络化动力系统的同化在统计一致性、物理可行性与运行稳定性上可复用、可审计、可落地。